Contrastar con estadística

Contrastar con
Estadística
DEFINICIONES BÁSICAS
- TIPOS DE CONTRASTE
- SIGNIFICACIÓN y p-valor
- ERROR TIPO I y TIPO II
DEFICIÓN FORMAL DE CONTRASTE DE HIPÓTESIS
FÓRMULAS DE LOS CONTRASTES HABITUALES
Xavier Barber
Estadística en investigación
experimental y clínica

Fuente:Bioestadística U.Málaga.
Contrastando una hipótesis
No se si los fumadores
pesarán como el resto…
unos 70Kg (hipótesis
nula)...
Son demasiados...
kg85=X
¡Gran
diferencia!
Rechazo la
hipótesis
Muestra
aleatoria de
fumadores

CONTRASTES DE HIPÓTESISFuente:Bioestadística U.Málaga. 4
Identificación de hipótesis
Hipótesis nula Ho
◦ La que contrastamos
◦ Los datos pueden refutarla
◦ No debería ser rechazada sin una buena razón.
Hip. Alternativa H1
◦ Niega a H0 (y creemos que es ‘mejor’).
◦ Los datos pueden mostrar evidencia a favor
◦ No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.
⎩
⎨
⎧
:H
:H
1
0
%50=p
%50≠p
≥≤= ,,
><≠ ,,

CONTRASTES DE HIPÓTESIS
Región crítica y nivel de significación
Región crítica
Valores ‘improbables’ si...
Es conocida antes de realizar el experimento: resultados experimentales que refutarían H0
Fuente:Bioestadística U.Málaga. 5
Nivel de significación: α
Número pequeño: 1% , 5%
Fijado de antemano por el investigador
Es la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta
No rechazo H0
Reg. Crit.Reg. Crit.
α=5%
Η0:µ=70

Contrastes: unilateral y bilateral
La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa
Unilateral Unilateral
Bilateral
H1: µ<70 H1: µ>70
H1: µ=70

Significación= p-value, p-valor, P, etc…
H0: µ=70
α

72=X
No se rechaza
H0: µ=70
H0: µ=70
α

72=X
No se rechaza
H0: µ=70
Es la probabilidad que tendría una región crítica que comenzase exactamente en el valor del
estadístico obtenido de la muestra.
Es la probabilidad de tener una muestra que discrepe aún más que la nuestra de H0.
Es la probabilidad de que por puro azar obtengamos una muestra “más extraña” que la obtenida.
p es conocido después de realizar el experimento aleatorio
El contraste es no significativo cuando p>α
P
P
α
α

α
85=X
Se rechaza H0: µ=70
Se acepta H1: µ>70

Pα
Pα
85=X
Se rechaza H0: µ=40
Se acepta H1: µ>40
El contraste es estadísticamente significativo cuando p<α
Es decir, si el resultado experimental discrepa más de “lo tolerado” a priori.

Resumen: α, p y criterio de rechazo
Sobre α
◦ Es número pequeño, preelegido al diseñar el experimento
◦ Conocido α sabemos todo sobre la región crítica
12
Sobre p-valor
◦ Es conocido tras realizar el
experimento
◦ Conocido p sabemos todo sobre el
resultado del experimento
• Sobre el criterio de rechazo
– Contraste significativo = p menor que α

Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la presunta comisión de un delito
H0: Hipótesis nula
◦ Es inocente
H1: Hipótesis alternativa
◦ Es culpable
Los datos pueden refutarla
La que se acepta si las pruebas no
indican lo contrario
Rechazarla por error tiene graves
consecuencias
Riesgos al tomar decisiones
No debería ser aceptada sin una gran
evidencia a favor.
Rechazarla por error tiene
consecuencias consideradas menos
graves que la anterior

Tipos de error al tomar una decisión
Realidad
Inocente
H0 cierta
Culpable
H0 Falsa
veredicto Inocente
No Rechazo H0
OK Error
Menos grave
Error de tipo II
Probabilidad β
Culpable
Rechazo H0
Acepto H1
Error
Muy grave
Error de tipo I
Probabilidad α
OK
14

15
Conclusiones
Las hipótesis no se plantean después de observar los datos.
En ciencia, las hipótesis nula y alternativa no tienen el mismo papel:
◦ H0 : Hipótesis científicamente más simple.
◦ H1 : El peso de la prueba recae en ella.
α debe ser pequeño
Rechazar una hipótesis consiste en observar si p<α
Rechazar una hipótesis no prueba que sea falsa. Podemos cometer error de tipo I
No rechazar una hipótesis no prueba que sea cierta. Podemos cometer error de tipo II
Si decidimos rechazar una hipótesis debemos mostrar la probabilidad de equivocarnos.

¿Qué hemos visto?
Hipótesis
◦ Nula
◦ Alternativa
Nivel de significación
◦ α
◦ Probabilidad de error de tipo I
Significación, p.
◦ Criterio de aceptación/rechazo.
Tipos de error
◦ Tipo I
◦ Tipo II

Contrastes de Hipótesis II
¿SERÁ CIERTO ESTO O LO OTRO?
UNA VERSIÓN MÁS MATEMÁTICA… Fuente:
Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga: 
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones 
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga. 
ISBN: 847496-653-1
http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node112.htm
A partir de aquí se presentan las fórma
Convencional de los Contrastes para aquellos
con inquietudes “matemáticas”.

