Para profesores

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Presentamos a continuación, una situación que se desarrolla en un aula de tercer grado de
secundaria. El docente tratará la resolución de ecuaciones lineales a partir del planteamiento
de una situación real y contextualizada que acontece dentro de la misma institución educativa.
[[LASVARIABLES EN LAS
ECUACIONES LINEALES
DE PRIMER GRADO
PRIMERA SITUACIÓN PARA
LA REFLEXIÓN PEDAGÓGICA
Planteamiento de la situación problemática
Al ingresar al aula, les expresó lo siguiente:
Docente: Vamos a considerar que el promedio de esta aula, el tercero D, es x.
PROPÓSITO
APRENDIZAJES
QUE LOGRAN LOS
ESTUDIANTES
PREPARACIÓN
DE LA
ACTIVIDAD
REALIZACIÓN
DE LA
ACTIVIDAD
CIERRE
DE LA
ACTIVIDAD
Analiza y relaciona variables y números en un modelo referido a ecuaciones
lineales de primer grado para resolver situaciones de su interés.
Elabora y aplica un diseño para resolver problemas
Trabaja en equipo para elaborar estrategias y modelos referidos a ecuaciones
lineales de primer grado.
Aplica estrategias y procedimientos para despejar variables en ecuaciones
lineales de primer grado.
Justifica procedimientos de cálculo de variables en ecuaciones lineales de
primer grado.
Verifica la validez de las etapas y los procesos del diseño de resolución de
situaciones que aplicaron.
1. PROPÓSITO
2. APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES
3. PREPARACIÓN DE LA ACTIVIDAD
El docente diseña una situación que genere expectativas en los estudiantes a partir
de sus intereses. Estando próximo el concurso anual de Matemática, ofreció a los
estudiantes de las cuatro aulas a su cargo, un premio especial al aula que obtenga
el promedio mayor en el concurso.
4. REALIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD

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Donde:
x es la nota promedio de la sección D.
a es la nota promedio de la sección A.
b es la nota promedio de la sección B.
c es la nota promedio de la sección C.
3
2
a
x b c
=
+ +
A continuación, les propuso como reto, aislar el valor de x, y luego indicó que posterior-
mente daría los valores numéricos de a, b y c para que puedan encontrar el promedio
de su aula y reconocer el aula ganadora.
Los estudiantes, entusiasmados, pidieron más datos, indicando que esos no eran
suficientes. El profesor les preguntó qué datos querían tener. Ellos manifestaron que
necesitaban los promedios de cada sección, él les recordó que los daría luego, pero que
primero se encarguen de despejar la variable.
Trabajo en equipos
Para realizar la actividad indicada, el docente conformó grupos de cinco estudiantes.
El docente ejerce su rol de facilitador del aprendizaje y monitorea el trabajo de los
grupos, realizando preguntas que ayuden a la realización de la actividad y absuelve
interrogantes.
Una vez en grupos, los estudiantes tuvieron 15 minutos para desarrollar la actividad. Luego
de cumplido el tiempo, tres de los grupos presentaron sus procedimientos en la pizarra:
DURANTE ELTRABAJO EN EQUIPO, ES IMPORTANTE QUE...
El docente: El docente no:
• Plantee preguntas que problematicen
al estudiante, lo hagan reflexionar y
orienten a la solución de la actividad.
• Brinde los procedimientos o las estrate-
gias que conlleven a toda o parte de la
solución de la actividad.
PRIMER GRUPO SEGUNDO GRUPO TERCER GRUPO
3
2
a
x b c
=
+ + 3
2
a
x b c
=
+ + 3
2
a
x b c
=
+ +
3
2 2 2
a
x b c
= + +
3
2 2 2
a
b c x
− +



 =
2 3 2
2 2
⋅ − ⋅ +



 =a
b c
x
6a b c x− − =
2 3⋅ − + =( )a b c x − =
+
x
b c
a2 3.
6a b c x− + =
x
b c
a
=
− +( )
6

3. 3
Promoviendo la reflexión
Con el fin de promover la reflexión so-
bre lo trabajado por sus estudiantes,
el docente pide que los valores: a=1,
b=2 y c=3 sean reemplazados en la
expresión inicial y en las expresiones
compartidas por los tres grupos en
la pizarra, para así verificar sus pro-
cesos. Si todas estaban correctas,
deberían dar los mismos resultados.
Pasados algunos minutos, invita a
otros estudiantes (de preferencia
que no hayan participado antes)
para que compartan su comproba-
ción en la pizarra.
ECUACIÓN INICIAL PLANTEADA POR EL DOCENTE
Reemplazamos cada variable por el
valor asignado: a = 1, b = 2, c = 3
 3 1
2 3
2
=
+ +x

Tenemos una igualdad en la
que despejaremos la variable
x. Para iniciar este proceso,
h o m o g e n e i z a r e m o s a m b o s
miembros de la igualdad.
Para eliminar el 2 que divide lo multiplico
por 2, para obtener así 1; pero, basándonos
en la ley de la igualdad debo realizar esta
operación en ambos lados de la igualdad.
Para homogenizar, multiplicamos por 2
ambos miembros (Ley de uniformidad)
3 2
5
2
2 ⋅ =
+
⋅
x

2 entre 2 es igual a 1, y ya que 1 es el
elemento neutro de la multiplicación, no
altera la expresión..
 6 = x + 5
Luego, para despejar el valor de x, resto 5
en ambas partes.
 6 5 5 5
1
− = + −
=
x
x 
3
2
a
x b c
=
+ +
3
5
2
=
+x

