Antologia

NOMBRE DEL ALUMNO: CODIGO:
TSUARC HÉCTOR ELOY JIMENEZ ESTRADA 303239551
CARRERA: SEMESTRE:
LICENCIATURA EN TECNOLOGIAS E INFORMACION 1er Semestre
MATERIA:
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO Y MATEMÁTICO I.
GRUPO:
62695.
UNIDAD:
1-4.
ASESOR TITULAR:
ANDRÉS DE LA CARIDAD PÉREZ ALONSO.
ASESOR ADJUNTO:
SERGIO ULISES LILLINGSTON PÉREZ.

Objetivo general

Desarrollar habilidades de razonamiento lógico y pensamiento matemático
para dar solución a problemas reales mediante el análisis y planteamiento de
los algoritmos pertinentes.

Aplicación de la teoría de conjuntos en la resolución de problemas

En nuestra vida cotidiana, para entender y manejar el mundo,
organizamos los objetos con los que tratamos (gente, cosas, etc.) agrupándolos
desde diferentes puntos de vista o criterios, y formamos así, colecciones a las
que los matemáticos llaman “conjuntos”. Algunos ejemplos muy sencillos de
conjuntos podrían ser los siguientes: el niño acomoda sus juguetes por
tamaños; la señora clasifica la ropa para lavarla, en conjuntos de ropa blanca y
de color; el cajero acomoda los billetes por denominación, etc. Un conjunto está
formado por elementos o miembros que poseen alguna o algunas
características similares.

En la realidad, los diferentes conjuntos que organizamos, se relacionan
entre sí, dando como resultado otros conjuntos nuevos. Observar las relaciones
entre los miembros o elementos de un conjunto, así como las relaciones entre
diferentes conjuntos, es común, aunque en muchas ocasiones no nos damos
cuenta. Por ejemplo, cuando una pareja decide unirse en matrimonio, tienen la
opción de unir sus bienes si es que deciden casarse bajo el régimen de
sociedad conyugal, o bien, pueden hacer una clara distinción entre los bienes
que cada uno de ellos posee, optando por la opción de matrimonio bajo el
régimen de separación de bienes. Aunque podría parecernos a simple vista que
esta situación no guarda ninguna relación con los conjuntos, es posible
representarla en términos matemáticos mediante el uso de los conjuntos y sus
operaciones.

La teoría de conjuntos ha buscado representar, de manera
extremadamente simple, los objetos y sus relaciones para que los seres
humanos podamos entender determinadas situaciones de una manera más
clara y, en consecuencia, resolver problemas.

Aunque la definición cotidiana de un conjunto es “una colección de
objetos”, para las matemáticas éste es un concepto fundamental dado que de él
se derivan las bases de otras ramas como lo son el álgebra y la lógica, entre
otras.

Cada objeto que compone un conjunto es conocido como “elemento” o
“miembro” y todos los elementos de dicho conjunto poseen características
similares, por lo tanto, es posible definir un conjunto en términos de sus
características, o bien, excluir elementos que no pertenezcan al mismo.

Objetivo de aprendizaje

Resolver problemas prácticos empleando operaciones con conjuntos,
partiendo de la definición, en términos matemáticos, de los mismos.

Habilidades que se pretenden desarrollar en esta unidad:

• Identificación de conjuntos
• Desarrollo de operaciones con conjuntos
• Clasificación de los tipos de conjuntos
• Ordenación de elementos de un conjunto
• Representación de problemas mediante un lenguaje propio de la matemática
• Planteamiento de problemas mediante el uso de conjuntos
• Solución de problemas mediante el uso de conjuntos

Ejercicios Actividad 1 - Unidad 1.

a) Especifica cuáles de los siguientes conjuntos están bien determinados y cuáles no
lo están:

•El conjunto de los números mayores que 15 o menores de 8.
Conjunto Bien Determinado
•El conjunto de los pájaros cantores.
•El conjunto del personal del departamento de sistemas que dan respuesta a los problemas
técnicos de los clientes.
Conjunto No Determinado
•El conjunto de los hombres que han viajado al espacio.
•El conjunto de todos los autos lujosos.
•El conjunto de todos los autos de seis cilindros.
•El conjunto de todos los hombres altos.

b) ¿Cómo definirías un conjunto que no está bien determinado?
Un conjunto el cual no está bien determinado es aquel donde la respuesta es ambigua, es
decir no podemos conocer ciertamente todos los elementos que lo conforman.

c) Considera el conjunto “Equipos participantes en la Copa Mundial de Fútbol de
2006”. Haz una clasificación de los elementos de este conjunto, ya sea por continente,
con campeonatos ganados o no, participaciones previas, letra inicial del nombre del
país, etc. Indica quiénes pertenecen a qué clasificación.
Puedes consultar en las siguientes ligas o en cualquiera de tu preferencia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Equipos_participantes_en_la_Copa_Mundial_de_F%C3%B
Atbol_de_2006
http://es.fifa.com/worldcup/archive/germany2006/index.html

 Conjunto de países del continente de Europa.
{Alemania, Croacia, España, Francia, Inglaterra, Italia, Países Bajos, Polonia, Portugal,
República Checa, Serbia y Montenegro, Suecia, Suiza, Ucrania}
 Conjunto de países del continente de África.
{Angola, Costa de Marfil, Ghana, Togo, Túnez}
 Conjunto de países del continente de Asia.
{Arabia Saudita, Corea del Sur, Irán, Japón}
 Conjunto de países del continente de Oceanía.
{Australia}
 Conjunto de países del continente de América.

{Argentina, Brasil, Costa Rica, Ecuador, Estados Unidos, México, Paraguay, Trinidad y
Tobago}
d) Escribe de manera implícita cada uno de los siguientes conjuntos.
•{5, 10, 15, 20…}
{Múltiplos positivos del número 5}
•{a, b, c}
{Letras del abecedario anteriores a la d}
•{Mercurio, Venus, ..., Plutón}
{Planetas del Sistema Solar}
•{4,6,8,...,22,24}
{Números pares desde 4 hasta 24}
•{iridio, platino, oro} (Tip: Consulta la tabla periódica de los elementos)
{Elementos químicos con número atómico mayor que 76 y menor que 80}
•{1,4,9,16,25,36,49}
{Números positivos elevados al cuadrado menor a 8}

e) Escribe de manera explícita cada uno de los conjuntos que siguen.
•El conjunto de las vocales de la palabra “Michoacán”.
{i,o,a}
•El conjunto de todos los hombres que miden más de 1.83 m.
{1.84 m, 1,85 m, 1.86 m, 1.87 m, 1.88 m …}
•El conjunto de las consonantes de la palabra “Diversidad”.
{d,v,r,s}
•El conjunto de los elementos del grupo IB de la tabla periódica de los elementos.
{Cu, Ag, Au, Rg}
•El conjunto de las letras de la palabra “Sustantivo”
{s,u,t,a,n,i,v,o}
•El conjunto de números enteros pares entre 10 y 16.
{12,14}
•El conjunto de números enteros positivos menores que 8
{1,2,3,4,5,6,7}


Igualdad:
Dos o más objetos matemáticos son considerados iguales si son el mismo objeto.

Correspondencia uno a uno:
El número de elementos en un conjunto es igual al número de elementos en otro conjunto.

Equivalencia:
Que tiene el mismo valor aunque se exprese de diferente forma por ejemplo .20 es
equivalente a ⅕

Subconjuntos:
Un conjunto A formado por algunos de los elementos de otro conjunto B es un subconjunto
de este último.

¿Qué es un subconjunto y cómo se representa?
La idea de subconjunto es relativa a otro conjunto. Se dice que A es subconjunto de B si todo
elemento de A pertenece a B. Por ejemplo, el conjunto de A = {animales mamíferos} es
subconjunto del conjunto B= {animales vertebrados}, pues todo animal de A pertenece a B. Y
se representa “⊆”

¿Cuáles son los símbolos que indican si un elemento pertenece o no pertenece a un
conjunto?
 Indica Pertenencia
Indica Que No Pertenece

¿Existen conjuntos iguales?
Si, son aquellos que contienen los mismos elementos en sus conjuntos.

¿Es lo mismo conjuntos iguales que conjuntos equivalentes?
Un conjunto equivalente es aquel que contiene el mismo numero de elementos en sus
conjuntos, no importa si estos son diferentes ejemplo A = {1,2,3} B= {a,b,c}, A y B son
conjuntos equivalentes por que contienen el mismo número de elementos.
Un conjunto igual es aquel donde los mismos elementos en sus conjuntos, por ejemplo C=
{a,e,i,o,u} y D= {xІx es una vocal}, por lo tanto C y D son conjuntos iguales.
Entonces un conjunto igual no es lo mismo que un conjunto equivalente.

¿Cómo es la correspondencia de uno a uno entre conjuntos?
Se refiere al hecho de cada elemento del primer conjunto encontrara una pareja en el
segundo conjunto, y que cada elemento del conjunto segundo encontrara pareja en los
elementos del primer conjunto.

a) Escribe el símbolo  o  para que el enunciado sea cierto y justifica tu elección en cada
uno de ellos.
 {0, 5, 10} =  el símbolo significa conjunto vacío y un conjunto vacío siempre
pertenecerá a cualquier conjunto.
0{ } = 0 es solo un elemento y no puede pertenecer a un conjunto vacío, ya que este
no contiene elementos.
 3{7} = el elemento 3 no pertenece al conjunto, por que el conjunto esta formado de
un solo número que es el 7.
 8{8} = el 8 si pertenece al conjunto por que si es un elemento del conjunto.
a = a es solo un elemento y no puede pertenecer a un conjunto vacío (por que los
conjuntos vacíos, no tienen ningún elemento), en su momento la respuesta cambiaria
si nos dieran el conjunto completo, no solo un elemento.
 a{a, b, c} = a si pertenecer al conjunto de las 3 primeras letras del abecedario, por
que es una de ellas.

b) Determina todos los subconjuntos del conjunto dado.
 {a, b, c}
Subconjuntos: {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}
 {4, 8, 12, 16}
Subconjuntos: {}, {4}, {8}, {12}, {16}, {4,8}, {4,12}, {4,16}, {8,12}, {8,16}, {12,16},
{4,8,12}, {4,8,16}, {4,12,16}, {8,12,16}, {4,8,12,16}
 {1, 3} Subconjuntos {}, {1}, {3}, {1,3}
 {4} Subconjuntos {}, {4}

c) En los siguientes ejercicios especifica si el enunciado es cierto o falso.
Nota: Los ejercicios deben de incluir justificación para que la respuesta tenga valor.
 a, e, i, o, u  { x  x es una letra de nuestro alfabeto}
CIERTO = El enunciado se cumple por que los elementos del primer conjunto (que
son las vocales) si pertenecen al segundo conjunto, si son letras del alfabeto.
 Si A es el conjunto de los números que son divisibles por 2 y B es el conjunto de
números divisibles por 4, entonces BA.
CIERTO = Todos los elementos del conjunto “B” elementos divisibles entre 4,
pertenecen al conjunto A, porque si es divisible entre 4, es divisible entre 2, porque 2
si divide a 4.
 Si H = a1, a2 , a3 , a4 , a5, a6 , a7  entonces n(H) = 64
FALSO = H es un conjunto con 7 y respetando la regla de 2n, el resultado seria 128
no 64.
 Si tienes 4 monedas; una de un peso, una de dos pesos, una de cinco pesos y una de
diez pesos, entonces puedes obtener 16 sumas diferentes.
CIERTO (como el conjunto A, tiene en total 4 elementos, entonces el número de
subconjuntos que se pueden obtener de él, se determina con n (A) = 2 4=16;
{};{1};{2};{5};{10}; {1,
2};{1,5};{1,10};{2,5};{2,10};{5,10};{1,2,5};{1,5,10};{2,5,10};{1,2,5,10}.

d) Indica si los conjuntos que se indican son iguales.
Nota: Los ejercicios deben de incluir justificación para que la respuesta tenga valor.
 S = {2, 4, 6, 8, 10}, T={ x  x es número entero positivo par menor o igual que 10}.
Sin son conjuntos iguales por que se cumple la regla de que los elementos que están
en el conjunto S, son los que describe el conjunto T.

