Este documento presenta ejemplos de actividades para desarrollar el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos desde los primeros niveles educativos. Propone analizar cómo cambia o se modifica una secuencia de figuras, números o letras, hacer conjeturas sobre el siguiente término, y expresar o generalizar el patrón observado. El objetivo es que los estudiantes analicen, formulen y validen conjeturas sobre secuencias numéricas.

1. María Nubia Soler
Diego Fernando Izquierdo
José María Granados
Maestría en Docencia de las Matemáticas
Universidad Pedagógica Nacional

2. Como actividades apropiadas para desarrollar el pensamiento variacional
y los sistemas algebraicos y analíticos desde los primeros niveles de la
educación se propone desde los Estándares Básicos de Competencias en
Matemáticas:
• Analizar de qué forma cambia, aumenta o disminuye la forma o el valor
en una secuencia o sucesión de figuras, números o letras.
• Hacer conjeturas sobre la forma o el valor del siguiente término de la
secuencia.
• Procurar expresar el o los términos siguientes, oralmente, por escrito, o
por medio de dibujos y otras representaciones.
• Intentar formular un procedimiento, algoritmo o fórmula que permita
reproducir el mismo patrón.
• Calcular los siguientes términos, confirmar o refutar las conjeturas
iniciales e intentar generalizarlas.
(MEN, 2006)

3. Con este taller se pretende analizar y
observar algunos procesos de formulación y
validación de conjeturas por medio de un
ejemplo de una tarea para la clase de
matemáticas.

4.  Desarrollo de una tarea
 Socialización de las respuestas a la tarea
 Formulación, verificación y validación de
conjeturas
 Referencias sugeridas

5. 1. ¿Cuántos cuadrados hay en la posición 100? Presenta al
menos dos formas de llegar a la respuesta de esta pregunta.
Actividad tomada de Mason et al. Raíces del
álgebra/Rutas hacia el álgebra y adaptada para
el desarrollo de este taller.

6. 2. Dos estudiantes encontraron estas ecuaciones para hallar la
respuesta a la pregunta:
(x+2)2 –x2
4(x+1)
2[(x+2)(x/2 +1)]-x2 cuando x es par
{2[(x+2)(x+1)/2] + (x+2)} -x2 cuando x es impar
¿Cómo contaron los cuadrados para llegar a estas expresiones?
3. ¿Cómo podemos saber si cada uno de los métodos lleva siempre a la
misma respuesta?

7. Posición 4. Posición 5.

8. Una conjetura es una proposición que se
piensa verdadera pero que debe ser sometida a
examen para verificar su validez o para
refutarla.
Lakatos, 1978, Polya, 1945
Citados por Cañadas et al. (2008)

9. 1. Búsqueda de patrones
2. Formulación de conjeturas
3. Verificación de la conjeturas
4. Validación de las conjeturas

10. Búsqueda de patrones
Formulación de conjeturas Posición 3. Posición 4.
1. El número de cuadrados de cualquier posición se obtiene así: se suma uno
a la posición y este resultado se multiplica por 4.
2. El número de cuadrados de la posición x se obtiene reemplazando este
valor en la fórmula 4(x+1) y haciendo los cálculos.
Verificación de conjeturas
Se muestran ejemplos de la figura en las posiciones iniciales (2, 3,
6), se cuentan los cuadrados uno por uno y se compara este
resultado con el obtenido a partir de la conjetura formulada.

11. Búsqueda de patrones
Posición 3.
Posición 4.
Formulación de conjeturas
1. Para obtener el número de cuadrados de cualquier posición se suma dos a
la posición y este resultado se multiplica por dos, luego se suma la
posición por dos.
2. La fórmula (x+2)2+x2 determina el número de cuadrados que hay en la
posición x.
Verificación de conjeturas
Se utiliza la conjetura formulada para calcular el número de
cuadrados en posiciones conocidas y se compara este
resultado con los resultados de usar otras conjeturas.

12. Búsqueda de patrones
Posición 3.
= -
Posición 4.
= -

13. Formulación de conjeturas
1. Se suma dos a la posición y se eleva al cuadrado para obtener el numero
de cuadraditos del cuadrado grande. A este número se le resta la posición
elevada al cuadrado, que corresponde al cuadrado que está en el centro.
Así se obtiene el número de cuadrados de cualquier posición.
2. Para hallar el número de cuadrados en cualquier posición se utiliza la
fórmula:
(x+2)2 –x2
Validación de conjeturas
1. Se muestra la equivalencia de las ecuaciones para garantizar que siempre
se va a obtener el mismo resultado.
2. Se utiliza la inducción matemática.

14. Cartilla: El álgebra desde la generalización
Dora Ahide Téllez doratc1@hotmail.com
Trabajo de grado
Especialización en Educación Matemática
Universidad Pedagógica Nacional
Se presentan ejemplos de actividades sobre
generalización adecuadas a los diferentes
ciclos de formación con soluciones.

15. Documentos donde se encuentran ejemplos sobre
actividades que permiten el desarrollo del proceso de
conjeturar:
 Alonso, F., Babero, C., Fuentes, I., Azcárate., Dozagarat, J.
y Gutiérrez, S. (1993) Ideas y actividades para enseñar
Algebra. Grupo Azarquiel. Madrid: Síntesis.
 Casas, E. (2005). Álgebra recreativa. Bogotá, Colombia:
Editorial magisterio.
 Malaspina, U. (2009). El rincón de los problemas. Revista
Iberoamericana de educación matemática. Unión, 20, 131-
139.

16. Documentos donde se encuentran ejemplos sobre
actividades que permiten el desarrollo del proceso de
conjeturar:
 Mason, J., Graham, A., Pimm, D. y Gowar, N. (1988). Rutas
y raíces hacia el algebra (C. Agudelo, Ed. y Trad.). Tunja,
Colombia: Universidad Pedagógica y Tecnológica de
Colombia. (Trabajo original publicado en 1985)
 Mora. L. y Soler. N. (2010). Estudiar Álgebra desde la
Generalización: Ejemplos para la formación de profesores.
En Memorias del 11º Encuentro Colombiano de
Matemática Educativa. Bogotá: ASOCOLME
 Socas, M., Camacho, M., Palarea, M. y Hernández, J.
(1989). Iniciación al álgebra. Madrid: Síntesis.

17. MEN (2006). Estándares Básicos de
Competencias en Matemáticas. Santa Fe de
Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.