1. ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE CARTAGENA DE INDIAS
PROGRAMA DE FORMACIÓN COMPLEMENTARIA
Nit. 8060011741
CONOCIMIENTO DE LAS PROFESORAS DE PREESCOLAR EN RELACIÓN
CON EL CONCEPTO DE NÚMERO.
RESUMEN
Con el proyecto se pretende realizar una caracterización de los conocimientos y
de las prácticas de enseñanza de las profesoras de preescolar en relación con el
número. Además de caracterizar el conocimiento y las prácticas, se pretende
diseñar y ejecutar una propuesta de formación docente orientada a brindar
elementos teóricos y procedimentales para enseñar el número en el preescolar.
PALABRAS CLAVES: Número en el preescolar, conocimiento del maestro.
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
En el preescolar se viene enseñando contenidos de matemáticas, uno de estos
contenidos es el concepto de número. Las profesoras y los niños dedican tiempo
y esfuerzo a realizar actividades que los lleven a aprender el concepto. Las
observaciones muestran que los niños y niñas hacen planas con los numerales,
los retiñen, los rellenan, realizan conteos, establecen la correspondencia entre el
numeral y la cantidad, identifican los numerales dada la etiqueta numérica, recitan
la secuencia, aprenden las secuencias mayores de 10 mediante la idea de familia,
en fin diferentes acciones que hablan de los conocimientos que tiene las
profesoras del número, de allí que nos preguntamos por esos conocimientos y por
las prácticas de enseñanza. Nuestras preguntas orientadoras son ¿Cuál es la
naturaleza del conocimiento de las profesoras de preescolar en relación con el
número? Y ¿Cómo enseñan el número las profesoras de preescolar?

2. OBJETIVOS
Objetivos generales
Caracterizar el conocimiento y las prácticas de enseñanza de las profesoras de
preescolar en relación con el concepto número.
Objetivos específicos
Caracterizar los conocimientos de las profesoras de preescolar en relación con el
número.
Describir las prácticas de enseñanza del número en el preescolar.
Identificar las estrategias que utilizan las profesoras de preescolar cuando
enseñan el número.
Diseñar y ejecutar una propuesta de formación docente para la enseñanza del
número en el preescolar.
JUSTIFICACIÓN
Los estudios muestran que los primeros años de vida del hombre son de gran
actividad cognitiva y cognoscitiva, como tal la educación preescolar es importante
para cualquier sociedad, los recursos que se invierten en este nivel tienen altas
tasas de retorno en bienestar social para aquellos que lo realizan. Siendo así, una
investigación que pretenda comprender ciertos procesos que ocurren en la mente
y en las acciones de las profesoras cuando enseñan un concepto en particular,
como lo es el del número, cobra relevancia porque nos da pistas no sólo sobre
cómo se vienen realizando las cosas, sino también cómo podemos mejorarla.
Al caracterizar el conocimiento y las prácticas de enseñanza del número de las
profesoras de preescolar podemos tener elementos de análisis que nos ubiquen
en el diseño y ejecución de programas de formación continuada para intervenir de
manera diferente y hacer que los niños elaboren aprendizajes conceptuales del
número. El proyecto no sólo nos ubica en el ahora de la enseñanza del número en
el preescolar, también lo hace en el futuro de la misma.

3. Con el proyecto nos acercamos de manera sistematizada a conocer el mundo de
las prácticas de enseñanza del número en el preescolar y lo hacemos
acompañados de los futuros profesores de este nivel como lo son los estudiantes
del Programa de Formación Complementaria de la Escuela Normal Superior de
Cartagena de Indias. Los futuros profesores comprenden, en la misma
experiencia, que para conocer lo que sucede en el aula es necesario armarse con
instrumentos propios de la investigación, la investigación es el camino a seguir
para que vivan su propia formación y a futuro construyan los escenarios que les
permitan a otros y otras formarse.
ESTRUCTURA DEL REFERENTE TEÓRICO
Conocimientos, concepciones y creencias de los profesores.
En este apartado se hace un estudio de lo que es el conocimiento, las creencias y
las concepciones; se inicia presentando una conceptualización de cada uno de los
términos relacionados, luego se presenta un rastreo sobre estudios de creencias y
concepciones de los docentes, se continúa con la presentación de las diferentes
concepciones que, desde la filosofía de las matemáticas, se han elaborado para
dar cuenta de lo que es su naturaleza y por último se presentan algunos estudios
de las concepciones y creencias de los maestros sobre la matemáticas, su
enseñanza y aprendizaje.
Conocimiento, concepciones y creencias.
Mª Esther Martín Amador, realiza una síntesis de la génesis del estudio de las
creencias y nos dice que para 1920 hubo un interés por el indagar sobre las
creencias y la relación que ellas tenían con las acciones, pero que ese interés
disminuyó hasta casi desaparecer por dos causas, la primera por la dificultad de
acceder a ellas directamente y la segunda por el advenimiento y fortalecimiento de
las teorías asociacionistas y el conductismo; Sigue planteando que el interés
volvió para la década de los 60s con el auge de las teorías cognitivas, en palabras
de ella “En los años 60 hubo un cierto resurgimiento del interés por el estudio de

4. las creencias, pero variaba mucho entre los psicólogos (Abelson & Carrol, 1965;
Rokeach, 1960, citados por Martín). El advenimiento de las ciencias cognitivas en
los 70 crearon "un espacio para el estudio del sistema de creencias en relación
con otros aspectos de la cognición y el afecto humanos" (Abelson, 1979, p. 355,
Citado por Martín). En los años 80 se produjo un resurgimiento del interés por las
creencias y el sistema de creencias entre los estudiosos de disciplinas tan
diversas como la psicología, las ciencias políticas, la antropología y la educación”
(Pág.; 25).
Respecto al estudio de las creencias de los profesores, nos dice Martín, que el
interés creció porque se pasa del estudio de las conductas o comportamientos,
orientados por el paradigma del proceso producto, al del pensamiento y
contenidos del pensamiento, década de los 70s, orientado por el paradigma
cognitivistas. Se ha venido hablando de las creencias, concepciones y
conocimientos, pero cómo se definen estos conceptos, qué relación guardan
entre sí; en este apartado se intenta realizar una aproximación conceptual que nos
ubique teóricamente y nos permita realizar una diferenciación de los mismos.
Lo primero que hay que resaltar es que no existe unidad de criterio al referirse a
estos temas, la revisión de la literatura confirma esta afirmación en tres sentidos,
el primero en reconocer la pluralidad de aproximaciones a los conceptos
mencionados, la segunda al constatar que muchos autores dan por sentado que
los lectores saben de los conceptos, al respecto Martín nos dice, “los autores han
supuesto que los lectores saben qué son las creencias”. (Pág.; 26) y la tercera
tiene que ver con la dificultad de establecer diferencias entre creencia,
conocimiento y concepción.
Iniciaremos presentando la distinción entre conocimiento y creencias, para ello.
Mar Moreno (2005), nos dice que las creencias se engloban en lo que llama
teorías implícitas, o tácitas en palabras de Porlán (1998), que permiten la toma de
decisiones en momentos específicos de la misma acción. Para Marcelo (2005) las
creencias forman parte de las estructuras mentales con las que se explica la
realidad de una manera muy personal, En este sentido “…podemos ver las