 C = { es una persona que viajó al pasado}, D = {  es una persona con más de 3
metros de estatura}.
Si son conjuntos iguales, porque no tienen ningún elemento por que no hay personas
que viajen al pasado o que midan más de 3 metros

 A = {0, 20, 2/2, 1} y B = { 0, 1}
Si son iguales porque a es un conjunto que tiene varias tipos de medida y B son 2
números enteros pares; todos los números de A pertenece a B.


a) Para los siguientes ejercicios, sea U = N (Números naturales) sea A = { x  x es un
número natural par}, B={4, 8, 12, 16 ...}, C = {3,7,9} y D = { y  y es un número natural
impar}, encuentra lo siguiente:
 B
{1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15 ...}

 Ā A
Ā {x x es un número natural que no es par} A {xx es un número natural par}
Entonces: Ā A = {}

 Ā A
Ā {x x es un número natural que no es par} A {xx es un número natural par}
Entonces: Ā A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…}

 Ā B
Ā {x x es un número natural que no es par} B {4,8,12,16…}
Entonces: Ā B = {1,3,4,5,7,8,9,11,12…}

 C-B
C{3,7,9} B {4,8,12,16…}
Entonces: C-B = {3,7,9}

 (Ā  B )A
Ā {x x es un número natural que no es par} B {1,2,3,5,6,7,9,10,11…}
Entonces (Ā  B ) ={1,2,3,5,6,7,9,10,11…}
A {xx es un número natural par}
Entonces (Ā  B )A = {2,6,10…}

 (BD)C
B{4, 8, 12, 16 ...} D { y  y es un número natural impar}
Entonces (BD) = {}
C{3,7,9}
Entonces (BD)C = {3,7,9}

 (BA)(CD)
B{4, 8, 12, 16 ...} A {xx es un número natural par} entonces (BA) = {2,4,6,8,10,12…}
C{3,7,9} D { y  y es un número natural impar} entonces (CD) ={3,7,9}
Entonces (BA)(CD) = {}

 ( B C)A
B {1,2,3,5,6,7,9,10,11…} C{3,7,9} = {3,7,9}
A {xx es un número natural par} Entonces ( B C)A = {}

 CD
C{3,7,9} D { y  y es un número natural impar} (CD) ={3,7,9}
Entonces C  D = {1,2,4,5,6,8,10,11,12,13…}

 ( A  C)  A
A {xx es un número natural par} C{3,7,9} = {}

( A  C ) = {Números Naturales}

Entonces ( A  C )  A ={1,2,3,4,5,6,7,8…}

b) Para los siguiente ejercicios, si P  Q, y Q  R, determina los conjuntos:
P ={A,B} Q ={A,B,C} R ={A,B,C,D}

R Q P A, B C D

U

 QR
Respuesta = {A,B,C,D} que es “El Conjunto R”
 QR
Respuesta = {A,B,C} que es “El Conjunto Q”
 PR
Respuesta = {A,B,C,D} que es “El Conjunto R”
 PR
Respuesta = {A,B} que es “El Conjunto P”
 PQ
Respuesta = {A,B,C} que es “El Conjunto Q”
 PQ
Respuesta = {A,B,} que es “El Conjunto P”

 P  (Q  R)
(Q  R) = {A,B,C}
Entonces P  (Q  R) Respuesta = {A,B,C} que es “El Conjunto Q”
 P  (Q  R)
(Q  R) = { A,B,C,D }
Entonces P  (Q  R) Respuesta = {A,B} que es “El Conjunto P”

c) De los siguientes ejercicios menciona cuáles expresiones son verdaderas y cuáles
son falsas:
Nota: los ejercicios deben incluir justificación para que tengan valor

M ={xx es número positivo multiplo de 6 menor o igual 30}
N ={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30}

1. (M  N)  M VERDADERO
M  N = {6,12,18,24,30}  M - Respuesta: M  N Si es un subconjunto de M por que
todos los elementos que salen de la operación pertenecen al conjunto M.
2. (M  M’ )  M VERDADERO
M’ = {1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,19,20,21,22,23,25,26,27,28,29}
M  M’ = {}  M - Respuesta: M  M’ Si es un subconjunto M, por que el resultado de
la operación da un conjunto vacio y el conjunto vacio es subconjunto de todos los
conjuntos.
3. (M´  N´ )  M’ VERDADERO
M’ = {1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,19,20,21,22,23,25,26,27,28,29}
N’ = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29}
(M´  N´ ) = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29}  M’ - Respuesta: M’  N’ Si
es un subconjunto de M’ por que los elementos que salen de la operación todos estan
en el conjunto M’, por lo tanto si son un subconjunto de M’.
4. (M  N)  N VERDADERO
M  N = {6,12,18,24,30}  N - Respuesta: M  N Si es un subconjunto de N por que
los elementos que dan como resultado de la operación son elementos que estan en el
conjunto N, entonces en automatico se convierten en un subconjunto de N, por que
recordemos que los subconjuntos solo contienen elementos del conjunto original.

d) Una fábrica de computadoras fabrica los siguientes tipos: M = {laptop, netbook, de
escritorio }. Los colores usados son: C = {rojo, azul, negro, blanco, plata}. Determina el
conjunto MC e interprétalo.
MxC = {(laptop, rojo); (laptop, azul); (laptop, negro); (laptop, blanco); (laptop, plata);
(netbook, rojo); (netbook, azul); (netbook, negro); (netbook, blanco); (netbook, plata);
(de escritorio, rojo); (de escritorio, azul); (de escritorio, negro); (de escritorio, blanco);
(de escritorio, plata);}

Interpretación: Son los distintos ordenadores que se pueden fabricar considerando
como únicos elementos diferenciales el tipo de ordenador y el color.

e) Para los siguientes ejercicios, sea U el conjunto de socios de un club deportivo, y
sean los siguientes conjuntos:

H = conjunto de socios hombres.
J = conjunto de socios menores de 25 años
V = conjunto de socios que son mayores de 35 años.
D = conjunto de socios que practican tenis.
M = conjunto de socios mujeres.

Describe, de manera textual, cada uno de los siguientes conjuntos:
*MJ
R = Conjunto de socios de un club deportivo que sean mujeres y que sean menores de
25 años.
*JV
R = Conjunto de socios de un club deportivo que sean menores de 25 años ó mayores
de 35 años.
*JV
R = Conjunto de socios de un club deportivo que sean menores de 25 años y mayores
de 35 años.
*HM
R = Conjunto de socios de un club deportivo que sean socios hombres ó socios
mujeres.
*HM
R = Conjunto de socios de un club deportivo que sean socios hombres y socios
mujeres.
*HD
R = Conjunto de socios de un club deportivo que sean socios hombres y que practican
tenis.
*H J
J = Conjunto de socios de 25 años o mayores.
R = Conjunto de socios de un club deportivo que sean socios hombres y tenga 25
años o más.
* ( J V )
J  V = Conjunto de socios de un club deportivo que sean menores de 25 años ó
mayores de 35 años.
R = Conjunto de socios de un club deportivo que sean tenga 25 años o mas ó que
tengan 35 años o menos.
* (DJ )
D  J = Conjunto de socios de un club deportivo que practiquen tenis ó tenga menos
de 25 de años.
R = Conjunto de socios de un club deportivo que no practiquen tenis ó tenga 25 años o
más.
* H
R = Conjunto de socios de un club deportivo que no sean hombres.

* M
R = Conjunto de socios de un club deportivo que no sean mujeres.
* J V
J = Conjunto de socios de 25 años o mayores.
R = Conjunto de socios de un club deportivo que tenga 25 años o más pero no sean
mayores de 35 años.


Teorema:
Sean A , B y C tres conjuntos cualesquiera,
i. si AB = , entonces n(AB) = n(A) + n(B)
ii. si AB  , entonces n(AB) = n(A) + n(B)  n(AB)
iii. n(ABC)= n(A)+n(B)+n(C)n(AB)n(AC)n(BC)+n((ABC))

Problema 1
En una entrevista a 100 consumidores, 15 indicaron que compraron una computadora nueva,
20 dijeron que compraron un reproductor de audio nuevo y 26 que compraron una pantalla
de plasma. De estos, 5 compraron una computadora y un reproductor de audio, 3 compraron
una computadora y una pantalla y 11 compraron una pantalla y un reproductor de audio.
Una persona compró los tres artículos.

A B
8 4 5
1
2 10
C
13
U=100 (ABC)*= 57

U= 100 consumidores
A= 15 compraron una computadora nueva
B= 20 compraron un reproductor de audio nuevo
C= 26 compraron una pantalla de plasma
AB= 5 compraron computadora y reproductor de audio
AC= 3 compraron una computadora y pantalla
BC= 11compraron pantalla y reproductor
ABC = 1 compro los 3 articulos
• ¿Cuántas personas compraron sólo reproductor de audio?
B - AB - BC + ABC
Entonces 20-5-11+1 = 5
Respuesta: Solo 5 personas compraron un reproductor de audio.
• ¿Cuántas compraron sólo computadora y pantalla?
AC - ABC
Entonces 3-1 = 2
Respuesta: Solo 2 personas compraron computadora y pantalla
• ¿Cuántas personas no compraron ningún artículo?
ABC=A + B + C -AB - AC - BC + ABC
Entonces 15+20+26-5-3-11+1= 43
(ABC)* = U- ABC
Entonces 100-43=57
Respuesta: 57 personas no compraron ningun artículo.

Problema 2
Una fábrica de computadoras fabricó un día 325 laptops con procesador Intel, 245 con
memoria Kingston y 80 de éstas cuentan con ambas características.

A B

245 80 165

U= 490 (AB)*= 

A=325 laptops con procesador Intel
B=245 con memoria Kingston
AB= 80 laptops tiene procesador Intel y memoria Kingston.
 ¿Cuántas computadoras se fabricaron si todas ellas tenían por lo menos una de las
características?
AB = A+B - A∩B
Entonces 325+245-80=490.
Respuesta: 490 computadoras se fabricaron con al menos una característica.

Problema 3
De una encuesta realizada a 230 estudiantes de la universidad sobre si tenían equipo de
cómputo en su casa; se encontró que 69 estudiantes poseen computadora de escritorio, 36
poseen laptop y que 15 de estos tienen ambos tipos.
A
B
54 15 21

U= 230 (AB)*= 140

U= 230 estudiantes de la universidad.
A= 69 estudiantes tienen una computadora de escritorio.
B= 36 estudiantes poseen laptop.
A∩B= 15 alumnos tienen ambos tipos.
 ¿Cuántos estudiantes son propietarios de computadoras de escritorio o de una
laptop?
AB = A+B - A∩B
Entonces AB = 69+36-15 = 90
Respuesta: 90 alumnos son propietarios de una computadora de escritorio o de una
laptop.
 ¿Cuántos estudiantes no poseen ninguno de los dos tipos?
(AB)* = U – (AB)
(AB)* = 230-90=140
Respuesta: 140 alumnos no poseen ninguno de los dos tipos.

Problema 4
En una empresa hay 300 empleados; de ellos 130 están sindicalizados (85 son hombres y 45
son mujeres); de los empleados 150 son hombres.

U= 300 empleados.
A= 85 hombres sindicalizados
A∩B = 150 hombres en total
B= A-A∩B
C= 45 mujeres sindicalizadas
AC = 130 personas sindicalizadas
C∩D = U-A∩B
D= C- C∩D
 ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres no están sindicalizadas?
a+b= 150: Despejamos “b” y nos queda b=150-a
Entonces: b=150-85 = 65; b=65 hombres no sindicalizados
a+b+c+d=300; despejamos “d” y nos queda: d=300-a-b-c
Entonces: d=300-85-65-45= 105; d= 105 mujeres no sindicalizadas.
Repuesta: hay 105 mujeres no sindicalizadas y 65 hombres no sindicalizados.