4. 4
ECUACIÓN PLANTEADA POR EL SEGUNDO GRUPO
x
b c
a
=
− +
6
Reemplazamos cada variable por el valor asignado.
a = 1, b = 2 y c = 3
 x
x
=
− +
⋅
=
−
2 3
6 1
5
6

ECUACIÓN PLANTEADA POR EL PRIMER GRUPO
6a- b + c= x
Reemplazamos cada variable por el valor asignado.
a = 1, b = 2 y c = 3
 6(1) – (2) + (3) = x
 6 – 2 +3 = x
 7 = x
ECUACIÓN PLANTEADA POR ELTERCER GRUPO
6a- b - c= x
Reemplazamos cada variable por el valor asignado.
a =1, b = 2 y c = 3
 6 · (1) – (2) – (3) = x
 6 - 5 = x 1 = x

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Trabajo en plenaria para la reflexión grupal y justificación de
procesos y resultados
Una vez reemplazados los valores asignados en plenaria, el docente dialoga sobre los
resultados obtenidos para x que, en algunos casos, difieren:
 Para la ecuación planteada por el profesor, el valor de x fue 1.
 Para la ecuación planteada por el primer grupo, el valor de x fue 7.
 Para la ecuación planteada por el segundo grupo, el valor de x fue - 5
6
.
 Para la ecuación planteada por el tercer grupo, el valor de x fue 1.
Plantea las interrogantes: Si todas representan el valor de x, ¿cómo deberían ser las
cantidades?, ¿por qué? Promueve la participación de los estudiantes, en forma ordena-
da, para que expliquen sus respuestas y escoge a dos o tres estudiantes que argumen-
ten el por qué (según su análisis) de la diferencia en los resultados, particularmente,
el valor de x= -
5
6
. Plantea interrogantes conducentes a analizar si es o no es posible
obtener valores negativos como -
5
6
= – 0,83333 en los promedios de evaluaciones de
un aula. Invita a justificar sus opiniones.
El docente va anotando las respuestas en la pizarra mientras realiza interrogantes de
verificación (por ejemplo: ¿cuál de las respuestas consideras que es la correcta?),
interrogantes de causa efecto (por ejemplo: ¿estuvieron correctas las operaciones
realizadas?), interrogantes de generalización (por ejemplo: ¿cuán importante es
aplicar correctamente una operación?), etc.

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Verificación y formalización del apren-
dizaje
Luego del análisis en plenaria, el docente pide
que regresen a sus grupos para que comprueben
e identifiquen el valor correcto de la variable x.
Transcurrido el tiempo asignado, invita a dos grupos
voluntarios a socializar sus procedimientos.
LEY DE UNIFORMIDAD O IGUALDAD
Una ecuación no cambia si a los dos miembros se les suma o se les resta la misma
cantidad.
Una ecuación no cambia si a sus dos miembros se les multiplica o se les divide por la
misma cantidad.
Para formalizar el procedimiento realiza la resolución conjunta con los estudiantes.
Durante el proceso de transposición, fortalece permanentemente la aplicación de la ley
de uniformidad a partir de las interrogantes: ¿lo pasamos?, ¿qué significa en realidad
“pasarlo”? (tanto para la adición, sustracción, multiplicación y división). Ejemplo:
3 2
2
2 6a
x b c
a x b c ⋅ =
+ +
⋅ → = + +
El docente rememora lo aplicado por los grupos en sus procedimientos (sobre la ley de
uniformidad o igualdad), propone algunos ejemplos más y les recuerda:
Luego, obtuvo: 6
6
a b x b c b
a b x c
− = + + −
− = +
6
6
a b c x c c
a b c x
− − = + −
− − =

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Después de haber aislado la variable x, el docente brinda los valores de a, b y c que
correspondían al promedio de notas que obtuvieron las secciones A, B y C respectiva-
mente.
a= 8 b = 15 c= 16
Invita a los grupos a calcular el promedio del aula y descubrir qué aula fue la que ob-
tuvo mayor promedio.
Elige tres estudiantes de diversos grupos para socializar en la pizarra sus resultados.
Con la participación de los estudiantes, concluye con la siguiente frase:
Por último, indica que hallen las ecuaciones para los valores de a, b y c.
¿Qué sección tuvo el mejor promedio?
Resolver una ecuación es calcular el valor de una o
más variables.
IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES
Cada variable tiene un valor numérico
Utiliza determinadas estrategias para aislar el valor de la variable en la ecuación.
ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO
Está compuesta por variables (letras), que representan cantidades, y coeficientes.
Disponen de una serie de métodos para la resolución de una ecuación o un sistema
de ecuaciones de primer grado.
El docente realiza un recuento de lo trabajado durante la clase y elabora con ellos las
siguientes ideas a tener en cuenta:
5. CIERRE DE LA ACTIVIDAD
Orienta el cierre de la actividad con preguntas de reflexión, en plenaria:
¿Y si se hubiera utilizado otra estrategia, hubiera resultado lo mismo?
¿Se pueden trasponer términos en formar directa?.
¿Puede utilizarse una estrategia netamente resolutiva?
El docente indica que seguirán trabajando este tema y pide que, para la siguiente clase,
los estudiantes traigan información sobre métodos de resolución de una ecuación lineal
de primer grado.