5. creencias como una parte del conocimiento relativamente poco elaborada (…) en
las creencias predomina una elaboración más o menos fantástica y una falta de
confrontación con la realidad empírica” (Ponte, 1992, citado por Mar Moreno
2005; 70).
Marcelo Carlos (2005) presenta un listado de principios que las caracterizan a las
creencias:
1. “las creencias se forman en edad temprana y tienden a perpetuarse,
superando contradicciones causadas por la razón, el tiempo, la escuela o la
experiencia.
2. los individuos desarrollan un sistema de creencias que estructura todas las
creencias adquiridas a lo largo del proceso de transmisión cultural.
3. los sistemas de creencias tienen una función adaptativa al ayudar al
individuo a definir y comprender el mundo y así mismos.
4. conocimiento y creencias están interrelacionados, pero el carácter afectivo,
evaluativo y episódico de las creencias se convierten en un filtro a través
del cual todo nuevo fenómeno se interpreta.
5. las subestructuras de creencias, como son las creencias educativas, se
deben comprender en términos de las conexiones con las demás creencias
del sistema.
6. debido a la naturaleza y origen algunas creencias son más discutibles que
otras.
7. cuanto más antigua sea una creencia, más difícil es cambiarla. Las nuevas
creencias son más vulnerables al cambio.
8. el cambio de creencias en los adultos es un fenómeno muy raro. Los
individuaos tienden a mantener creencias basados en conocimientos
incompletos e incorrectos.
9. las creencias son instrumentales al definir tareas y al seleccionar los
instrumentos cognitivos a interpretar, planificar y tomar decisiones en
relación con una tarea; por lo tanto, juegan un papel crucial al definir la

6. conducta y organizar el conocimiento y la información” Pág.; 50, citando a
Payares1992)
Thompson (1992), citado por Mar Moreno (2005), plantea una serie de
características de las creencias entre las que se destacan:
1. la gradualidad de la convicción de las mismas.
2. no son consensuadas
3. no cumplen criterios de objetividad y crítica
4. falta de acuerdos a la hora de evaluarlas.
Las creencias tienen tres componentes, cognitivo, afectivo y de acción o
conductual (Mar Moreno, 2005, citando a Pajares, 1992) en este sentido la
creencia integra las emociones o sentimientos, los conocimientos y los
desempeños.
Al revisar las caracterizaciones que se hacen de las creencias podemos afirmar
que se diferencian del conocimiento en tanto “poseen una clara connotación
afectiva y evaluativa” (Marcelo, 2005; 49), una cosa es lo que conocemos y otra el
sentimiento que tenemos sobre ese conocimiento, es decir una cosa es la “forma
como se cree, (y otra) el contenido de lo que se cree” (Green, 1971; citado por Mar
Moreno, 2005; 70), el conocimiento tendría una connotación de objetividad y
contrastación con la realidad empírica. Scheffer (1965) “planteó que lo que se
considera conocimiento debe satisfacer una condición de verdad, mientras que las
creencias son independientes de su validez”. (Citado por Martín; Pág.; 28) y
continúa diciendo Martín, la característica del conocimiento es un acuerdo general
sobre los procedimientos para evaluar y juzgar su validez; el conocimiento debe
satisfacer criterios que implican cánones de evidencia. Las creencias, por otro
lado, se mantienen o justifican a menudo por razones que no satisfacen esos
criterios, y así, se caracterizan por una falta de acuerdo sobre cómo tienen que
evaluarse o juzgarse (Ibíd.; 29).

7. CREENCIAS CONOCIMIENTO
Se pueden mantener con diferentes
grados de convicción.
No se pueden mantener con
diferentes grados de convicción (uno
no puede decir que no conoce un
hecho fuertemente).
Las creencias no son consensuadas:
el que cree algo es consciente de que
otra persona puede pensar de forma
diferente.
El conocimiento no es disputable,
sino que es verdadero o certero.
No hay criterios para evaluar o juzgar
una creencia.
Hay acuerdo general sobre cómo
evaluar y juzgar la validez del
conocimiento.
Una creencia puede convertirse en
conocimiento a la luz de nuevas
teorías que la respalden.
Un conocimiento puede convertirse
en creencias en base a nuevas
teorías que invalidan ese
conocimiento.
La antigüedad fortalece la creencia. La antigüedad no determina la validez
del conocimiento
Superan contradicciones causadas
por la razón, el tiempo, la escuela o la
experiencia.
Cuando se falsea deja de
considerarse cierto.
Tabla 2. Distinción entre creencia y conocimiento. Adaptada de Mª Esther Martín Amador de su
tesis de doctorado “Creencias y prácticas del profesorado de primaria en la enseñanza de las
matemáticas”.
Conocimiento, concepciones y creencias de los docentes.
De simple aplicador de fórmulas o procedimientos, el maestro se ha transformado
en un sujeto que piensa y actúa, un sujeto de conocimientos, emociones,
expectativas y de prácticas orientadas por saberes. Los profesores “orientan su
conducta a partir del conocimiento y creencias que posean (que) empieza a
construirse mucho antes de que el profesor decida dedicarse profesionalmente a
la docencia” Marcelo; 2005; 49), de allí la importancia de estudiar el pensamiento y
los contenidos del pensamientos porque “… la mente del profesor es un estado

8. autorreflexivo de intrincadas interdependencias con un elevadísimo contenido
informativo procedente del despliegue de variados intelectivos, predictivos,
creativos y volitivos” (Villar; 2005; 35). Los docentes según Marcelo (2005) son
profesionales que “desarrollan una epistemología de la práctica, es decir, que
generan conocimiento sobre la enseñanza” (pág. 47), no es que los maestros
antes no lo hicieran, es que ahora se le reconoce como tal. En este sentido
Badillo y Ascárate (2005) nos dicen que el maestro es una sujeto cognitivo
constructor y reconstructor de su conocimiento utilizando para ello la experiencia
del aula, lo que quiere decir que el conocimiento del docente puede cambiar. En
esta investigación asumimos que los docentes piensan, reflexionan y producen
saberes que guían sus prácticas, dentro de los cuales nos interesan las creencias
y las concepciones. El rastreo bibliográfico muestra que los investigadores
diferencian entre el pensamiento docente y el contenido de este pensamiento,
nosotros nos ubicamos en la línea de investigación que intenta dar cuenta del
contenido del pensamiento.
Perafán (2005, 2004) hace una presentación de lo que ha sido la génesis y
evolución de la investigación sobre el pensamiento docente, ubicando su origen en
la década del 70s, aunque la Dra. Mª Esther Martín Amador, en su tesis doctoral,
al hacer una breve descripción de la historia de las creencias nos dice que para la
década de los 20s, “los psicólogos sociales mostraban un considerable interés por
el estudio de la naturaleza de las creencias y su influencia sobre las acciones de
las personas” (Pág. 22), pero este interés disminuyó y casi desapareció debido a
lo difícil que resultaba su estudio y a la fortaleza de las corrientes asociacionistas y
al conductismo; es con la fuerza de las teorías cognitivas, que para ella,
coincidiendo con Perafán, se marca un nuevo rumbo en el estudio del
pensamiento docente. Para los 70s un importante grupo de investigadores “se
interesa por comprender las propias interpretaciones que del proceso educativo,
en general, y que de los procesos de enseñanza y de aprendizaje en las aulas, en
particular, mantienen los docentes” (Perafán; 2005, 15), Perafán, Marcelo (2005)
nos dicen que desde esta época, en diferentes eventos académicos al maestro se
le comenzó a ver como a un agente que toma decisiones, reflexiona, emite juicios,