Problema 5
En una encuesta realizada a 600 miembros de un club, se observó que 170 tenía gusto por el
futbol, de los cuales 80 tenían gusto por el futbol y por el beisbol, y 245 tenían gusto por el
beisbol.

A B
90 80 165

U=600 (AB)*= 265

U= 600 miembros de un club.
A= 170 miembros les gusta el futbol.
B= 245 miembros les gusta el beisbol.
A∩B= 80 miembros les gustan los 2 deportes

 ¿Cuántas personas no tienen gusto por el futbol ni por el beisbol?
AB=A+B-A∩B
Entonces 170+245-80= 335
(AB)*= U - AB
Entonces 600-335=
Respuesta: 265 miembros no tienen gusto por ningún deporte

Problema 6
Al entrevistar a 150 empresas, se observó que 85 de ellas estaban incorporadas a la cámara
de comercio, 65 a la cámara de industriales y 11 a ninguna de las dos.

A B
74 11 54

U= 150 (AB)*= 11

U= 150 empresas
A= 85 incorporadas a la cámara de comercio
B= 65 incorporadas a la cámara de industriales
(AB)*= 11 ninguna empresa

 ¿Cuántas empresas están suscritas a ambas cámaras?
(AB)*= U - AB, despejando:
AB= U – ( AB)*, nos queda 150 – 11 = 139
Entonces A∩B = A+B- AB
85+65-139 = 11
Respuesta: 11 personas estan suscritas a ambas cámaras.

Ejercicios Actividad Integradora - Unidad 1.

Problema 1

En un grupo de la facultad de informática se sabe que cada uno de sus integrantes estudia
al menos una de las siguientes tres materias: Hardware, Software y Redes.

También se sabe que:

a) Los que estudian hardware son 39
b) Los que estudian software son 43
c) Los que estudian redes son 45
d) Los que estudian hardware y software son 26
e) Los que estudian hardware y redes son 24
f) Los que estudian software y redes son 25
g) Los que estudian las tres asignaturas son 15

A= 39 Estudian Hardware
B= 43 Estudian Software
C= 45 Estudian Redes
AB= 26 Estudian Hardware y Software
AC= 24 Estudian Hardware y Redes
BC= 25 Estudian Software y Redes
ABC = 15 Estudian las 3 asignaturas

¿Cuántos alumnos hay en el grupo?
ABC = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + ABC
ABC = 39+43+45-26-24-25+15 = 67
Respuesta: 67 Alumnos
¿Cuántos estudian hardware y software pero no redes?
Solo A= A - A∩B - A∩C + ABC
Entonces A= 39-26-24+15 = 4 estudiantes
Solo B= B - A∩B - B∩C + ABC
Entonces B = 43- 26 - 25 + 15 = 7 estudiantes
Solo C= C - A∩C - B∩C + ABC
Entonces C= 45 - 24 - 25 + 15 = 11 estudiantes
AB = 4 + 7 = 11
Solo 11 estudiantes, estudian hardware y software.
¿Cuántos estudian nada más que redes?
Entonces C= 45 - 24 - 25 + 15 = 11 estudiantes
Solo 11 estudiantes estudian Redes.

Problema 2

Una empresa vinícola entrevistó a 1219 personas con el objeto de saber cuál es la
preferencia por el consumo de vino. Se obtuvieron los siguientes resultados:

534 personas compran vino tinto
658 compran vino blanco
541 compran vino rosado
287 compran vino tinto y blanco
305 compran vino tinto y rosado
273 compran vino blanco y rosado
189 no consumen estos tipos de vinos

U= 1219 personas
A= 534 compraron vino tinto
B= 658 compraron vino blanco
C= 541 compraron vino rosado
AB= 287 compraron tinto y blanco
AC= 305 compraron tinto y rosado
BC= 273 compraron blanco y rosado
(ABC)* = 189 no consumen ningun tipo de vino

 ¿Cuántas personas compran los tres tipos de vino?
(ABC)*= U - ABC, despejando:
ABC = U – (ABC)*; nos quedaría ABC = 1219-189 = 1030.
ABC = ABC - A - B - C + AB + AC + CB
Entonces 1030 - 534 - 658 - 541 + 287 +305 + 273 = 162.
162 personas compraron los 3 tipos de vino
 ¿Cuántas personas compran sólo un tipo de vino?
Entonces A= 534-287-305+162 = 104 compraron solo vino tinto
Entonces B = 658 - 287 - 273 + 162 = 260 compraron solo vino blanco
Entonces C= 541 - 305 - 273 + 162 = 125 compraron solo vino rosado
A+B+C = 104 + 260 +125 = 489 compraron de un solo vino.

Problema 3

El departamento de Transporte investigó a 100,000 personas para determinar sus diferentes
formas de emplear el transporte público en el año anterior. Los resultados fueron los
siguientes:
35,000 viajaron en avión
40,000 viajaron en autobús
25,000 viajaron en tren
8,000 viajaron tanto en avión como en autobus
7,000 viajaron tanto en autobús como en tren
6,000 viajaron tanto en avión como en tren
4,000 viajaron en las tres formas

U = 100,00 personas A= 35,000 viajaron en avión - B= 40,000 viajaron en autobús
C= 25,000 viajaron en tren - AB= 8,000 viajaron en avión y autobús
AC= 7,000 viajaron en avión y tren - BC= 6,000 viajaron en autobús y tren
AC= 6,000 viajaron en avión y tren - BC= 7,000 viajaron en autobús y tren
ABC = 4,000 viajaron en las 3 formas

Determina el porcentaje de personas que:
 Viajaron sólo en avión.
Entonces 35,000-8,000-6,000+4,000 = 25,000 Personas viajaron sólo en avión.
Equivalente al 25%

 Viajaron sólo en autobús y en tren.
Solo BC = BC - ABC
Entonces 7,000- 4,000 = 3,000 Personas que viajaron sólo en autobús y tren
Equivalente al 3%

 Viajaron sólo en avión o en tren.
Entonces 35,000 - 8,000 - 6,000 + 4,000 = 25,000 Personas viajaron sólo en avión.
Entonces 25,000 - 7,000 - 6,000 + 4,000 = 16,000 Personas viajaron sólo en tren
Solo A+ Solo C = 25,000 + 16,000 = 41,000 Personas viajarón sólo en avión oen tren.
Equivalante al 41%

 Viajaron en avión o en tren.

(ABC)*= 17,000

25,000

A
4,000
2,000
B
4,000

29,000 16,000
3,000
C

U= 100,000

A+C-A∩C
Entonces: 35,000+25,000-6,000=54,000
Equivalante al 54%.

 No hicieron uso de ninguna de las formas de transporte.
ABC = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + ABC
35,000+40,000+25,000-8,000-7,000-6,000+4,000 = 83,000
(ABC)*= U - ABC
100,000-83,000 = 17,000; 17,000 personas no viajaron en ninga forma de transporte
Equivalante al 17%.

Problema 4

En una investigación sobre el consumo de café se encuestaron a 81 personas. Se obtuvo la
siguiente información:

46 consumían café marca A
39 consumían café marca B
38 consumían café marca C
30 consumían las marcas A y B
28 consumían las marcas A y C
24 consumían las marcas B y C
23 no consumían ninguna de estas marcas.

U= 81 personas
A= 46 Café marca A
B= 39 Café marca B
C= 38 Café marca C
AB= 30 Café marca A y B
AC= 28 Café marca A y C
BC= 24 Café marca B y C
(ABC)* = 23 no consumián ninguna de estas marcas.

 ¿cuántas personas consumían las tres marcas?
(ABC)*= U - ABC, despejando:
ABC = U – (ABC)*; nos quedaría ABC = 81-23 = 58.
ABC = ABC - A - B - C + AB + AC + CB
Entonces 58 - 46 - 39 - 38 + 30 +28 + 24 = 17.
17 personas consumían las 3 marcas de Café.

 ¿cuántas personas consumían una sola marca de café?
Entonces A= 46-30-28+17 = 5 personas compraron solo café marca A.
Entonces B = 39 - 30 - 24 + 17 = 2 personas compraron solo café marca B.
Entonces C= 38 - 28 - 24 + 17 = 3 personas compraron solo café marca C.
A+B+C = 5+2+3 = 10 consumían solo una marca de café.

Objetivo general


Aplicación de los principios de conteo en la solución de problemas
Aplicación de la teoría de números y álgebra elemental en el
planteamiento y solución de problemas

Cuando tenemos un problema, un paso primero y fundamental es
expresar dicho problema. Usualmente lo expresamos por medio de palabras, y
usamos números para ser más precisos y exactos. No sería lo mismo decir que
necesito muchos metros de cable para hacer una conexión, a mencionar que la
distancia que el cable debe cubrir es igual a la longitud de dos canchas
profesionales de fútbol.

En todo problema tenemos cantidades conocidas (datos) y cantidades
desconocidas (incógnitas). En la situación mencionada arriba conocemos la
extensión lineal de una cancha profesional (110 metros) e ignoramos la del
cable que necesitamos. Para resolverla requerimos plantear la relación entre
los datos y la incógnita, y manejar los datos conocidos mediante alguna o
algunas de las operaciones básicas: suma o adición, resta o sustracción,
multiplicación, división, potenciación y radicación.

Al plantear la relación entre datos e incógnita resulta la ecuación. Para
continuar con el ejemplo del cable, podemos hacer el siguiente planteamiento:

2 veces la longitud de la cancha = metros de cable
2 (110) = x

Aunque existe una ilimitada variedad de problemas y por lo tanto, es difícil
establecer reglas específicas para encontrar su solución, “el álgebra, que es
una rama de las Matemáticas, busca generalizar los métodos y procedimientos
para efectuar cálculos y resolver problemas” (Swokowski 1999). Las
operaciones que se manejan son las mismas que en la Aritmética.

La aplicación del álgebra en la solución de problemas prácticos consiste
en transformar el enunciado de los problemas dados del lenguaje común, al
lenguaje algebraico.

Para encontrar la solución se debe plantear muy bien el problema de
acuerdo con las condiciones; no existe un procedimiento establecido para
resolverlo, cada problema tiene diferente planteamiento.

El propósito de esta unidad es que puedas plantear, conceptualizar y
resolver problemas de cualquier área de estudio, utilizando las herramientas
básicas de la teoría de números y del álgebra.


Desarrollar habilidades en el planteamiento y resolución de problemas
aplicando conceptos de teoría de números y álgebra elemental

1) Los números mencionados en el siguiente párrafo forman parte de la clasificación de
los números reales, por ejemplo los números decimales exactos se incluyen dentro de
los racionales y así en esa lógica los demás. Revisa los recursos de la unidad en
relación a los números reales y después realiza un diagrama completo de la
clasificación de esos números e donde se incluyan todos y cada uno de los siguientes
tipos:

Decimales, Decimales con infinitas cifras no periódicas, Decimales exactos, Decimales
periódicos, El cero, Enteros, Enteros negativos, Enteros positivos, Fracciones,
Fracciones negativas, Fracciones positivas, Impares, Irracionales, Naturales, Pares,
Primos, Racionales.

NUMERO REAL

g

2) Coloca en la línea de la izquierda la(s) letra(s) de la(s) categoría(s) a la(s) que
pertenece(n) cada uno de los siguientes números:

N) Natural
Z) Enteros
Q) Racional
I) Irracional

Q 1/3
Q 0.3333….
NZQ 4
Z -4
I 3.141592654….
N Z R 10,000,000
N Z R 23
I Q 0.142857142
Q 0.666
I R 3.2567256725672567......
I 0.1234567891011121314151617181920........