TEMA 7: CONTRASTES DE HIPÓTESISFuente:Bioestadística U.Málaga. 18

Contrastes de Hipótesis mediante Intervalos de confianza

CONTRASTE DE HIPÓTESIS BILATERAL PARA LA MEDIA
Si se cumple una de las siguientes hipótesis:
◦ El tamaño de la muestra es mayor de 30 y la variable sigue un modelo normal.
◦ El tamaño de la muestra es mayor de 100.
Estudiaremos el siguiente contrate de hipótesis bilateral:

CONTRASTEDEHIPÓTESISBILATERALPARALAMEDIA
Como hemos mencionado anteriormente, la técnica para hacer el contraste consiste en
suponer que H0 es cierta, y averiguar con esta hipótesis quien es la distribución del
estadístico del contraste que este caso es lógico que deba estar muy relacionado con .
Si al obtener una muestra concreta se tiene que es un valor muy alejado de ,
se debe rechazar H0. Veamos esto con más detalle:
Para poder acceder a las probabilidades de la normal, hemos tipificado (ya que los
valores para hacer la tipificación son conocidos). Si H0 es cierta, entonces esperamos
que el valor zexpobtenido sobre la muestra

esté cercano a cero con una gran probabilidad. Esto se expresa fijando un nivel de
significación , y tomando como región crítica , a los valores que son muy
extremados y con probabilidad en total, o sea,
Entonces la región crítica consiste en
Luego rechazaremos la hipótesis nula si

Figura: La región de rechazo de la hipótesis nula es la sombreada. Se rechaza H0
cuando el estadístico zexp toma un valor comprendido en la zona sombreada de la
gráfica pequeña, , o equivalentemente, cuando el estadístico toma un
valor en la zona sombreada de la gráfica grande, .

Tests de una cola con varianza conocida 
Consideremos un contraste de hipótesis donde ahora la hipótesis alternativa es
compuesta:
Bajo la hipótesis nula la distribución de la media muestral es
y como región crítica consideraremos aquella formada por los valores extremadamente
bajos de Zexp, con probabilidad , es decir
Entonces la región de aceptación, o de modo más correcto, de no rechazo de la
hipótesis nula es:

Tests de una cola con varianza conocida 
Se rechaza la hipótesis nula, cuando uno de los estadísticos Z o toma un valor en
la zona sombreada de sus gráficas respectivas.

Tests de una cola con varianza conocida
Es evidente que si en el contraste de significación anterior, hubiésemos tomado como
hipótesis alternativa su contraria, es decir
por simetría con respecto al caso anterior, la región donde no se rechaza la hipótesis
nula es:
Regiones de aceptación y rechazo para el test unilateral contrario.

Test de dos colas con varianza desconocida 
Sea donde ni ni son conocidos y queremos realizar el contraste
Al no conocer va a ser necesario estimarlo a partir de su estimador insesgado: la cuasivarianza muestral, ,
Consideramos como región crítica , a las observaciones de Texp extremas

OBSERVACIÓN
Para dar una forma homogénea a todos los contrastes de hipótesis es costumbre denominar al valor del
estadístico del contraste calculado sobre la muestra como valor experimental y a los extremos de la región
crítica, como valores teóricos. Definiendo entonces
Región crítica para el contraste bilateral de una media.

Tests de una cola con varianza desconocido
y el criterio para contrastar al nivel de significación es
Para el contraste contrario,

Ejemplo
Conocemos que las alturas X de los individuos de una ciudad, se distribuyen de modo gaussiano.
Deseamos contrastar con un nivel de significación de si la altura media es diferente de 174 cm.
Para ello nos basamos en un estudio en el que con una muestra de n=25 personas se obtuvo:
Solución:
El contraste que se plantea es:
La técnica a utilizar consiste en suponer que H0 es cierta y ver si el valor que toma el estadístico
es “razonable" o no bajo esta hipótesis, para el nivel de significación dado. Aceptaremos la hipótesis
alternativa (y en consecuencia se rechazará la hipótesis nula) si no lo es, es decir, si
Para ello procedemos al cálculo de Texp:
Luego, aunque podamos pensar que ciertamente el verdadero valor de no es 174, no hay una evidencia
suficiente para rechazar esta hipótesis al nivel de confianza del. Es decir, no se rechaza H0.