9. tiene creencias, actitudes, entre otras. Se asumen las investigaciones, atendiendo
que el pensamiento docente “es condición fundamental que explica la posibilidad
del desarrollo docente, y que permite comprender las diferentes prácticas de
enseñanza” (Ibíd.; 15), es decir el pensamiento docente influye en las prácticas
reales que el docente realiza en las aulas cuando desarrolla la enseñanza, es así
como, citando a Shulman (1989) nos dice que el programa de cognición del
profesor estudia “ las relaciones del pensamiento del profesor con su propia
acción” (Ibíd.; 17). Los conocimientos sirven de marcos interpretativos desde los
cuales los docentes dan sentido a su propia experiencia, y actúan como filtros con
los que se interpreta las innovaciones que se les exigen (Marcelo; 2005)
Al adentrarnos en los estudios realizados sobre el pensamiento del docente,
encontramos que se han planteado desde dos perspectivas: la cognitiva y las
alternativas (Ibíd.), el primero “agrupa los trabajos sobre las operaciones mentales
de los profesores, en los distintos momentos de su acción pedagógica, realizados
bajo la influencia de los psicólogos cognitivos” (y el segundo), se estructura desde
la relación analítica con principios de la teoría social (sociología del conocimiento)
y, específicamente, de la pedagogía (teoría crítica de la enseñanza)” (Ibíd.; 19). El
enfoque cognitivo estudia en especial las estructuras formales del pensamiento
docente y el alternativo, mira el desarrollo de la comprensión del sentido que
propias acciones tiene para los docentes. Al interior de los enfoque alternativos
hay dos tendencias, la una pregunta por el contenido del pensamiento del docente
y la otra pregunta el porqué lo hace de esa manera, es decir su epistemología
(Perafán; 2004).
Porlán y Rivero (1998) al realizar una análisis de la naturaleza del conocimiento de
los docentes, lo clasifican en conocimiento profesional dominante y conocimiento
profesional deseable, para el primero distingue cuatro componentes, atendiendo
dos dimensione: la epistemológica, que la organiza bajo la dicotomía racional -
irracional; y la dimensión psicológica, organizada bajo la dicotomía explícito –
tácito (Ver esquema 1.), es así como establece cuatro tipos de conocimientos:

10. Esquema 1. Conocimiento del profesor.
A. Saberes académicos: son concepciones referente a los saberes
disciplinares que tienen los profesores, relativos a los contenidos del
currículo y a las ciencias de la educación. Se generan, por lo general, en los
procesos de formación inicial. Son explícitos y atienden a la lógica
disciplinar en sus procesos de organización.
B. Saberes basados en la experiencia: son ideas conscientes que los
profesores “desarrollan durante el ejercicio de la profesión acerca de
diferentes aspectos de los procesos de enseñanza aprendizaje (…) se
manifiestan como creencias principios de actuación, metáforas, imágenes
de conocimiento personal, etc. (…) se comparten en el contexto escolar y
no mantienen un alto grado de organización interna (…) pertenecen al
conocimiento de sentido común” (Ibíd.; 60).
C. Rutinas y guiones de acción: son “esquemas tácitos que predicen el curso
de los acontecimientos en el aula y que contienen pautas de actuación
concretas y estandarizadas para abordarlos (…) Constituyen el saber más
próximo a la conducta y son resistentes al cambio” (Ibíd.; 61), Porlán nos
dice que cualquier cambio que se introduzca en los procesos de
enseñanza, debe transformar las rutinas de acción si se quiere cambiar
realmente al aula. Estos saberes se adquieren principalmente siendo
estudiantes.
Conoci
miento
del
maestro
Dirnensión
epistemológica
Dimensión
psicológica
Racional
Experienci
al
Explícito
Tácito

11. D. Las teorías implícitas: es más un no-saber que un saber, son saberes que
tienen los docentes que dan cuenta de las creencias, concepciones,
imágenes y comportamientos o desempeños en función de categorías
externas, Porlán dice que los profesores no suelen “conocer la existencia
entre estas posibles relaciones entre sus formas de pensar y actuar y
determinadas formalizaciones conceptuales” (Ibíd.; 62) Esta concepciones
pueden ponerse en evidencia con la ayuda de otros.
Para Porlán y Rivero el conocimiento profesional dominante es una suma de
partes de los cuatro saberes descritos, estos saberes son de naturaleza diferente,
con génesis y contextos diferentes, gozan de cierta autonomía y se manifiestan en
diferentes tipos de situaciones con mayor o menor presencia.
1.1 Concepciones sobre las matemáticas
Responder la pregunta por la naturaleza de las matemáticas es adentrarse en un
debate interesante al cual matemáticos y filósofos le han apostado, la historia da
cuenta de variadas respuestas, lo que nos dice que no existe unidad o consenso,
más sin embargo se pueden agrupar en diferentes perspectivas o enfoques o lo
que algunos denominan paradigmas, es así como el MEN (1998) establece cinco
posiciones sobre el origen y naturaleza del conocimiento matemático: el
platonismo, el logicismo, el formalismo, el intuicionismo y el constructivismo,
describe a cada una de ellas y realiza la pregunta sobre cuál de ellas orientan las
prácticas de los docentes de matemáticas.
Mª Esther Martín Amador, en su tesis doctoral, plantea que hay dos tendencias o
miradas epistemológicas sobre las matemáticas, la tradición formalista y la mirada
cuasiempírica, esto retomando los planteamientos de Inre Lakatos, que también
son retomados por Josep Gascón. La posición formalista se basa en la
epistemología del positivismo lógico. Se considera que la naturaleza de las
Matemáticas consiste en verdades inmutables y certeza incuestionable” (Pág.; 20).
Desde el formalismo, una teoría matemática está formada por definiciones,

12. axiomas, y teoremas, que se deducen formalmente de los axiomas y de las
definiciones mediante las reglas de la lógica matemática. Esto hace que se
desconozca la evolución histórica de las matemáticas y que mucho de la actividad
matemática y de sus relaciones con la ciencia y tecnología no se reconozca como
matemática. “Desde este enfoque, las Matemáticas son una disciplina
caracterizada por resultados exactos y procedimientos infalibles, cuyos elementos
básicos son operaciones aritméticas, procedimientos algebraicos, y términos y
teoremas geométricos. En resumen, se dejan de lado las Matemáticas como una
forma de conocer e interpretar nuestra experiencia, al estar aquéllas fuera de la
actividad humana y del contexto de la vida cotidiana. Es decir, las Matemáticas
están "ahí fuera" esperando a ser descubiertas” (Ibíd.; 17).
La naturaleza dogmática de las matemáticas es duramente cuestionada y Lakatos
(1978 y 1981) realiza una crítica demoledora, presentando las inconsistencias y
las pruebas históricas que hacen de dicho paradigma un intento fallido de
interpretar y explicar la naturaleza de las matemáticas. Lakatos plantea que la
naturaleza del conocimiento matemático es conjetural, en sus propias palabra “lo
que hay de interesante en matemáticas tiene carácter conjetural” (Lakatos, 1981),
introduce el enfoque heurístico que hace énfasis en la situación problema, en la
lógica que da origen al conocimiento matemático. La matemática al igual que las
ciencias naturales parte de los problemas, luego se arriesgan posibles soluciones
y se viene el proceso de crítica y refutaciones, si se logra la prueba no quiere decir
que sea verdadera, sólo es una conjetura. El conocimiento matemático es, al igual
que el hombre, histórico.
Lo anteriormente presentado hace de la resolución de problemas el eje
fundamental para desarrollar el pensamiento y las matemáticas, es decir el
memento histórico y la naturaleza misma de las matemáticas hacen exigencias
para que su desarrollo, enseñanza y aprendizaje se de a través de la resolución
de problemas.
Josep Gascón, hace un análisis de los modelos docentes en relación con los
modelos epistemológicos generales que han existido a lo largo de la historia de las