3) Da un ejemplo de la utilización de la propiedad conmutativa de un área ajena a la
matemática.
Al escuchar un CD no importa si escuchamos las canciones en el orden que vienen en el
CD o si las escuchamos de forma aleatoria, al final escucharemos todo el CD.

4) Menciona qué propiedad o propiedades se utilizaron en cada uno de los siguientes
casos:

a. 7x + 7y = 7(x+y)
Propiedad Distributiva
b. m+n = n+m Propiedad Conmutativa de la Suma
c. 5+0 = 5 Elemento Neutro de La Suma
d. 1z=z Elemento Neutro de La Multiplicación
e. 6 +(7+x) = (6+7)+x Propiedad Asociativa de la Suma
f. Para pagar la entrada al zoológico de un grupo de estudiantes, es lo mismo si cada
uno paga se entrada o si se recaba previamente el dinero de todas las entradas y
se pagan todas juntas. Propiedad Distributiva
g. (8 + 5) + 7 = (7 + 5) + 8 Propiedad Asociativa de la Suma
Y Propiedad Conmutativa.
h. e[(f + 5) + (g + 3)] = e(f + 5) + e(g + 3) Propiedad Distributiva
i. x=9 ó 9=x Propiedad Reflexiva
j. 7+(-7)=0 Elemento Inverso de la Suma
k. 3 (1/3) = 1 Elemento Inverso de la Multiplicación
l. x/1 = x Elemento Neutro.

5) En los siguientes ejercicios, “indica qué operaciones se deben realizar primero” y
luego, encuentra el resultado (por favor, no utilices calculadora):

a) 8 + 53 60
d)
Multiplicar (5x3) y Después Sumarle 43
8. Multiplicar 4x3 y después dividir 60
Resultado: 23. entre
resultado de 4x3
Resultado 5.
b) (20-5)/5
Resta (20-5) y Después Dividir entre 36
5. e)
75
Resultado: 3. Sumar 7+5 y después dividir 36 entre
el resultado de 7+5
Resultado 3.
c) 12 – (4 – 83)
Multiplicar 8x3; Después Restar 4-
resultado de 8x3; por último la resta
12 menos el resultado del ( ).
Resultado 32.

6) Realiza los cálculos indicados a continuación (por favor, no utilices calculadora):

a) 7 + 85  3 8  4  16
d)
(8x5) = 40 2
7+40-3= 44 4*16 = 64
Resultado: 44. 8+64 = 72
72/2 = 36
Resultado: 36.
b) 3 (15 – 4)2
(15-4) = 11 30
(11)2 e)
53 6
3(121) 5*3 = 15
Resultado: 363. 15-6 = 9
30/9
Resultado: 3.333.
c) 59 – 52
52 = 25
5x9 = 45
45-25
Resultado: 20.

7) Elimina los paréntesis en los siguientes ejercicios y realiza la operación que se
señala:

A) (14) + (-8) – (-5)
14-8+5= 11. Resultado = 11.

B) – (-9) – (-3) – (-4)
9+3+4= 16. Resultado = 16.

C) (-7) (-8)
7*8= 56. Resultado = 56.

D) 3 (-8)
3*-8= -24. Resultado = 24.

E) (-4)(-4)(-4)( 4 )
-4*-4*-4*4= -256. Resultado = -256.

9  3(5)
F)
3
9-3*-5
3

9+15
3

24
3

Resultado = 8.

8  (4)(4)
G)
2
8+4*-4
2

8-16
2

-8
2

Resultado = -4.

(50)  (30)
H)
 20
-50-30
-20

-80
-20

Resultado = 4.

I) (18) – {3(-7) + (-3)} – (+4)
18-{3(-7) + (-3)}-4
18-{-21-3}-4
18-{-24}-4
18+24-4

Resultado = 38.

Ejercicios Actividad 2- Unidad 2.
1. Determina si las siguientes parejas de fracciones son iguales (Explica ¿por qué?):

3 15 15 3 7 15
a). , b) , c) ,
4 20 25 15 11 22

a) Si es un pareja de fracciones equivalentes por que si multiplicamos 3/4 x 5/5
tendremos como resultado 15/20.
b) No es una pareja de fracciones equivalentes por que no podemos encontrar un
número que al multiplicar 3/15 nos arroje como resultado 15/25 o también no existe un
número que al dividir 15/25 nos arroje 3/15.
c) Por la misma razón que el inciso anterior, no existe un numero que multiplicando o
dividiendo nos permita convertir una fracción igual que la otra.

2. Indica cuáles de las siguientes fracciones se pueden reducir, explica por qué y reduce a su
mínima expresión los casos en que sea posible:

25 20 23 35 43
a) b) c) d) e)
33 72 115 75 7

a) No se puede reducir ya que no 25 y 33tienen como Máximo Factor Común al 1, por
lo tanto la fracción queda igual.
b) Si se puede reducir por que el 4 es el Máximo Factor Común de 20 y 72 entonces la
fracción simplificada quedaría en 5/18
c) Si se pueden reducir ya que el 23 es el Máximo Factor Común de 23 y 115, como
resultado tendríamos 1/5
d) Si se puede reducir ya que 5 es el Máximo Factor Común de 35 y 75, como resultado
tendríamos 7/15.
e) No se puede reducir ya que 43 y 7 tiene al 1 como Máximo Factor Común, por ende
la expresión ya esta reducida a su máxima expresión.

3. Ordena de menor a mayor, cada conjunto de fracciones:
4 7 2 7 5 2 5 8 9
a) , , b) , , c) , ,
15 15 15 8 6 3 7 13 22

a) 2/15; 4/15; 7/15
b) m.c.m, = 24 entonces (21/24, 20/24, 16/24) quedando el orden de la siguiente manera:
16/24; 20/24; 21/24 o lo que seria lo mismo (2/3; 5/6; 7/8)
c) m.c.m. = 2002 entonces (1430/2002; 1232/2002; 819/2002) quedando el orden de la
siguiente manera: 819/2002; 1232/2002; 1430/2002 o lo que seria lo mismo (9/22; 8/13;
5/7)

4. Indica si las siguientes expresiones son o no correctas y explica por qué:

m
m a a a ab a b
a)  z b)   c)  
n n bc b c z z z
z

a) Si son iguales por que al realizar la división del lado derecho automáticamente se
elimina el elemento “z” por ende quedaría m/n
b) No es correcta ya que en la primer fracción solo encontramos una “a” mientras que
en la segunda existen 2 entonces al sumarlas serian 2a y no daría lo mismo.
c) Si es una expresión correcta por que el resultado seria el mismo aunque estén
expresadas de forma diferente.

5. Realiza las siguientes operaciones y reduce los resultados a su mínima expresión:

9 5 5 7 5 37 13 5 54 5 1
a)  b)   c)   d)  
13 13 20 12 6 36 36 36 64 8 4

a) 14/13
b) m.c.m. = 60 entonces (15/60 + 35/60 + 50/60) resultado 100/60 o 5/3 en su expresión
más reducida.
c) 19/36
d) m.c.m. = 64 entonces (54/64 - 40/64 - 16/64) resultado -2/64 o -1/32 en su expresión
más reducida.

6. Plantea y resuelve los siguientes problemas:

Enunciado del Si empleo 7 del día en trabajar, ¿cuántas horas no trabajo?
Problema 9
Planteamiento del d=9/9 (total del día)
Problema
t= 7/9 lo que se trabajo

n=cantidad del día que no trabaja.

n=d-t

Operaciones n= 9/9 - 7/9

n= 2/9

24/9 = 2.66

2.66 * 2 = 5.32

24/9 = 2.66
Resultado No trabajo 2/9 del día. Equivalente a 5.32 horas

Enunciado del Un hombre vende 1 de su finca, alquila 1 y lo restante lo
Problema 5 7
cultiva. ¿Qué porción de la finca cultiva?
Planteamiento del f= 1/1 es el total de la finca.
Problema
v=1/5 que se vende

a= 1/7 que se alquila

c= Es lo que cultiva.

c= f - (v+a)
Operaciones c = 1/1 – (1/5 + 1/7)

m.c.m de 5 y 7 es 35

(7/35 + 5/35) = 12/35

c = 35/35-12/35

c=23/35
Resultado 23/35 partes de la finca es lo que se cultiva.

Enunciado del Tres albañiles tienen que levantar 225 metros de muro. Uno
Problema 3 2
levanta 53 metros y otro hace 48 metros. ¿Cuánto tiene que
7 3
levantar el tercero?
Planteamiento del t= 225 es el total de metros que se deben levantar.
Problema
a= 53 3/7 b= 48 2/3

c= es lo que levanto el 3er albañil

c= t - (a+b)

c= 225- 53 3/7 +48 2/3

Convertimos las fracciones mixtas a impropias. (multiplicando el
entero por el denominador y después sumamos el numerador)

374/7 y 146/3

Encontramos el m.c.m. de 3 y 7 que es 21

Procedemos a convertir las fracciones y el total

374/7 * 3/3; 146/3 * 7/7; 225/1 * 21/21
Quedando 1122/21; 1022/21 y 4725/21
Operaciones 1122/21 + 1022/21

2144/21

c=4725/21 - 2144/21

c= 2581/21; convirtiendo a fracción mixta (2581/21 = 122)
122*21 = 2562; 2581 - 2562 = 19

122 19/21
Resultado 122 19/21 fue lo que levanto el 3er albañil

Enunciado del Perdí 1 de mi dinero y gasté 1 . ¿Qué parte de mi dinero me
Problema 7 9
queda?
Planteamiento del t = 1/1 (total del dinero
Problema
x=es la cantidad que queda.

p=lo que perdí (1/7)

g=lo que gaste (1/9)

x= t - (p+g).

Encontramos el m.c.m. de 7 y 9 = 63

Convertimos 1/7 * 9/9; 1/9 * 7/7; 1/1 * 63/63

Quedando: 9/63; 7/63 y 63/63

Ahora podemos continuar con las operaciones.
Operaciones x=63/63 - (9/63+7/63)

x=63/63 - (16/63)

x= 63/63 - 16/63

x=47/63
Resultado 47/63 es la parte del dinero que me queda.

Enunciado del Un reloj adelanta 5 de minuto en cada hora. ¿Cuánto adelantará
Problema 7
en una semana?
Planteamiento del d=días de la semana
Problema
h=horas del día

t=horas que tiene la semana

m=minutos que se adelantara a la semana el reloj

conocemos que el día tiene 24 horas (h)

y la semana 7 días (d)

entonces primero debemos encontrar cuantas horas tiene la
semana (t)

t=dxh

t=dxh es igual a 7*24

m=5/7*t

Operaciones t=7*24

t=168/1

m=5/7 * 168/1

m= 840/7

840/7 ÷ 7/7

120/1
Resultado 120 minutos son los que se adelanta a la semana.

Enunciado del 1
Para llenar de agua un recipiente se requieren 6 horas.
Problema 3
¿Cuántas horas se necesitan para llenar 15 recipientes iguales?
Planteamiento del t= tiempo que dura en llenarse un recipiente (6 1/3 horas)
Problema
convertimos t a fracción impropia (6*3+1= 19/3

r= la cantidad de recipientes que queremos llenar 15 (15/1)

w=el tiempo que vamos a durar en llenar los recipientes

w= t * r
Operaciones w= 19/3 * 15/1

w= 285/3

dividimos 285/3 ÷ 3/3

w=95
Resultado 95 horas son las que ocupamos para llenar los 15 recipientes.


1. En un rancho, la cantidad de cabezas de ganado de engorda es de 3,128 y la de
producción lechera 12,512. ¿Cuál es la razón de cabezas de ganado lechero a ganado de
engorda?
12512 : 3128
12512/3128 = 4/1 = 4
La razón de cabezas de ganado lechero a ganado de engorda es 4 a 1

2. Un país tiene una población de 4,512,000 habitantes en una extensión de 24,512 millas
cuadradas. La relación del número de habitantes a millas cuadradas se llama densidad y
mide la cantidad de habitantes por milla cuadrada. Aproximadamente, ¿cuál es la densidad
poblacional de este país?