31
Ejemplo
Consideramos el mismo ejemplo de antes. Visto que no hemos podido rechazar el que la altura
media de la población sea igual a 174 cm, deseamos realizar el contraste sobre si la altura media es
menor de 174 cm.
Solución:
Ahora el contraste es
Para realizar este contraste, consideramos el caso límite y observamos si la hipótesis nula debe ser
rechazada o no. Este es:
De nuevo la técnica a utilizar consiste en suponer que H0' es cierta y ver si el valor que toma el
estadístico
es aceptable bajo esta hipótesis, con un nivel de confianza del . Se aceptará la hipótesis
alternativa (y en consecuencia se rechazará la hipótesis nula) si
Recordamos que el valor de Texp obtenido fue de Texp=-1'959< t24,0'05= -t24,0'95 = -1'71

Es importante observar este hecho curioso: Mientras que en el ejemplo anterior no existía una
evidencia significativa para decir que cm, el “simple hecho" de plantearnos un
contraste que parece el mismo pero en versión unilateral nos conduce a rechazar de modo
significativo que y aceptamos que cm. Es por ello que podemos decir que no
sólo H0' es rechazada, sino también H0. Es en este sentido en el que los tests con H0 y H0' los
consideramos equivalentes:

Contrastes de una proporción
Supongamos que poseemos una sucesión de observaciones independientes, de modo que cada
una de elas se comporta como una distribución de Bernoulli de parámetro p:
La v.a. X, definida como el número de éxitos obtenidos en una muestra de tamaño n es por
definición una v.a. de distribución binomial:
La proporción muestral (estimador del verdadero parámetro p a partir de la muestra) es
Nos interesamos en el contraste de significación de
frente a otras hipótesis alternativas. Para ello nos basamos en un estadístico (de contraste) que
ya fue considerado anteriormente en la construcción de intervalos de confianza para
proporciones y que sigue una distribución aproximadamente normal para tamaños muestrales
suficientemente grandes:
Si la hipótesis H0 es cierta se tiene

Contraste bilateral de una proporción
extraemos una muestra y observamos el valor
Entonces se define
siendo el criterio de aceptación o rechazo de la hipótesis nula el que refleja la figura

Contrastes unilaterales de una proporción

36
ContrastedemediasconVARIANZASCONOCIDAS 
De manera similar al caso del contraste para una media, queremos en esta ocasión
contrastar la hipótesis de que las dos poblaciones (cuyas varianzas suponemos
conocidas) sólo difieren en una cantidad
frente a hipótesis alternativas que darán lugar a contrastes unilaterales o bilaterales
como veremos más tarde. Para ello nos basamos en la distribución del siguiente
estadístico de contraste:

ContrastedemediasconVARIANZASCONOCIDAS 
Contraste bilateral
Consideremos en primer lugar el contraste de dos colas
y el test consiste en

ContrastedemediasconVARIANZASCONOCIDAS
Contrastes unilaterales
el contraste consiste en
y para el contraste de significación contrario
se tiene

ContrastedemediasconVARIANZASDESCONOCIDASPEROIGUALES
cuando sólo conocemos que las varianzas de ambas poblaciones son iguales, pero
desconocidas.

Contraste bilateral
y rechazar o admitir la hipótesis nula siguiendo el criterio

y cuando el contraste de significación es el contrario
del mismo modo

ContrastedemediasconvarianzasNOSONCONOCIDASYSIGNIFICATIVAMENTEDIFERENTES
Consideramos el contraste en el caso más problemático, es decir cuando sólo conocemos de
las dos poblaciones que su distribución es normal, y que sus varianzas no son conocidas y significativamente
diferentes. En este caso el estadístico de contraste tendrá una ley de distribución muy particular. Consistirá en
una distribución de Student, con un número de grados de libertad que en lugar de depender de modo
determinista de la muestra (a través de su tamaño), depende de un modo aleatorio mediante las varianzas
muestrales. Concretamente, el estadístico que nos interesa es
donde f es el número de grados de libertad que se calcula mediante la fórmula de Welch
No desarrollamos en detalle los cálculos a realizar, pues la técnica para efectuar los contrastes son análogos a
los vistos anteriormente cuando las varianzas son desconocidas e iguales.

TEMA 7: CONTRASTES DE HIPÓTESIS 43
Contraste de medias
Observación
Si lo que pretendemos contrastar es si las medias
poblacionales de dos muestras independientes obtenidas
de poblaciones normales son idénticas, esto se reduce a
los casos anteriores tomando , es decir, realizando
el contraste:

44
Contrastessobreladiferenciadeproporciones 
Supongamos que tenemos dos muestras independientes tomadas sobre dos poblaciones, en la que estudiamos una
variable de tipo dicotómico (Bernoulli):
Si X1 y X2 contabilizan en cada caso el número de éxitos en cada muestra se tiene que cada una de ellas se distribuye
como una variable aleatoria binomial:
de modo que los estimadores de las proporciones en cada población tienen distribuciones que de un modo
aproximado son normales (cuando n1 y n2 son bastante grandes)
El contraste que nos interesa realizar es el de si la diferencia entre las proporciones en cada población es una
cantidad conocida à
Si H0 fuese cierta se tendría que
Desafortunadamente ni p1 ni p2 son conocidos de antemano y utilizamos sus estimadores, lo que da lugar a un error
que es pequeño cuando los tamaños muestrales son importantes:

XAVI BARBER & LOLA OLTRA ©2007 45
Contrastessobreladiferenciadeproporciones Contraste bilateral
y se rechaza la hipótesis nula si o si
se rechazará H0 si .
Para el test contrario
se rechaza H0 si .

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