13. matemáticas, para los últimos plantea una reconstrucción o evolución de la
epistemología de las matemáticas, propone tres patrones de la organización
matemática considerada como un todo: teorías euclídeas y teorías cuasi-
empíricas, siguiendo a Lakatos (1978), y la constructivista. Las dos primeras ya
fueron analizadas, para el constructivismo matemático “la naturaleza de los
objetos matemáticos como extraídos de las acciones u operaciones del sujeto en
lugar de ser entidades lógicas, lingüísticas, ideales o cuasi-empíricas. Decir que
los objetos matemáticos son construidos por las acciones del sujeto no es
metafórico, significa:
(a) Que las acciones del sujeto nunca son aisladas, están coordinadas con otras
acciones.
(b) Que de estas coordinaciones se extraen formas que pueden desprenderse de
sus contenidos.
(c) Y que estas formas se coordinan a su vez para dar nacimiento, por reflexión, a
las operaciones fundamentales que constituyen el punto de partida de las
estructuras lógico-algebraicas” (Piaget y García, citado por Gascón; Pág.; 16). El
MEN nos dice que el constructivismo matemático se apoya en la psicología
genética y se interesa por “las condiciones en que la mente realiza la construcción
de los conceptos matemáticos, por la forma como los organiza en estructuras y
por la aplicación que les da” (Pág.; 25), en palabras de Gascón, “la epistemología
constructivista pretende explicar el desarrollo del conocimiento matemático
mediante nociones análogas a las utilizadas para describir el desarrollo
psicogenético (op. cit. Pág.; 17).
María Esther Martín, citando a Hers (1986) nos dice que “Las Matemáticas tratan
con ideas. No marcas de lápiz o tiza, ni triángulos físicos o series físicas, sino
ideas (que pueden presentarse a través de objetos físicos). ¿Cuáles son las
principales propiedades de la actividad matemática o del conocimiento
matemático, tal como lo conocemos todos nosotros por la experiencia cotidiana?

14. 1. Los objetos matemáticos son inventados o creados por humanos; 2. Dichos
objetos no son creados arbitrariamente, pues surgen a partir de la actividad con
objetos matemáticos ya existentes, y a partir de las necesidades de la ciencia y de
la vida cotidiana; 3. Una vez creados, los objetos matemáticos tienen propiedades
que están bien determinadas. Puede ser que nosotros tengamos grandes
dificultades para descubrirlas, pero existen independientemente de nuestro
conocimiento de ellas” (Pág.; 21). Es así como para Hers, citado por Martín, lo que
caracteriza a las Matemáticas es la forma en que se hacen, sus actividades
creativas o procesos generativos: "saber Matemáticas es hacer Matemáticas".
Al ubicarnos en el mundo del hacer matemáticas, nos aproximamos a una
sociología del conocimiento matemático, en donde ésta es vista como una
actividad social de construcción de conocimiento que no escapa a los elementos
culturales e históricos del mismo hombre y de la sociedad, es aí como (Tymoczko,
1986), citado por Martín nos dice que la matemática es una “clase de actividad
mental, una construcción social que implica conjeturas, pruebas y refutaciones,
cuyos resultados están sujetos a cambios revolucionarios y cuya validez, por lo
tanto, debe juzgarse en relación con un contexto social y cultural (Pág.; 23).
Carlos Zuppa, al realizar una crítica al idealismo matemático, nos dice que esta
concepción separa las matemáticas (considerada como una creación meramente
artificial) de la praxis de los hombres, es así como propone “que la matemática es
un modo, entre tantos otros, de otorgar un sentido racional a ciertas experiencias
de los hombres, o sea, una manera racional de construir lo real”. (Pág.; 1),
asumiendo que la praxis humana no es meramente una relación instrumental del
hombre con la naturaleza. “La conciencia de los hombres no está aislada del
comportamiento o la práctica ni es reducible a estos, sino que constituye un
atributo de la organización de la actividad práctica”. (Pág.; 4). Es decir las
matemáticas son una forma de experiencia humana.
Godino (2003), plantea dos concepciones de las matemáticas, la idealista
platónica y la constructivista, para la primera concepción matemática pura y
aplicada son diferentes, es más la aplicada es un “apéndice”, nos dice que las

15. “estructuras matemáticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la
Naturaleza y Sociedad. Las aplicaciones de las matemáticas serían un "apéndice"
en el estudio de las matemáticas” (Pág.; 16), y sobre el constructivismo
matemático nos dice que hay una relación entre las matemáticas y sus
aplicaciones. “En esta visión, las aplicaciones, tanto externas como internas,
deberían preceder y seguir a la creación de las matemáticas; éstas deben
aparecer como una respuesta natural y espontánea de la mente y el genio
humano a los problemas que se presentan en el entorno físico, biológico y social
en que el hombre vive” (Ibíd..; 17).
La educación preescolar.
En este apartado haremos una presentación de lo que es la educación preescolar
en el sistema educativo colombiano, partiendo de la legislación que la regula y de
los documentos orientadores de las políticas públicas en el campo.
La constitución del 91 pone en manos de la sociedad, el estado y la familia la
responsabilidad de la educación, define su carácter de obligatoria en el rango de
los 5 y 15 años y establece un grado de educación preescolar y nueve de
educación básica. Con la promulgación de la ley general de educación o ley 115
de 1994, se define la educación preescolar como aquella que “corresponde a la
ofrecida al niño para su desarrollo integral en los aspectos biológico, cognoscitivo,
sicomotriz, socio-afectivo y espiritual, a través de experiencias de socialización
pedagógicas y recreativas”. Dentro de los objetivos para este nivel y por la relación
que tiene con el proyecto se resalta el que busca el “crecimiento armónico y
equilibrado del niño, de tal manera que facilite la motricidad, el aprestamiento y la
motivación para la lecto-escritura y para las soluciones de problemas que
impliquen relaciones y operaciones matemáticas”, no se pide que se enseñen
contenidos matemáticos, los profesores del nivel deben desarrollar procesos de
“aprestamiento y motivación para…”, el nivel prepara para que en un futuro,
educación básica, el estudiante enfrente el desarrollo de los contenidos y de los
problemas en el mundo de la lectura , la escritura y las matemáticas. En la misma
ley se determina la existencia de un grado obligatorio para este nivel que deben

16. cursar los niños menores de 6 años, esto sin detrimento de otros grados ofrecidos
por las instituciones y los ente territoriales.
El decreto 1860 del 94, reglamentario de la Ley 115 del mismo año, plantea que la
educación preescolar se ofrece a los niños antes de iniciar la educación básica y
está compuesta por tres grados, de los cuales los dos primeros constituyen una
etapa previa a la escolarización obligatoria y el tercero es el grado obligatorio. El
Estado sólo se hace responsable de garantizar la existencia de los grados, más no
de ofrecerlos como un servicio propio, sólo se compromete con el grado
obligatorio.
Con el decreto 2247 de 1997 se establece las normas relativas a la prestación del
servicio educativo del preescolar. Con esta norma se estructura el preescolar en
tres grados: prejardín para niños de tres años, jardín ofrecido a niños de 4 años y
el grado de transición ofrecido a niños de cinco años, éste corresponde al grado
obligatorio constitucional. La educación preescolar se asume como un nivel más
del sistema educativo formal. En el decreto se establece la no reprobación de
ningún grado y se contempla que si un estudiante no cursó el grado obligatorio
puede matricularse en el primer grado de la educación básica. La estrategia de
intervención para los desarrollos curriculares será el proyecto de aula lúdico y se
proponen actividades que tengan en cuenta la integración de las dimensiones del
desarrollo humano: corporal, cognitiva, afectiva, comunicativa, ética, estética,
actitudinal y valorativa; los ritmos de aprendizaje, las necesidades de aquellos
menores con limitaciones o con capacidades o talentos excepcionales, las
características étnicas, culturales, lingüísticas y ambientales de región y
comunidad. El decreto plantea que la atención educativa al menor de seis años
que presta la familia, la comunidad, las instituciones oficiales y privadas, incluido el
Instituto Colombiano de Bienestar Familiar, será especialmente apoyada por la
Nación y las entidades territoriales. El Ministerio de Educación nacional organizará
y reglamentará un servicio que proporcione elementos e instrumentos formativos
y cree condiciones de coordinación entre quienes intervienen en este proceso
educativo. Es claro que el enfoque que orienta el decreto 2247 del 94 es