4512000 : 24512
4512000/24512 = 70500/383 = 184.0731070496084
La razón de habitantes a millas cuadradas es de 70500 a 383, que si dividimos seria
184.07 habitantes por milla cuadrada.

3. María ganó las elecciones para la presidencia de la Asociación de Estudiantes de
Contabilidad por una razón de 7 a 3. ¿Cuántos votos recibió su contrincante si votaron 2,620
estudiantes?

(2620)*(7/10)  Esta operación la hago para conocer el número mayor y poder encontrar el
menor, y uso esos números por que 7 es el número de la razón mayor y 10 es el total de
7+3.
2620*.7 = 1834

7 : 3
1834 x

x=(3)(1834)/(7)
x=5502/7 = 786

7:3 = 2.33
1834:786 =2.33

María tuvo 1834 votos, mientras que su contrincante recibió 786 votos.

4. Encuentra el valor de R:

R = (26)(285)/(130)
R = 7410/130
R = 57

5. Halla el valor de Z:

z=(35.2)(79.9)/(8.5)
z= 2812.48 / 8.5
z= 330.88

6. Halla el valor de Z:

5*7+1 = 36 entonces 36/7 y 9*5+1 = 46 entonces 46/5
Común: 7*5 = 35
35/7 = 5; 5*36 = 180/35
35/5 = 7; 7*46 = 322/35
1250/1 * 35/35 = 43750/35

Entonces
43750/35 = 180/35
z = 322/35

z= (43750/35)(322/35)÷180/35
z=14087500/1225÷180/35
z=493062500/220500
z=2236.11

7. Determina si la relación entre las variables del siguiente problema es directa o
inversamente proporcional. "Siete personas toman 1,792 horas para editar una revista.
Aproximadamente, ¿cuántas horas hubieran tomado para editar la misma revista doce
personas?"

1792 horas x horas
7 personas 12 personas
x= (1792)(7)/(12)
x= 12544/12
x= 1045.33 horas
La Relación es Inversamente Proporcional y tardaría 1045.33 horas.

8. Determina si la relación entre las variables del siguiente problema es directa o
inversamente proporcional: "La compañía de energía eléctrica cobra $53.08 por un consumo
de 523 kilovatios. ¿Cuántos kilovatios consumieron una familia que pagó $87.50?

523 kilovatios x kilovatios
53.08 pesos 87.50 pesos
x=(523)(87.50)7(53.08)
x= 45762.5/53.08
x= 862.14
La Relación es Directamente Proporcional y se consumieron 862.14 kilovatios

9. Resuelve: "Doce personas tomaron 985 horas para producir un trabajo. ¿Cuántas
personas se necesitarán si se dispone de 1,525 horas para terminar el mismo trabajo?"

12 personas x personas
985 horas 1525 horas
x=(12)(985)/1525
x= 11820/1525
x= 7.75 personas
Se necesitan 7.75 personas para terminar el trabajo.

10. Resuelve: "Un avión cubre una distancia de 12 678 millas en cuatro horas y media.
Aproximadamente, ¿qué distancia recorrerá en tres horas y un tercio a la misma velocidad?

12678 millas x millas
4 1/2 horas 3 1/3 horas

4*2+1 = 9/2 y 3*3+1 = 10/3
Común 2*3 = 6
6/2 = 3, 3*9 = 27/6
6/3 = 2, 10*2 = 20/6
12678/1 * 6/6 = 76068/6

Entonces
76068/6 x
27/6 20/6

x=(76068/6)(20/6) ÷ 27/6
x=1521360/36 ÷ 27/6
x=9128160/972
x=9391.11
El avión recorrería una distancia de 9,391.11 millas.

Ejercicios Actividad 3 (Cuestionario) - Unidad 2.

1. Encuentra la relación entre las edades de dos personas de:

a) 69 y 39 años b) 55 y 33 años c) 28 y 7 años
a) 69:39 o 69/39 si simplificamos 23/13
b) 55:33 o 55/33 si simplificamos 5/3.
c) 28:7 o 28/7 si simplificamos 4/1

2. La razón geométrica de dos números es 7/5. Si el menor de los números es 28, ¿cuál es
el mayor?
a/b = 7/5
a= 28 * 7/5
a= 196/5
a=39.2
Número mayor: 39.2

3. De un total de 30 preguntas de un examen, un alumno contestó 26, ¿cuál es la razón
máxima entre preguntas y respuestas?
La razón es de 30:26 o 30/26. = 1.15 o 30 : 26 = 15:13 razón aritmética 2, razón
geométrica 15/13

4. En un cierto mapa dos ciudades están separadas 5 cm.; si la escala del mapa es 1cm. es
25 km., encuentra la distancia real entre las dos ciudades.
25km x
1cm 5cm
x=(25)(5)/(1)
x=125 KM
La distancia real es de 125 KM

5. ¿Cuánto gana una costurera por hacer 8 camisas, si por 17 camisas le pagaron 1190
pesos?
1190 pesos x pesos
17 camisas 8 camisas
(1190*8)/17
9520/17 = 560
La costurera gana 560 pesos por hacer 8 camisas.

6. ¿Qué porcentaje es 17 de 32?
17 : X%
32 : 100%
X = (17) (100)/(32)
1700/32 = 53.125%
17 es el 53.125% de 32

7. ¿Qué porcentaje de 70 es igual a 16.3?
16.3 : X%
70 : 100%
X= (16.3)(100)/(70)
1630/70 = 23.2857
16.3 equivale al 23.2857% de 70
8. ¿58 es 17% de qué número?
58 : 17%
X : 100%
X=(58)(100)/(17)
X=5800/17 = 341.1764
58 es el 17% de 341.1764

9. ¿7.25 % de qué numero, es igual a 9.18?
9.18 : 7.25%
X : 100%
X=(9.18)(100)/(7.25)
X=918/7.25 = 126.6206
9.18 es el 7.25% de 126.6206

10. ¿20 % de que número es igual a 2?
2 : 20%
X : 100%
X=(2)(100)/(20)
X=200/20 = 10
2 es el 20% de 10

11. ¿Qué porcentaje de 175 es igual a 1.75?
1.75 : X%
175 : 100%
X= (1.75)(100)/(175)
X=175/175 =
1.75 es igual al 1% de 175

12. Un energético contiene 29% de combustible del tipo “Y”. Si un embarque contiene 375
galones de combustible del tipo “Y”, ¿cuántos galones hay en el embarque?
375 : 29%
Y : 100%
Y= (375)(100)/29
Y= 37500/29 = 1293.1033
En el embarque hay 1,293.1033 galones.

13. En una tienda departamental existe un descuento de 25% en la compra de blancos. Si
una señora compró $376,580.00 pesos en blancos, ¿cuánto pagó?
X : 25%
376580 : 100%
X= (25)(376580)/(100); X=9414500/100 = 94145.0  DESCUENTO
376580-94145 = 282435  PAGO
X% : 282435
100% : 376580
X= (100)(282435)/376580
X= 28243500/376580
X=75
La Señora Pago $ 282,435.00 equivalente al 75%.

14. En un grupo de 58 alumnos, 44 resultaron aprobados. ¿Qué tanto por ciento de
reprobados hubo en el grupo?
58 : 100%
44 : X
X = (44)(100)/58 ; X= 4400/58 = 75.86% (Alumnos Aprobados)
58 – 44 = 14
58 : 100%
14 : Y
Y = (14)(100)/(58); Y = 1400/58 = 24.14% (Alumnos Reprobados)
Comprobando 24.14% + 75.86% = 100.00%
El 24.14% de los alumnos reprobaron.

15. Un ganadero tenía 235 cabezas de ganado, y vendió 75. ¿Qué porcentaje de su ganado
vendió y qué tanto por ciento le quedó?
235 : 100%
75 : X
X= (75)(100)/235; X= 7500/235 = 31.91% GANADO VENDIDO
235-75 = 160
235 : 100%
160 : Y
Y= (160)(100)/235; Y =16000/235= 68.09 %  GANADO QUE LE QUEDO
Vendió el 32% de su ganado y le quedó un 68%.

16. Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18
hombres para realizar el mismo trabajo?
Personas Tiempo
3 hombres 24 días
18 hombres x
Entonces 3*24 = 72
72/18= 4
18 hombres tardarían 4 días en realizar el mismo trabajo.

17. Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos
días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
Vacas Tiempo
220 45 días
450 x
Entonces 220*45=9900
9900/450=22
Podrá alimentar 22 días a las 450 vacas.

18. Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 barricas de 200 litros de capacidad
cada una. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 barricas. ¿Cuál
deberá ser la capacidad de esas barricas?
Barricas Cantidad de Vino
8 200
32 x
Entonces 8*200 = 1600
1600/32 = 500
Las barricas deben de ser de una capacidad de 50 litros.

19. Un grifo que mana 18 litros de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito.
¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 litros por minuto?
Litros Tiempo
18 14 horas
7 x
Entonces 18*14=252
252/7=36
Tardaría 36 horas.

20. Se quieren transportar 1.200.000 Kg. de patatas de un almacén a distintas tiendas. En
un determinado tipo de camión caben 8.000 Kg. ¿Cuántos viajes tendrá que hacer para
transportar las patatas?. ¿Y si tuviéramos 3 camiones?
1,200,000/8,000 = 150
150 viajes con 1 camión
Entonces si hubiera 3 camiones
150/3=50
Se tardarían 150 viajes con un solo camión y 50 con 3 camiones.


1. Reduce las siguientes expresiones:

a) 25a 2  7ab  6a 2  32  8ab  4  a 2  ab

Respuesta: 20a2 - 16ab +28

5 2 1 1
b) m  4mn  m 2  mn  6mn  7m 2
7 8 5
Común de 7 y 8 es 56
Entonces 56/7 = 8; 8*5 = 40; 40/56 m2
56/8 = 7; 7*1 = 7; 7/56 m2
7m2 = 392/56 m2
Entonces 40/56 m2 + 7/56 m2 - 392/56 m2 = -345/56 m2 o -6 9/56 m2
Convertimos 4mn y 6mn a quintos para poder sumar.
4mn= 20/5mn; 30/5mn;
-20/5mn – 1/5mn + 30/5mn = 9/5mn o 1 4/5mn
Respuesta: -6 9/46 m2 + 1 4/5mn

2. Encuentra el valor numérico de la expresión dada para a =9, b =84, c = 1/5,
m = 7, n = 1/3, d = 3
ab ac bd
 
n d m
ab/n = (9)(84) ÷ (1/3) = 756 ÷ 1/3; 756/1 ÷ 1/3 = 2268/1 o 2268
ac/d = (9/1)(1/5) ÷ (3) = 9/5 ÷ 3/1 = 3/5
bd/m = (84)(3) ÷ (7) = 252/7 = 36
Respuesta: 2268 + 3/5 - 36; 11340/5 + 3/5 - 180/5 = 11163/5 = 2232 3/5

3. Suma los polinomios: 4 x 2  8xy  y 2 ,  20 xy  8x 2  9 y 2 ,  12 y 2  2 xy  4 x 2

4x2 - 8xy + y2 +
8x2 - 20xy - 9y2
-4x2 - 2xy -12y2 =
----------------------------
Respuesta: 8x2 - 30xy -20y2

4. Resta los polinomios: (57) a 2 (79) ab (35) b 2 , () a 2  ab () b 2

(5/7)a2 + (7/9)ab - (3/5)b2
-(1/6)a2 - ab + (1/10)b2 =
--------------------------------------

Encontramos el común de 7 y 6 = 42; el común de 5 y 10 = 10;

(30/42)a2 + (7/9)ab - (6/10)b2 -
-(7/42)a2 - (9/9)ab + (1/10)b2 =
-----------------------------------------
Respuesta: (23/42)a2 - (2/9)ab - (5/10)b2

5. En los siguientes ejercicios simplifica, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo
términos semejantes:


  23x 2   ( x 2  xy )  (5 y 2  22 xy )  (8x 2  y 2 ) 
-23x2 + [-x2+xy-5y2+22xy+8x2-y2]
-23x2 + [7x2+23xy-6y2]
-23x2 + 7x2+23xy-6y2
Respuesta: -16x2+23xy-6y2

 9a    8b  (11a  c)  2  (a  (c  8))  (a  b)
9a+{-[-8b+(11a-c)+2-(-a-(c-8))]-(-a-b)}
9a+{[+8b-11a+c-2-a-c+8]-(-a-b)}
9a+8b-11a+c-2-a-c+8+a+b
Respuesta: -2a+9b+6

6. En los siguientes ejercicios, realiza las multiplicaciones y simplifica:

 (3  x) 2 (2  x 2 )  (2 x 2  2)( x 2  x  3)
(9+6x+x2)(2+x2) - (2x2 - 2)(x2-x-3)

(9+6x+x2)(2+x2)
9+6x+x2 *
2+x2 =
---------
18+6x+4x2
9x2+3x3+x4
18+6x+13x2+3x3+x4

x2-x-3
2x2-2
2x4 -2x3-6x2
-2x2 -2x-6
-------------------------
2x4 -2x3 -8x2 -2x -6

18+6x+13x2+3x3+x4 – 2x4 +2x3 +8x2 +2x +6

Respuesta: 24+8x+21x2+5x3-x4

  15x   (3x  ( x  y))8x   2 x  ( x  y)
{-15x+[-(-3x-(x-y))]} {8x+[-2x+(-x+y)]}
{-15x+[-(-3x-x+y)]} {8x+[-2x-x+y]}
{-15x+3x+x-y} {8x-2x-x+y}
(-11x-y) (5x+y)
-11x-y *
5x+y =
------------
-55x2-5xy
-11xy-y2
-55x -16xy-y2
2

7. En cada una de las siguientes ecuaciones algebraicas encuentra el valor de x

a) 7 x  5  x  3
7x-x = 3+5
6x = 8
Respuesta: x = 8/6

b) 35  25x  6  14x  14  22x  32
41-39x = 46-22x
-39x+22x = 46-41
-17x = 5
-1 (-17x=5)
17x=-5
Respuesta: x= -5/17

c) 3x  (2 x  1)  9 x  (3  5x)  ( x  24)
3x-2x+1 = 9x-3+5x-x+24
x+1 = 13x+21
x-13x = 21-1
-12x = 20
-1 (-12x=20)
12x=-20
Respuesta: x=-5/3

x 3 x
d) 
3 9
Común 9
3x/9 = 3-x/9
3x=3-x
3x+x=3
4x=3
Respuesta: x=3/4

x 2 x 11
e)  
3 5 5
Común 15
5x/15 +6x/15 = 33/15
5x+6x = 33
11x=33
Respuesta: x=3

3x 8  4 x
f)  3
2 7
Común 14
21x/14+2(8-4x)/14=42/14
21x+2(8-4x)=42
21x+16-8x=42
21x-8x=42-16
13x=26
Respuesta: x=2

x 3 3 3x
g)   
4 2 4 8
Común 8
2x/8-12/8 = 6/8-3x/8
2x-12 = 6-3x
2x+3x = 6+12
5x=18
Respuesta: x=18/5

3 5 3
h) 2  
x 2x 2
3/x-5/2x =-3/2+2/1
6/2x-5/2x =-3/2+4/2
1/2x =1/2
1(2) = 1(2x)
2=2x
Respuesta: 1=x

12 4
i) 
x2 x2
12(x-2) = 4(x+2)
12x-24 = 4x+8
12x-4x = 8+24
8x=32
Respuesta: x=4

8. En cada uno de las ecuaciones siguientes despeja la variable indicada.

Nº Ecuación Despejar
1 e e, t
v
t
2 F  ma a
3 v f  v0  a t a , v0
4 1 m
Ec  m v2
2
5 1 1 1 f
 
f d1 d 2
6 A  2ab  2ac  2bc a
7 2x  3 x
y
3x  5
8 s  s0  v (t  t 0 ) v, t
9 P  d g (h2  h1 ) d, h2
10 ma ma
M
ma  mb
11 v f  v0  a t A
12 1 1 B, C
A 
B C

1) Para e: t*v=e
Para t: v/1=e/t
vt=e
t=e/v

2) Para a: F/m = a

3) Para a: vf = vo+at; vf-vo=at; (vf-vo)/t = a
Para v0: vf-at=v0

4) Para m: m = 2Ec/v2

5) Para f: 1/f = (1/d1)*(d2/d2) + (1/d2)*(d1/d1)
1/f = d2/(d1 * d2) + d1/(d1*d2)
1/f = (d2 + d1)/(d1 * d2)
f = (d1 * d2) / (d2 + d1)

6) Para a: A = 2ab + 2ac + 2bc
A = 2a(b + c) + 2bc
2a(b + c) = A - 2bc
a = (A - 2bc) / [2(b + c)]

7) Para x: y(3x+5)=2x-3
3xy+5y=2x-3
5y+3=2x-3xy
5y+3=x(2-3y)
(5y+3)/(2-3y)=x

8) Para v: S=S0 + v (t-t0)
(S-S0)/(t-t0)=v

Para t: S=S0 + v (t-t0)
S=S0 + vt - vt0
(S-S0)/v+t0÷v=t

9) Para d: ΔP = d g(h2-h1)
ΔP/g(h2-h1) = d

Para h2: ΔP/d g = (h2-h1)
ΔP/d g+h1 = h2

10) Para ma:
M=(ma)(ma+mb)
M=ma2+mb
ma2=M-mb
ma=(M-mb)/2

11) No se encuentra la incógnita A en la ecuación
12) A= (C+B)/BC
ABC= C+B
ABC-C = B
C(AB-1) = B
C= B/ (AB-1)

Para despejar B
A= (C+B)/BC
ABC= C+B
ABC-B = C
B(AC-1) = C
B= C/ (AC-1)


1. Expresa en forma algebraica las frases siguientes:

 Nueve unidades menos que la tercera parte de un número.
(w/3)-9
 Cuatro enteros consecutivos.
z,z+1,z+2,z+3
 Lo recaudado en una cooperación equitativa entre los integrantes de un grupo es de
1500.
e+f=1500
 La producción de dos días de una empresa es de 429 unidades.
j+v=429
 Las cantidades de agua y desinfectante contenidas en una solución de 150 galones de
esas sustancias.
a+d=150
 Una fracción cuyo denominador es 5 más que 4 veces su numerador.
x/(5+4x)
 El tiempo que recorre un automóvil en x kilómetros cuya rapidez es de 60 km/h.
t=x/(60 km/h)
 La cantidad de galones de anticongelante en un radiador que contiene x galones de
una mezcla con 60% de anticongelante.
x=.6x
 El ancho es la tercera parte del largo de un rectángulo.
a=(l/3)
 Los tres ángulos de un triángulo si uno de ellos es el triple del otro.
a+b+3a=180
 Si (x) representan las ventas diarias de un negocio y se aplica un margen de utilidad
del 30% en relación al costo de los productos, construye una fórmula que nos sirva
para calcular la utilidad (y) diaria en función de las ventas.
x=y(.3x)

2. Coloca dentro de cada paréntesis el número de la expresión algebraica que represente
cada una de las siguientes situaciones de la vida cotidiana.

1) x y
2) ab
3) m
n
4) e + f

Cuanto más alto es una persona en relación a otra (3)

El impuesto que se paga por un determinado servicio (2)

El monto de una mensualidad de una deuda que se tienen que pagar en un determinado
número de mensualidades. (3)

Los intereses ganados de una cuenta en el banco (4)

La velocidad en que un automóvil recorre un determinado trayecto. (3)

Lo que falta de producirse de un lote de fabricación determinado (1)

Lo que paga en total un grupo de estudiantes por entrar al cine (2)

Lo que se paga por cierta cantidad de producto adquirido (2)

Lo que tiene que pagar cada alumno de una compra acordada en su grupo (3)

3. Resuelve los siguientes problemas planteando y resolviendo la ecuación resultante. (Los
problemas deben resolverse utilizando exclusivamente el lenguaje algebraico):

Nota: Ningún problema será válido sin procedimientos.

Enunciado del 15 unidades más que 5 veces un número, da igual a 28. Encuentra el
problema número.
Planteamiento x=es el número
del problema 15+5x=28
Operaciones x=(28-15)/5
x=13/5
Resultado 13/5 o 2.6

Enunciado del Cuando se le resta 7 al cuádruple de un número, el resultado es el mismo
problema que se obtiene al sumarle 15 al triple del mismo número. ¿Cuál es el
número?
Planteamiento z=es el número
del problema 4z-7=3z+15
Operaciones 4z-3z=15+7
z=22
Resultado 22

Enunciado del Encuentra tres números enteros consecutivos que sumen 66.
problema
Planteamiento n= es el primer número
del problema n+(n+1)+(n+2)=66
Operaciones 3n+3=66
n=(66-3)/3
n= 63/3
n=21
Resultado Los números son: 21, 22, 23

Enunciado del El denominador de una fracción es 7 unidades más que el doble de su
problema numerador, y la fracción al simplificarse da 1/7. Encuentra el número.
Planteamiento w=es la fracción
del problema w/(2w+7)=1/7
Operaciones 7w=2w+7
7w-2w=7
5w=7
w=7/5
Resultado 7/5

Enunciado del Encuentra un número que al multiplicarse por seis y sumarle 4 da 58.
problema
Planteamiento z=es el número
del problema 6z+4=58
Operaciones 6z=58-4
z=54/6
z=9
Resultado 9

Enunciado del Encuentra un número tal que al sumarle 12 se obtenga el mismo resultado
problema que al multiplicarse por cinco.
Planteamiento e=es el número
del problema e+12=5e
Operaciones 5e-e=12
4e=12
e=12/4
e=3
Resultado 3

Enunciado del Pedro y Cecilia tienen entre los dos 73 láminas y Cecilia tiene 12 más que
problema Pedro, ¿cuántas láminas tiene cada uno?
Planteamiento p=Pedro
del problema c=Cecilia
p+c=73 y c=p+12
Operaciones (p+c=73) + (-p+c=12)  Despejamos “c”
2c=85
c=85/2
c=42.5;
encontramos ahora p; p+c=73
p+42.5=73
p=73-42.5
p=30.5
Resultado Pedro tiene 30.5 y Cecilia tiene 42.5

Enunciado del Un hombre gasta la cuarta parte de su sueldo mensual en el alquiler de la
problema casa y alimentación de su familia y 3/8 del sueldo en otros gastos. Al cabo
de 16 meses ha ahorrado $800. ¿Cuál es el sueldo mensual?
Planteamiento Sueldo en 16 meses, los gastos a lo largo de 16 meses + ahorros = sueldo
del problema neto
16{(x/4)+(3/8)}+800=16x
Operaciones 4x+6x+800-16x
6x=800
x=400/3 pesos
x=133.33 pesos
Resultado $ 133.33

Enunciado del Dividir 320 en cuatro partes, tales que la segunda sea 5/6 de la primera; la
problema tercera 3/5 de la segunda y la cuarta 1/3 de la tercera.
Planteamiento x+(5/6)x+(3/5)(5/6x)+1/3(3/5(5/6x))=320
del problema
Operaciones x+(5/6x)+(15/30x)+(15/90x)=320
5/2x=320
5x=640
x=640/5
x=128
x1=5/6 de x; = 128/6=21.33, 21.33*5=106.66
x2=3/5 de x1; = 106.66/5=21.33, 21.33*3 = 64
x3=1/3 de x2; = 64/3 = 21.33
Comprobando x+x1+x2+x3=320
128+106.66+64+21.33 = 319.99
Resultado Las 4 partes son: 128, 106.66, 64 y 21.33

Enunciado del Carlos decide salir a correr todas las mañanas y se desafía a sí mismo a
problema aumentar su recorrido en 1/2 km, por día. Sumando lo recorrido cada día,
al cabo de 12 días el recorrido acumulado es igual a 65.5 km, ¿cuánto
corrió el treceavo día?
Planteamiento x+(x+0.5)+(x+1)+(x+1.5) +(x+2) +(x+2.5) +(x+3) +(x+3.5) +(x+4) +(x+4.5)
del problema +(x+5) +(x+5.5)=65.5
Operaciones 12x+33=65.5
12x=65.5-33
12x=32.5
x=2.708  primer día
y=incógnita para el 13vo día.
y=x+12(1/2)
y=2.708+6=8.708
Resultado El día 13 corrió 8.708 Km

Ejercicios Actividad Integradora - Unidad 2.
Resuelve los siguientes problemas utilizando tus conocimientos Algebraicos y el Pensamiento Lógico
y Matemático.