17. educativo, aunque parte de la política de la primera infancia tenga un claro
enfoque asistencialista como se ve con la intervención del Instituto de Bienestar
Familiar.
Otro documento orientador de la política pública en materia de educación
preescolar son los lineamientos curriculares de curriculares de preescolar
publicados por el Ministerio de educación Nacional, en ellos se asume una
concepción de los niños y niñas como sujetos de de derechos, protagonistas de
los procesos pedagógicos y con una visión de formación integral en todas las
dimensiones del desarrollo del niño: ética, estética, corporal, cognitiva,
comunicativa, socio-afectiva y espiritual. Los niños y las niñas, como seres
humanos, se desarrollan integralmente. De esta manera se supera la formación
enciclopédica, fragmentada y aislada, propia del asignaturismo. Hay que
comprender el desarrollo humano como un proceso en donde todas las
dimensiones se interconectan, de tal manera que si se afecta una de ellas se
afectan las otras. Para superar la fragmentación y atender lo dinámico de los
procesos de aprendizaje de los niños, en los lineamientos se asume que el
proyecto lúdico-pedagógico es “una de las formas más acertadas para integrar las
áreas del conocimiento y responder a la forma globalizada e interdisciplinaria en
que por sí mismos los niños descubren y conocen el mundo”.
En los lineamientos se recalca la naturaleza formativa y educativa del nivel cuando
se dice “Educar a los niños y las niñas para la vida, para formar ciudadanos libres,
democráticos y especialmente para ser niños es la idea central que da sentido a la
educación preescolar”; el preescolar se diseña en función de la educación, de las
necesidades y posibilidades de las niñas y niños de esta edad; del desarrollo en
que se encuentren y, principalmente de la consideración de que ellos son el eje y
principales protagonistas de este proceso. La educación preescolar tiene una
función especial que la hace importante por sí misma y no como preparación para
la educación primaria. Además se impulsa la atención o educación personalizada
del niño partiendo del hecho de que pertenece a un grupo y como tal hay que
desarrollar el sentido de pertenencia a un colectivo, se busca un equilibrio entre el

18. individuo y el grupo. En los lineamientos no se prescriben contenidos específicos
de ningún área del conocimiento y en particular de matemáticas, en ellos se aboga
por el desarrollo integral del niño mediante los proyectos de aula lúdicos, el
desarrollo de contenidos quedan a opción del maestro o de la institución y deben
desarrollarse a la luz de los proyectos. Podemos decir que en el preescolar existe
autonomía para la selección y desarrollo de los contenidos curriculares.
La profesora o profesor de preescolar en el marco de la política educativa
colombiana
Para hablar de la formación de la profesora o profesor de preescolar se presenta
un análisis de las normas vigentes y en general de la política pública que regula el
sistema educativo colombiano, se inicia con la constitución del 91, en ella se dan
los lineamientos para hablar de la profesionalización del personal docente en
Colombia. En el Artículo se establece que “la enseñanza estará a cargo de
profesores de reconocida idoneidad ética y pedagógica. La ley garantizará la
profesionalización y dignificación de la actividad docente”. Por mandato de la
constitución la actividad docente se profesionaliza, particularmente la del docente
de preescolar.
En la ley General de Educación o ley 115 de 1994, se plantea que la formación de
los educadores será de la más alta calidad científica y ética, que la teoría y la
práctica son fundamentales en sus procesos de formación, que se deben
fortalecer los procesos investigativos en el campo pedagógico y disciplinar y que la
formación del educador se debe dar tanto a nivel de pregrado como de postgrado
para atender cualquier nivel del sistema educativo colombiano. En su artículo 112,
nos dice que “Corresponde a las universidades y a las demás instituciones de
educación superior que posean una facultad de educación u otra unidad
académica dedicada a la educación, la formación profesional, la de posgrado y la
actualización de los educadores”; los programas de educación deben ser
previamente acreditados. La Ley señala que las Escuelas Normales que hayan
sido acreditadas, “están autorizadas para formar educadores en el nivel de
preescolar y en el ciclo de educación básica primaria. Estas operarán como

19. unidades de apoyo académico para la formación inicial de docentes y, mediante
convenio celebrado con instituciones de educación superior, podrán ofrecer
formación complementaria que conduzca al otorgamiento del título de normalista
superior”. La educación preescolar está en manos de profesionales de la
educación o de normalistas superiores. Es de anotar que la misma ley le brinda a
otros profesionales la oportunidad de ejercer la docencia, esto se hace por
necesidad del servicio, según el artículo 118, pero con las convocatorias para
realizadas para incorporar personal docente a las instituciones oficiales, se abrió a
cualquier profesional con conocimientos afines al área de desempeño profesional,
esto hace que los licenciados compitan con los profesionales por la carrera
docente, a los profesionales se les exige que deben presentar la acreditación de
estudios pedagógicos ofrecidos por facultades de educación o por unidades
académicas dedicadas a la educación, los cursos deben ser previamente avalados
por las secretarias de educación de los entes territoriales. Lo anterior hace que el
pedagogo infantil se enfrente a los psicólogos y otros profesionales que a
consideración del Estado puedan atender los procesos educativos de los niños en
el nivel inicial.
Con el decreto 272 del 98 se establecieron los requisitos de creación y
funcionamiento de los programas académicos de pregrado y postgrado en
Educación ofrecidos por las universidades y por las instituciones universitarias,
además se establecieron las nomenclaturas de los títulos, en este decreto se
plantea que los “programas cuyo énfasis esté dirigido a la formación de
educadores para el preescolar fortalecerán su orientación hacia la pedagogía
infantil” y que el título otorgado corresponderá al de "Licenciado en Preescolar" o
"Licenciado en Pedagogía Infantil". El licenciado para este nivel tendrá una
formación especial y el mismo título reconoce esta formación. El decreto 272
introduce un elemento conceptual interesante al asumir que la pedagogía es la
disciplina fundante de la profesión docente y que los programas académicos en
Educación se organizarán teniendo en cuenta los núcleos del saber pedagógico
básicos y comunes que pueden ser complementados con los que adicionalmente
establezca cada institución. Los núcleos propuestos en el decreto son los de

20. educabilidad, enseñabilidad, la estructura histórica y epistemológica de la
pedagogía y las realidades y tendencias sociales y educativas, nacionales e
internacionales.
El decreto 272 es derogado por el decreto 2566 del 2003, éste establece las
condiciones mínimas de calidad y otros requisitos para el ofrecimiento y desarrollo
de programas académicos de educación superior y ratifica la profesionalización
del educador por medio de las universidades e instituciones universitarias. La
riqueza conceptual del decreto 272, en su esencia, es retomada por la resolución
1036 del 2005 en donde se definen las características específicas de calidad para
los programas de pregrado y especialización en Educación. La resolución plantea
que los los programas cuyo énfasis esté dirigido a la formación de educadores
para el preescolar otorgan el título de "Licenciado en Preescolar" o "Licenciado en
Pedagogía Infantil" o "Licenciado en Educación temprana", introduce la
denominación educación temprana como una opción de denominar a los
licenciados que atenderán el nivel de preescolar o la educación inicial de los
infantes, estas denominaciones se hacen atendiendo normas anteriores que
establecen que los títulos en educación se ofrecen de acuerdo a los niveles del
sistema educativo colombiano.
En la Guía de orientación de los Exámenes de Calidad de la Educación Superior
de la licenciatura en preescolar, pedagogía infantil o estimulación temprana (2009)
publicados por el MEN y el ICFES se plantean los componentes y competencias a
evaluar en la prueba, los componentes u objetos orientan sobre los contenidos y
competencias comunes que los licenciados para el nivel preescolar deben
dominar. Si bien es cierto que el documento no pretende ser un orientador de los
desarrollos curriculares de los programas, si los es que la evaluación se constituye
en un referente de calidad y como tal los programas intentan dar cuenta de ella, es
así como en los procesos de autoevaluación con fines de acreditación, el análisis
de los resultados de los ECAES es un elemento que repercute en las reformas
curriculares que los programas adelantan. Los ECAES influyen en los procesos
formativos que los programas desarrollan. En cuadro 1 se presentan las