Nota: Ningún problema será válido sin procedimientos.

Enunciado del 1.-Juan compro 2 kilo de tortillas, en su clase de física aprendió que el peso de un
problema cuerpo es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro de la
tierra y radio de la tierra es de aproximadamente 6500 kilómetros ¿crees que con
estos datos pueda conocer el peso de dos kilos de tortillas a 800 kilómetros de la
tierra? ¿Cuál sería el peso?
Planteamiento A1=(6500)2
del problema A2=(6500 km + 800 km)2
P=2kg
X=?
Operaciones X=A1*P÷A2
X=(6500)2 * (2) ÷ (6500 + 800)
X=42250000*2 ÷(7300) 2
X=84500000 ÷ 53290000
X=1.5856
Resultado El peso sería de 1.5856 kg

Enunciado del 2.-Un electricista quiere colocar una instalación, pero antes de esto necesita
problema conocer la resistencia del cable para estar seguro de que es el adecuado, él sabe
que la resistencia de un cable es directamente proporcional a su longitud y que
un cable (de determinado material) de 2500 metros de largo tiene una resistencia
de 25 ohms. ¿Cuál sería la resistencia del cable en la instalación si es del mismo
material al mencionado pero mide 7000 metros?
Planteamiento Metros Ohms
del problema 2500 25
7000 O

2500 = 25
7500 O
Operaciones 2500O = 7000*25
2500O =175000
O=70
Resultado Una resistencia de 700 mts de cable seria de 70 Ohms

Enunciado del 3.-Un trabajador quiere comprar un automóvil que cuesta $253,000, pero solo
problema cuenta con $200,000 así que decide invertirlos en dos tipos de acciones. La tasa
esperada de interés anual de la primera acción (X) es de 16%, pero él sabe que
no es muy segura por lo que decide invertir máximo 100,000 en la acción X. La
tasa anual de la segunda acción (Y) que es más estable, es de 11%. ¿Será
posible que invierta su dinero de manera tal que al término de un año pueda
obtener exactamente el dinero que le hace falta para comprar el automóvil?
Planteamiento Capital %
del problema Con que se cuenta $ 200,000 100
Falta $ 53,000 Z
Operaciones Z= 53000*100 ÷ 200000
Z=5300000÷200000
Z=26.5%
Le falta el 26.5% del capital para comprar el auto.
Resultado Con las tasas elegidas del 16% y 11% no podría juntar la cantidad que falta, ya
que para obtener esos $ 53,000.00 debe invertir en una tasa de 26.5% todo su
capital ($ 200,000.00) para lograr el objetivo.

Enunciado del 4.-Un profesor de matemáticas cobra $250 la hora de asesoría particular, y $150
problema la hora de clase grupal. Al final del mes gano en total 16,000. Si trabajo en
asesorías particulares 5 horas más que en las grupales, entonces ¿Cuántas horas
trabajo en cada tipo de clase?
Planteamiento p = asesoría particular
del problema g = asesoría grupal
p=g+5
g=p-5
16000=250p+150g
Operaciones Despejamos g.

16000=50(5p+3g)
16000÷50=5p+3g
320=5p+3g
320-5p=3g
320-5p/3=g
5(64-p)/3=g

Sustituimos g.
p=g+5
p=5(64-p)/3 + 5
p=(320/3 + 5p/3)+5
p=335/3 - 5p/3
5p/3+p = 335/5
8p/3=335/3
8p=(335/3)*3
8p=335
p=41.875

Encontramos el valor de g.
g=p-5
g=41.875-5
g=36.875

Comprobamos.
16000=250p+150g
16000 = (250*41.875)+(150*36.875)
16000 = 10468.75+5531.25
16000 = 16000
Resultado Dio 41.785 horas de asesoría particular y 36.875 horas de asesoría grupal.

Enunciado del 5.-Un chef quiere preparar 18 litros de salsa para pizzas. La salsa debe contener
problema 3% de ingrediente secreto, pero su ayudante se equivoco y preparo dos tipos de
salsas una contiene 7% de ingrediente secreto y la segunda contiene 2% de
ingrediente secreto. ¿Cuántos litros de cada salsa debe mezclar el chef para
obtener los 18 litros deseados (recuerda solo debe tener 3% de ingrediente
secreto)?
Planteamiento x=cantidad de litros de salsa al 7%
del problema y=cantidad de litros de salsa al 2%

A B C
Cantidad de litros en cada caso x 18-x 18
Cantidad de salsa con ingredientes .07x .02x(18-x) .03*18

Ecuaciones:
.07x+.02(18-x)=.03*18
y=18-x
Operaciones .07x+.02(18-x)=.03*18
.07x+.36-.02x=.54
.05x+.36=.54
.05x=.54-.36
.05x=.18
x = 3.6

y=18-x
y=18-3.6
y=14.4
Resultado Debe mezclar 3.6 litros de la salta 7% y 14.4 de la salsa 2%

Enunciado del 6.-Dos niños compraron radios cuyo alcance máximo es de 3 kilómetros. Juan
problema empieza a caminar de cierto lugar hacia el norte, a la 1:00 p.m., a una velocidad
de 5 kilómetros por hora. Jorge sale del mismo sitio a la 1:15 p.m. y camina hacia
el sur a 7 kilómetros por hora. ¿A qué hora ya no podrán comunicarse?(Expresa
tu resultado en horas y minutos)
Planteamiento D=3km
del problema v1=5kmh
v2=7kmh

Distancia que recorrió Juan en 15 minutos
d=v1+t
d=5*.25
d=1.25km

La velocidad (v1 y v2 van en sentido contrario por ello se suman)
v=v1+v2
v=5+7
v=12

Distancia que falta para los 3 km
d=3-1.25
d=1.75
Operaciones t=d/v
t=175/12
t=.14583 h

Convertimos a minutos
.14583 x 60 minutos = 8.7498
.7498 x 60 segundos = 44.98
8 minutos 45 segundos
Resultado A la 1:23.45 pm ya no se podrían comunicar.

Enunciado del 7.-Si la temperatura permanece constante, la presión de un gas es inversamente
problema proporcional al volumen. La presión de cierto gas dentro de un globo esférico de
10 metros de radio es 25 lb/m2. Si el radio del globo aumenta a 15 metros, calcula
la nueva presión del gas.
Planteamiento Metros de radio Presión
del problema 10 25 lb/m2
15 x
Operaciones 15x=(10)(25)
15x=250
x=250/15
x=16.66
Resultado La presión seria de 16.66 lb/m2

Enunciado del 7.-Si la temperatura permanece constante, la presión de un gas es inversamente
problema proporcional al volumen. La presión de cierto gas dentro de un globo esférico de
10 metros de radio es 25 lb/m2. Si el radio del globo aumenta a 15 metros, calcula
la nueva presión del gas.
Planteamiento v1= 4 π/3 * r3
del problema v1= 4 π/3 * 103
v1= 12.5664/3 * 10000
v1= 4.1888 * 10000
v1= 4188.88

v2= 4 π/3 * r3
v2= 4 π/3 * 153
v2= 4.1888 * 3375
v2= 14137.20

Volumen Presión
4188.88 25 lb/m2
14137.2 x
Operaciones 14137.2 x = (4188.88)(25)
x= 104722/14137.20
x= 7.40
Resultado La presión seria de 7.40 lb/m2

Enunciado del 8.-A las 7 de la mañana, de cada una de dos ciudades (A y B), que se encuentran
problema separadas 320 Km., sale un automóvil que se dirige a la otra. El que parte de la
ciudad A se desplazan a una velocidad constante de 66 Km/h y a 78 Km/h el que
parte de la ciudad B. ¿A qué distancia del trayecto y a qué hora se encontraran
los dos automóviles?
Planteamiento Datos
del problema Salida 7:00 am
d(ab)=320km
va=66 kmh
vb=78 kmh

Formula
va+vb = d1/t + d2/t
va+vb=d1+d2/t
t=(d1+d2)/va+vb
d1+d2=320km
Operaciones t=320/68+78
t=320/144 simplificado 20/9
t=2.2222 horas
Convertimos a minutos .2222*60 = 13.32
t=2:13 horas

vb=d1/t
66=d1÷20/9
d1=66*20/9
d1=440/3
d1=146.66

va=d2/t
78=d2÷20/9
d2=78*20/9
d2=520/3
d2=173.33
Resultado Se encontraron a las 9.13 am, el auto que salió del punto A recorre 146.66 km y el
del punto B 173.33 km

Enunciado del 9.-Para derretir tres gramo de hielo, sin incrementar su temperatura, se necesitan
problema 240 calorías de calor. ¿Cuántas calorías se requieren para derretir 900 Kg. de
hielo sin cambiar su temperatura?
Planteamiento 3 Gramos de hielo = .003 kg
del problema .003kg = 240 Cal
900kg = x
Operaciones x=900*240÷.003
x=216000÷.003
x=72000000
Resultado Se ocupan 72'000,000 calorías de calor

Objetivo general


Aplicación de la lógica proposicional y pruebas de certeza y validez

Facilitar el camino para llegar a la verdad es el principal objetivo de la
Lógica. Ésta proporciona reglas, mediante las cuales se puede determinar si un
razonamiento es válido (correcto). Debido a la diversidad de sus aplicaciones,
estas reglas llamadas “reglas de inferencia”, deben establecerse en términos
generales y deben ser independientes de cualquier disciplina particular
involucrada y de cualquier lenguaje utilizado. Para lograr su objetivo, la lógica
utiliza el método racional inductivo o el método racional deductivo.

En matemáticas, deducir es razonar. El razonamiento matemático es
puramente deductivo y los principios en los que se apoya principalmente son
los axiomas, las definiciones y los postulados. Estos principios son
suposiciones generales cuyo significado se acepta como verdadero.
Los axiomas son obras creadas por el hombre, se construyeron con propósitos
convenientes para él y que se han aceptado como verdaderos. Es decir, no
surgieron de la nada, ni por arte de magia. A partir de los axiomas es como se
ha ido construyendo toda la teoría matemática y en general, todas las ciencias.


Desarrollar habilidades de razonamiento lógico mediante el análisis de
proposiciones.

Habilidades que se pretenden desarrollar en esta unidad:
• Identificación de los procesos básicos de la lógica
• Razonamiento lógico para el planteamiento de problemas
• Representación de problemas mediante un lenguaje propio de la
matemática
• Aplicación de los procesos básicos de la lógica en la solución de
problemas
• Interpretación de los resultados obtenidos mediante procesos
matemáticos
• Abstracción de conceptos

¿Qué es una proposición?
Es una oración la cual tiene un sentido de decir que es verdadera o falsa, es decir niega o
afirma.
¿Qué tipos de proposiciones existen?
Simples:
Básicas o atómicas: son aquellas que llevan un sólo sujeto y un sólo predicado, no tienen
conjunciones entre los términos que las integran y no se puede que sean descompuestas.
Predicativas: son aquellas que atribuyen o afirman una cualidad o circunstancia de un objeto
o sujeto.
Relacionales: establecen una relación o enlanche entre 2 sujetos u objetos, presenta un
predicado posicional, es decir requieren de 2 o más individuos para que tenga sentido.
Compuestas: también se les llama moleculares y se forman de las proposiciones simples,
están unidas por una conjunción o un conectivo lógico.
Conjuntivas: están formadas por la unión de dos proposiciones simples unidas por nexos
lógicos como: "y", "e", "a la vez que", "también", "no obstante", "pero", "sin embargo",
"aunque".
Disyuntivas: son aquellas proposiciones simples unidas por el término de enlanche "o".
Condicionales: también conocidos como hipotéticas, expresan relación de causalidad entre
proposiciones afectas, van unidas por el término de enlanche "si...entonces".
Incondicionales: es una relación de doble condicionalidad o también una condición necesaria
y suficiente, se une con nexos lógicos como "si y sólo si", "cuando y sólo cuando", entonces y
solo entonces"
¿Qué son y para qué sirven los términos de enlace?
Son los elementos (nexos) que nos permiten unir dos o más proposiciones, y sirven para
eso, para unir proposiciones y darle un sentido a la oración.
¿Cuáles son los símbolos para cada término de enlace?
¬ ó ~ Negación. “No, No es cierto que”
^ Conjunción. “Y, pero, además, más aun”
˅ Disyunción. “o, a menos”
→ Condicional. “Si…entonces”
↔ Bicondicional. “Si y sólo si”
˅ Sentido exclusivo de la disyunción. “o, or exclusivo”
↓ Negación Conjunta. “Ni…ni”
≠ Disyunción Excluyente “O bien… o bien”
¿Para qué me sirven los paréntesis en la simbología de proposiciones?
Funciona como signos de agrupación al igual que [ ] { } para dar prioridad a que se realice
primero la operación que esta dentro de ellos.

1. Indica en cada uno de los siguientes casos si la proposición es molecular ó atómica,
si la proposición es molecular escribe el nombre del término de enlace empleado.

a) Hoy es domingo y está lloviendo. Molecular … término de enlace “y”
b) El libro de lógica es muy caro. Atómica
c) La computadora tiene virus o no funciona la tarjeta madre. Molecular … término de
enlace “o”
d) Si compro una computadora nueva, entonces no tengo dinero para el camión.
Molecular … término de enlace “Si … entonces”
e) El cielo está nublado. Atómica
f) No es cierto que, México gana la copa mundial. Molecular … término de enlace “No es
cierto que”

2. Escribe “5 proposiciones moleculares” conectando las proposiciones atómicas
siguientes:
a) El asesor está en línea. (P)
b) El estudiante consulto los archivos de apoyo (Q)
c) La actividad se entrego a tiempo (R)
d) Tengo dinero para una laptop (S)
e) Tengo dinero para una casa nueva (T)
f) Hoy es viernes (U)
g) La fiesta es mañana. (V)
h) José aprobó el curso. (W)

1) Si el estudiante consulto los archivos de apoyo entonces la actividad se entrego a
tiempo.
2) Si tengo dinero para una laptop, entonces no tengo dinero para una casa nueva.
3) El asesor está en línea si y sólo si hoy es viernes.
4) Si hoy es viernes, entonces la fiesta es mañana.
5) No es cierto que, el estudiante consulto los archivos de apoyo y no es cierto que el
asesor esta línea

3. Escribe simbólicamente (formaliza) las “cinco proposiciones moleculares” que creaste
en el ejercicio anterior. (Nota: primero debes asignar una letra de las siguientes letras
mayúsculas P,Q,R,S… a cada una de las proposiciones atómicas)

1) Si el estudiante consulto los archivos de apoyo entonces la actividad se entrego a
tiempo.
Q→R
2) Si tengo dinero para una laptop, entonces no tengo dinero para una casa nueva.
S→~T
3) El asesor está en línea si y sólo si hoy es viernes
P↔U
4) Si hoy es viernes, entonces la fiesta es mañana.
U→V
5) No es cierto que, el estudiante consulto los archivos de apoyo además no es cierto
que el asesor esta en línea.
~Q ^ ~ P

4. Escribe simbólicamente cada una de las siguientes proposiciones, es indispensable
indicar que letra mayúscula P,Q,R,S… le corresponde a cada proposición atómica.
(En los casos necesarios utiliza paréntesis)

a) Voy a la plaza y, o veo una película o compro ropa.
P=Voy a la plaza
Q=Veo una película
R=Compro ropa
P ^ (Q ˅ R)
b) O José estudia lógica y realiza las actividades, ó duerme todo el día y repite el curso.
P=José estudia lógica
Q=Realiza las actividades
R=Duerme todo el día
S=Repite el curso
(P ^ Q) ˅ (R ^ S)
c) O damos mantenimiento a las maquinas o sacamos la producción.
P=Damos mantenimiento a las maquinas
Q=Sacamos la producción
P˅Q
d) Si la computadora tiene virus y no enciende, entonces o compro otra o la reparo.
P=La computadora tiene virus
Q=Enciende
R=Compro otra
S=La Reparo
(P^~Q)→(R ˅ S)

e) Carlos trabajo todo el día y no dejo ningún pendiente en la oficina, entonces no ocurre
que sea despedido.
P=Carlos trabajo todo el día
Q=Dejo ningún pendiente en la oficina
R=Que sea despedido
(P ^ ~ Q)→R
f) No ocurre, que no se venda el producto.
P=Se venda el producto.
~~P
g) Si corro toda la mañana, entonces no puedo caminar en la tarde.
P=Corro toda la mañana
Q=Puedo caminar en la tarde.
P→(~Q)
h) Tengo una laptop en casa y no se usarla.
P=Tengo una laptop en casa
Q=Se usarla
P^~Q

5. Coloca los paréntesis en el lugar correcto cuando sea necesario para que
correspondan a las proposiciones indicadas del lado derecho. (Observa el ejemplo)

Ejemplo:

PQ  R Conjunción
Respuesta: P  (Q  R)

a) Q  R  Q  P conjunción
(Q ˅R) ^ ~( Q → P)
b) R  Q  P negación
~(R → Q ^ P)
c) P  Q  S condicional
P→(Q ˅ S)
d) P  Q negación
~(P → Q)
e) P  Q  R disyunción
~P ˅ (Q^ R)

6. Si P,Q,R y S designan las proposiciones:

P: Pedro entró a la función de las 4
Q: Juan llegó a tiempo al cine
R: La película se proyectó para toda la audiencia
S: La función se retraso.

Expresa en lenguaje ordinario las proposiciones obtenidas en el ejercicio anterior.
a) Juan llegó a tiempo al cine o la película se proyectó para toda la audiencia, y si Juan
no llegó a tiempo al cine entonces Pedro no entro a la función de las 4.
b) Si no se proyecto la película a tiempo, entonces no ocurre que, Juan llegó a tiempo al
cine, y no ocurre que, Pedro entró a la función de las 4.
c) Si Pedro entro a la función de las 4, entonces Juan llego a tiempo al cine o la función
se retraso.
d) Si Pedro no entro a la función de las 4, entonces no ocurre que, Juan llego a tiempo al
cine.
e) Pedro no entro a la función de las 4, o Juan llegó a tiempo al cine y la película se
proyectó para toda la audiencia


1. Determina los valores de certeza o verdad para cada una de las proposiciones
siguientes por medio de la tabla correspondiente, suponiendo que R y S son falsas y P
y Q son verdaderas.

a) S  R
S R S R
F F V

b) S  S  R 
S R (S→R) S  S  R 
F F V V

c) P  (Q  S )
P Q S (Q→S) P  (Q  S )
V V F F F

d) R  S   R  Q
R S Q (R→S) (R→Q) R  S   R  Q
F F V V V V

e) P  Q  R  P
P Q R ¬P ¬Q (¬P→¬Q) (R→¬P) ¬(R→¬P)
V V F F F V V F
P  Q  R  P F

f) P  Q  R  S 
P Q R S ¬Q ¬R (P˅¬Q) (¬R˅S) ¬(¬R˅S)
V V F F F V V V F
P  Q  R  S  F

g) P  Q  R  P
P Q R ¬P (¬P˅Q) (R→P)
V V F F V V
P  Q  R  P V

h) R  S   P  R  S  P
R S P (R^S) [(R^S)→P] (S→P) [R→(S→P)]
F F V F V V V
R  S   P  R  S  P V

i) P  R  Q  S   P  Q  R
P R Q S (P˅R) (Q˅S) [(P˅R)→ (Q˅S)]
V F V F V V V
P Q ¬P ¬Q (¬P˅¬Q) [(¬P˅¬Q)^R]
V V F F F F
P  R  Q  S   P  Q  R F

j) R  S   S  Q
R S Q ¬S (R↔¬S) (S↔Q)
F F V V F F
R  S   S  Q V

2. Lee con atención:

- Si el motor del auto no enciende y las luces no encienden, entonces la batería no tiene
carga.
- El motor del auto no enciende y las luces si encienden.
- Por lo tanto, la batería tiene carga.

Expresa el razonamiento anterior en lenguaje simbólico y construye su tabla de verdad.
Debes encontrar una combinación de valores de certeza tal que todas las premisas (en azul)
sean ciertas pero la conclusión (en gris) sea falsa. En caso de encontrar dicha combinación,
entonces se demuestra que el razonamiento no es válido. Señala dicha combinación y
especifica si el razonamiento es válido o no valido.

p: El motor del auto enciende
q: Las luces encienden
r: La batería tiene carga
¬p: El motor no enciende
¬q: Las luces no encienden
¬r: La batería tiene carga
(¬p ^ ¬q) → ¬r
¬p ^ q
Conclusión: r

Premisa 1 Premisa 2 Conclusión
p q r ¬p ¬q ¬r (¬p ^ ¬q) → ¬r ¬p ^ q r
v v v f f v v f v
v v f f f f v f f
v f v f v v v f v
v f f f v f v f f
f v v v f v v v v
f v f v f f v v f
f f v v v v v f v
f f f v v f v f f

Respuesta: El razonamiento no es valido.

3. Repite el procedimiento del ejercicio anterior para demostrar la invalidez de los
siguientes razonamientos:

a)
- O el proceso de producción está fallando o los empleados no están haciendo su
trabajo.
- Los trabajadores están haciendo su trabajo y las ventas aumentaron en el mes.
- Por lo tanto, el proceso de producción no está fallando y las ventas aumentaron.

p: El proceso de producción está fallando.
q: Los empleados están haciendo su trabajo.
r: Las ventas aumentaron en el mes.
Premisa 1: p˅¬q
Premisa 2: q^r
Conclusión: ¬p^r

Premisa 1 Premisa 2 Conclusión
p q r p˅¬q q^r ¬p^r
v v v v v f
v v f v f f
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b)

- Si aumenta el número de automóviles en circulación, entonces el tráfico aumenta y la
contaminación será mayor.
- La contaminación es mayor y aumenta el número de automóviles.
- O aumenta el número de automóviles o la contaminación no será mayor.
- La contaminación será mayor.
- Por lo tanto, el tráfico no aumenta.

p: Aumenta el número de automóviles en circulación.
q: El tráfico aumenta.
r: La contaminación será mayor.
Premisa 1: p→(q^r)
Premisa 2: r^p
Premisa 3: p˅¬r
Premisa 4: r
Conclusión: ¬q

Premisa 1 Premisa 2 Premisa 3 Premisa 4 Conclusión
p q r p→(q^r) r^p p˅¬r r ¬q
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