21. competencias que el ICFES evalúa a los licenciados para el nivel preescolar, estas
competencias definen unos contenidos y unos desempeños que el licenciado debe
construir.
Cuadro 1. De competencias. Tomado de Guía de orientación de los exámenes de calidad de la
educación superior de la licenciatura en preescolar, pedagogía infantil o estimulación temprana.
MEN (2009).
En los ECAES se avalúan los componentes Concepciones y perspectivas de
infancia, Contexto e infancia y Formación y desarrollo del niño, estos componentes
orientan sobre los contenidos que se evalúan y como tal tienen sus implicaciones
en los contenidos que los programas de formación desarrollan con los futuros
educadores del preescolar, respecto a los componentes el ICFES plantea:
Concepciones y perspectivas de infancia: Las diferentes prácticas
sociales y los estilos de interacción que históricamente se han
dado entre adultos, niños y niñas están relacionadas con las
construcciones culturales y simbólicas propias de cada grupo
social y momento histórico. Un concepto fundamental que
desarrolla la Perspectiva de Derechos y que es de especial
relevancia en la práctica pedagógica es el de desarrollo integral
(…). Esta perspectiva, le exige al maestro el reconocimiento y el
respeto por ese otro -el niño y la niña- como sujeto plenos de
derechos.

22. Contexto e infancia: El maestro de preescolar (pedagogía infantil
o estimulación temprana) debe asumir una posición crítica y
propositiva frente al conjunto articulado de condiciones sociales,
culturales, políticas, económicas entre otras, que particularizan la
condición de cada niño o niña y afectan sus procesos de
desarrollo y aprendizaje. Dentro de estas condiciones de contexto,
un elemento fundamental es el proceso de socialización que
desarrolla el niño durante su ciclo vital en diferentes escenarios.
En este sentido, es necesario que el maestro comprenda que
dentro de las propuestas educativas y pedagógicas que se
desarrollan con niños, el componente afectivo es fundamental en
el intento de hacer de cualquier experiencia una situación con
sentido y significado.
Formación y desarrollo del niño: Se refiere concretamente al niño,
su naturaleza y su construcción como sujeto social y su papel
interactivo en los procesos de construcción de conocimiento. (…),
la importancia de lo afectivo en la construcción de conocimiento,
el papel intencionado y estructurado que el maestro juega frente a
estos procesos de construcción de conocimiento del niño, la
necesidad de crear condiciones y ambientes que favorezcan el
aprendizaje significativo y la influencia que tienen los diferentes
contextos, formatos o escenarios de socialización (familia,
escuela, barrio, entro otros) en la construcción de la realidad del
niño. El juego como actividad fundamental e integradora del niño
que le permite desarrollar sus potencialidades, relacionarse
consigo mismo con los otros y con el mundo y que posibilita
transformar y simbolizar la realidad. (Pág. 18 – 19).
Como vemos los ECAES, se pueden asumir como lineamientos que orientan los
procesos curriculares en los programas en el plano de los conocimientos y de las
competencias, siendo así el pedagogo infantil se configura desde unas
competencias y unos contenidos que atienden a la infancia desde una perspectiva
de derecho y como un ser integral.
El concepto de número
El número natural es un objeto de estudio para matemáticos y filósofos de las
matemáticas, es una herramienta de uso en la cotidianidad y un objeto de
enseñanza de las matemáticas escolares, al respecto Vergnaud (2004) señala
que “la noción de número es la más importante de la matemática enseñada en la
escuela primaria”(P, 101), nosotros diríamos que en el preescolar también. Lo

23. anterior hace que el maestro que enseña los números deba tener claridad sobre
los aspectos formales, su uso pragmático y la naturaleza filosófica del mismo
(Godino y otros, 2009), esta claridad se debe dar con independencia del nivel de
enseñanza que enfrente, desde el preescolar hasta los niveles más avanzados de
la educación básica, media y universitaria. Godino y otros (Ibíd.) distingue entre
los usos pragmáticos y los formales, los últimos los ubica en los “fundamentos de
las matemáticas como cuerpo organizado de conocimiento”. Según ellos, en la
historia, se diferencian los contextos de uso, las
“cuestiones se abordan con diversos recursos y desde distintas
aproximaciones, poniéndose en juego prácticas operativas y
discursivas propias. Vistos de manera retrospectiva podemos
identificar ciertas invariancias que permiten hablar del “número
natural”, en singular, pero desde un punto de vista local parece
necesario distinguir entre los diversos números naturales que
“manejaron” los pueblos primitivos y culturas antiguas (egipcios,
romanos, chinos,…), como también entre las prácticas numéricas
que se realizan actualmente en la escuela infantil o primaria, y las
que realizan los matemáticos logicistas del siglo XIX o las
formulaciones axiomáticas hilbertianas” (Pág. 34).
Es decir los significados de los números, además de históricos, adquieren
significados en comunidades de prácticas, asume el enfoque ontosemiótico para
mirar el significado de los objetos matemáticos, en este enfoque se “concibe el
significado de los conceptos matemáticos (número, función,…), desde una
perspectiva pragmático-antropológica. (…) el significado de un objeto matemático
es el sistema de prácticas operativas y discursivas que una persona (una
institución, comunidad de prácticas,…) realiza para resolver una cierta clase de
situaciones-problema en las que dicho objeto interviene” (Ibíd, 37) distinguen dos
significados diferentes del número, los informales y los formales.
El número según Piaget
Piaget es uno de los autores que intentó comprender los procesos lógicos y
psicológicos que desarrollan los sujetos en la construcción del número desde la
epistemología genética. Para una mayor claridad en sus presupuestos sobre el
número en el niño, es necesario presentar sus aportes epistemológicos sobre la

24. naturaleza del conocimiento, para ellos Piaget habla de tres tipos de
conocimientos que se diferencian entre sí pero que se integran en la comprensión
y construcción de la realidad. Piaget habla del conocimiento físico, el social y el
lógico-matemático. El primero “es el conocimiento de objetos de la realidad
exterior (…) son propiedades físicas que están en los objetos de la realidad
exterior y que pueden conocerse mediante la observación” (Kamii, 2000, 21). Por
ejemplo ciertas características como el peso, el color, la longitud y otras se pueden
conocer mediante la observación y pertenecen en sí a los objetos. Kamii (2000)
nos dice que Piaget utilizó el término abstracción empírica para referirse a la
abstracción de las propiedades o características de los objetos, “todo lo que el
niño hace es centrarse en una propiedad determinada del objeto e ignorar las
otras” (Ibíd. 22). Para abstraer el color, nos dice ella, se ignoran las propiedades
restantes como el peso, el material y las otras, la observación y el pensamiento se
centran. El número puede ser tratado y enseñado como conocimiento físico, esto
sucede cuando se presenta como una propiedad de los conjuntos, cuando se le
pide al niño que encuentre la propiedad numérica de un conjunto o que al frente
de una representación de una colección de objetos se diga el número de la
colección.
El conocimiento social es el convencional (Kamii, 2003), “… las fuentes últimas del
conocimiento social son las convenciones elaboradas por la gente. La
característica principal del conocimiento social es su naturaleza eminentemente
arbitraria” (Op. Cit. 25). En la escuela mirar el número como un conocimiento
social es pensar en la posibilidad de “enseñarse por transmisión social (…)
especialmente enseñando a los niños a contar” (Ibid. 25). Cuando se enseñan los
nombres y los símbolos escritos como si fueran los números estamos tratando al
número como conocimiento social porque los nombres y los símbolos utilizados
para representar los números son creaciones culturales e históricas, las culturas
tienen formas diferentes para nombrar y representar a los números.
El número no es un tipo de conocimiento físico y mucho menos social, para
Piaget, es un tipo de conocimiento lógico- matemático, este conocimiento se

25. “compone de relaciones construidas por cada individuo. (…) el número es una
relación creada mentalmente por el individuo” (Ibíd., 21). Las relaciones son
construcciones mentales, en tal sentido son internas al sujeto, “no tienen
existencia en la realidad exterior” (Ibíd., 21). Kamii (2000) nos da una serie de
características de este conocimiento entre las que tenemos, que la fuente de este
conocimiento es el mismo individuo, no es arbitrario y es universal. Kamii nos
dice que podemos observar dos objetos y decir las características de ellos, pero la
diferencia entre los dos no se puede ver directamente, no existe en los objetos, la
diferencia o igualdad son relaciones y como tal el sujeto las construye mediante la
abstracción, que Piaget llama abstracción reflexionante o reflexiva. Para Kamii “La
abstracción reflexiva implica la construcción de relaciones entre objetos. Las
relaciones como hemos señalado no tienen existencia en la realidad exterior (…)
Esta relación sólo existe en las mentes de aquellos que pueden crearla entre los
objetos (…) esta abstracción se trata de una verdadera construcción de la mente
más que una centración en algo que ya existe en los objeto” (2003, 17), ella
propone que se llame abstracción constructiva.
Por efectos del análisis se han presentado los tres tipos de conocimiento por
separado, pero en la realidad mental de los sujetos éstos se complementan y el
uno no se da sin los otros, por ejemplo, para señalar que un objeto es verde
(conocimiento social y físico), el sujeto ha debido diferenciar el verde de los demás
colores (conocimiento lógico). Para el caso del número, tiene expresiones o
representaciones de conocimiento social (nombres, símbolos…) y usos que dan a
entenderlo como un conocimiento físico (cantidad de elementos de una colección),
pero la naturaleza del número es lógica desde el planteamiento piagetiano. Pero,
qué es el número según Piaget.
El número de Piaget supera el conteo, es más se puede contar y no haber
construido el número. Para Labinowicz (1987) las ideas lógicas que cuentan en la
construcción del número son: la equivalencia a través de una correspondencia uno
a uno; la conservación del número, una equivalencia que perdura; la seriación; la
inclusión de clase. Según Labinowicz, el concepto de número en Piaget “incluye

26. la fusión de ideas afines tales como orden serial y la inclusión de clases en un
marco de trabajo integrado (…) implica además las nociones de adición y
multiplicación como consecuencias de la inclusión de clases y la correspondencia
uno a uno. (…) Toda operación se relaciona con un sistema de operaciones y de
ideas lógicas. Esta síntesis es la que Piaget identifica como el concepto de
número” (Pàg.,110).
Para Kamii (2003), el número de Piaget es una “síntesis de dos tipos de relaciones
que el niño establece entre los objetos (por abstracción reflexiva). Una es el orden
y la otra es la inclusión jerárquica” (Pág, 18). Es decir el número se presenta como
la integración de relaciones que pueden ser estudiadas, se dan por separado en
la mente de los sujetos, el número al ser una abstracción se desarrolla en la mente
de los niños, no se encuentra en la realidad circundante.
El análisis de los planteamientos sobre el número de Piaget, muestra que se
trabajan varios procesos lógicos soportados en el desarrollo psicológico del
individuo. Según Kamii y Labinowicz la conservación de cantidades es una de las
ideas lógicas que cuenta a la hora de construir el número, la conservación “es la
capacidad de deducir (mediante la razón) que la cantidad de objetos de una
colección permanece igual cuando la apariencia empírica de los objetos es
modificada” (Kamii, 2000, 18). El número es número en la medida que se
conserva, podemos decir que cinco sólo puede ser igual a cinco o que
empíricamente, si tenemos cinco objetos, no importa la disposición espacial de su
ubicación, la cantidad siempre es la misma.
Ideas lógicas en la construcción del número
Labinowicz (Ibíd), estructura los planteamientos de Piaget sobre el número en
cinco principios o ideas lógicas que cuentan. Para ello describe experiencias que
se le colocan a los niños para mirar el estado de su desarrollo en relación con la
lógica que demanda el número.

27. 1. La equivalencia a través de una correspondencia uno a uno.
Se le coloca al niño una hilera de objetos en la mesa, pueden ser ocho dulces, se
le entregan al niño más de los ocho objetos, pueden ser 10, para que coloque
tantos como haya en la mesa. Labinowicz nos dice que los niños menores de seis
(6) años tienen problemas para realizar la actividad, pueden colocar menos o más,
el criterio que siguen es que la longitud de la distribución, los extremos, coincidan,
si el espacio ocupado es el mismo, entonces hay la misma cantidad. Labinowicz,
plantea que “la correspondencia uno a uno no depende de una noción de número”
(pág. 100), es un proceso prenumérico, pero es sirve de base para la comprensión
del número.
2. Conservación del número, una equivalencia que perdura.
Se le pide al niño que haga un conjunto
equivalente a un conjunto dado.
¿Hay una ficha blanca por cada ficha negra?
Ahora fíjate en lo que hago (se extiende una de
las hileras) ¿Hay exactamente tantas fichas
blancas como negras? ¿Cómo lo sabes?
Niño: Sí, hay una para ti, una para mí, 1, 2, 3,
…8, hay ocho.
Niño: Tienes más porque la hilera es más larga.
Fig. 2 Experiencia para mirar la conservación del número, una equivalencia que perdura.
Piaget decía que la habilidad de contar no significaba que el niño hubiese
construido el número. Labinowicz, plantea que “la habilidad para contar objetos en
los niños que no tienen nociones de conservación, no garantiza que la
equivalencia de dos números sea duradera” (Pág. 101) La conservación pone en
¿Puedes poner en la mesa
tanas estrella como dulces
hay? ¿Cómo sabes que hay
lo mismo?
Cinco años de edad Seis años de edad
Fig. 1 Experiencia para mirar el proceso de la correspondencia uno a uno.

28. contacto lógico la necesidad matemática de que un número sea igual a sí mismo y
que no sea ni mayor ni menor a él. Antes de conservar los niños asumen que la
longitud de las hileras indica el número, Labinowicz dice que alrededor de los
siete años tres de cada cuatro niños serán capaces de conservar y de justificar
sus respuestas. Es de anotar que la conservación se puede hacer sobre objetos
de naturaleza continua (agua, barro…) y discreta (arroz, carritos,…).
3. Ordenando una serie (Seriación).
Comprender el número implica haber construido la lógica que nos permite ubicarlo
en una posición, por decir un ejemplo, saber que el siete es siete porque es mayor
que seis y al mismo tiempo menor que ocho, y así para cualquiera de ellos.
1<2<3<4<5<6<7<8….. De manera general n-1<n<n+1<(n+1)+1….. “Cada parte de
la serie, al contarse, es uno más que el anterior y al mismo tiempo es uno menos
que el que le sigue” (Ibíd., 102).
La experiencia que Piaget realizó con los niños fue la de ordenar series de objetos
atendiendo el tamaño, relacionando unos objetos con otros. Labinowicz describe
la experiencia de ordenar dos series de objetos, una de muñecas y otra de
paraguas, se deben hacer corresponder de acuerdo al tamaño.

29. 4. s
5. ee
6.
El conteo
Verngnaud (2004) hace un análisis del número atendiendo que ésta se “apoya en
otras nociones, como la de función, correspondencia biunívoca, relación de
equivalencia y relación de orden” (Pág., 101), además nos dice que la suma es lo
que le da el carácter específico al número sobre las nociones de las cuales se
apoya. Para él, el número en el niño “es disociable de la noción de medida” de allí
que hace una diferencia entre la secuencia numérica recitada y el conteo. Recitar
los nombres de los números no significa que el niño sabe contar, la actividad de
contar “implica no solamente que el niño recite la serie numérica, sino que al
mismo tiempo haga corresponder la recitación con la
Los estadios del desarrollo del número según Schaeffer.

30. Según Dickson (1991) son diversos los investigadores que han intentado describir
el desarrollo del concepto número identificando estadios o etapas por las que debe
pasar un individúo, una de las propuestas la desarrollaron Schaeffer, Eggleston y
Scott (1974), ellos propusieron cuatros estadios, a continuación se presenta una
descripción de los estadios utilizando el análisis que hace Dickson de los mismos.
Estadio uno de Schaeffer. Logros previos al recuento
Según Dickson, lo que define a este estadio es “no poder contar correctamente
colecciones de cinco o más objetos” (Pág. 183), según el estudio de Schaeffer la
edad promedio estaba en los tres años y ocho meses y los niños estaban en
edades comprendidas entre los dos años exactos y los cinco exactos, como se
puede observar pertenecer al estadio uno no necesariamente responde a criterios
cronológicos o de desarrollo. Según el análisis de Dickson los niños ubicados en
este estadio eran capaces de “discriminar entre números pequeños basándose en
la configuración perceptual” (pág.,183). La discriminación, según la experiencia
desarrollada por Schaeffer, se podía establecer por una pauta visual o auditiva, es
probable que fuera por recuento. Los niños podían “distinguir entre colecciones
mayores y menores en caso en los que al menos una de ellas constaba de menos
de cinco elementos, tanto visual como verbalmente” (Ibíd., 186) y “distinguir entre
colecciones mayores y menores de tamaño arbitrario con tal de que los objetos
aparecieran alineados para mostrar la existencia o inexistencia de
correspondencia biunívoca” (Ibíd. 186). Las tres características mostradas
identifican al niño en el estadio uno. Como vemos es un estadio en donde el
número está relacionado con lo perceptual, de allí que la configuración como se
muestren los elementos de una colección interesa a la hora de determinar la
cantidad, es decir se reconoce la cantidad por subitación (…). En el proceso de
subitación se pone en acción con cantidades pequeñas o configuraciones
reconocidas, por ejemplo una configuración en un cuadro 3x3 para representar
nueve objetos. Según Dickson en este estadio “los niños han captado el aspectos
ordinal del número, esto es, la forma de utilizar un número para determinar el
tamaño de una colección de objetos, al menos en el caso de colecciones muy

31. pequeñas, pero todavía no disponen del aspecto ordinal implícito en la asignación
de una secuencia de de nombres de números a una serie de objetos” (Ibíd., 186).
De allí la imposibilidad de seguir el conteo en orden de números mayores de cinco
y mucho menos de establecer las cantidades.
Estadio dos de Schaeffel.
Los niños que se ubican en este estadio comprenden elementos y criterios del
conteo pero tienen dificultades para aplicarlos, identifican el principio del orden
estable y el de correspondencia biunívoca, pero presentan dificultades al realizar
ciertos conteos, atendiendo el tamaño de la colección, Dickson nos dice que entre
las posibles causas se encuentran errores por no separar bien los elementos
contados de los no contados, errores al asignar los nombres de los números a los
objetos contados y errores de coordinación entre los objetos contados y la
secuencia de las etiquetas de los número (señalar un objeto mientras se
pronuncian dos nombres); además algunas investigaciones muestran que los
niños al no dominar la secuencia numérica pierden cierto control sobre el conteo al
enfocar la concentración sobre el recuerdo de los nombres de los números y la
secuencia de los mismos.
De manera general Dickson nos dice que los niños en este estadio no han
“establecido la conexión entre el proceso de recuento y su resultado, que es el
número final que representa el tamaño total de la colección, ni han captado la idea
de que de que este número es invariante” (Ibíd. 191), es decir el total no depende
de la configuración y mucho menos de donde se inicie el conteo. Los niños en este
estadio han captado el aspecto ordinal del número y lo cardinal de cantidades
pequeñas, pero no lo relacionan o integran en un todo que genera al número en sí.
Estadio tres de Schaeffel (Cardinalidad)
Para Dickson, lo que identifica a este estadio es que el niño “sepa aplicar la regla
de la cardinalidad, es decir que sepa aplicar el proceso de recuento para llegar al
tamaños de una colección, y considerar el propio tamaño del conjunto como una
propiedad estable de la colección” (Ibíd., 191), estos niños al contar otorgan a la

32. última expresión numérica enunciada, el significado del valor o tamaño de la
colección contada, es decir la expresión es una más de las enunciadas y contiene
a las ya enunciadas. Dickson en el análisis que hace de los aportes de Schaeffer,
nos dice que los niños determinan el tamaño de la colección pero no establecen
relaciones entre los tamaños de las colecciones, para un niño en este estadio,
doce no es necesariamente mayor que once, o seis necesariamente no es igual a
seis. En el estudio de Schaeffer, los niños en este estadio estaban entre los tres
años y tres meses y los cinco años y tres meses con una edad promedio de cuatro
años y dos meses, según Dickson (ibíd.). En este estadio los niños contaban hasta
el diez con cierta exactitud, y “habían comenzado a conectar la faceta ordinal de
los números (…) con la faceta cardinal, consistente por representar por un número
el tamaño de una colección. (Ibíd.,193). Si bien es cierto que los niños daban el
tamaño de una colección al realizar el conteo, no eran capaces de contar una
colección cuando se le daba la expresión numérica, “no sabían valerse del
proceso inverso de comparar las colecciones según el orden de sus números
cardinales en la secuencia del recuento” en palabras de Dickson (Ibíd., 193).
El estadio cuatro de Schaeffer
Un niño se encuentra en este estadio “porque reconoce el mayor de dos números
iguales o menores a 10” (Ibíd., 193). En el estudio de Scheaffer los niños en este
estadio tenían edades entre los cinco años exactos y los cinco años y once
meses. Estos niños tienen ideas claras sobre proceso de contar y diferencian el
tamaño relativo de dos colecciones con diez o menos elementos, los niños tenían
una “comprensión adecuada y operativa de los diez primeros números naturales,
en su modalidad oral cuando menos” (Ibíd.,193).
DISEÑO METODOLÓGICO
Momento I. De caracterización
Se trabaja con los objetivos que tienen que ver con la caracterización de los
conocimientos y las prácticas de enseñanza del número.

33. En el primer momento se hace uso de la etnografía como el diseño que nos
permite acercarnos a la realidad educativa para describirla e interpretarla, en este
momento se hace uso, para recoger la información, de la observación, la
entrevista, el diario de campo, documentos tales como libros, cuadernos,
parceladores o programadores, “actividades de los niños”.
Momento II. De intervención.
Se trabaja con los objetivos que tienen que ver con el diseño, ejecución y
evaluación de una propuesta de formación docente para la enseñanza del número.
En el segundo momento se trabaja con la Investigación Acción Educativa (IAE),
como variante de la Investigación Acción Participativa (IAP). Es el diseño que nos
permite intervenir para cambiar una realidad educativa involucrando a los autores
del proceso.
Los instrumentos serán: la observación, el diario de campo, talleres.
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