Este documento describe los procedimientos para realizar un control vertical topográfico mediante nivelaciones. Esto incluye establecer una red de puntos de nivelación (BM) partiendo de uno oficial, realizar nivelaciones diferenciales de precisión entre puntos consecutivos, y compensar los errores de cierre mediante mínimos cuadrados para obtener las diferencias de nivel compensadas. Se especifican los equipos, procedimientos y cálculos requeridos como determinar las ecuaciones condicionales, correlativas y normales para hallar las correcciones a

1. CONTROL VERTICAL TOPOGRÁFICO
Para un proyecto de ingeniería está
constituido por un conjunto de BMs
formando circuitos o redes de nivelación,
partiendo de un BM oficial.
Entre cada par consecutivo de BMs se
efectúa una nivelación diferencial de
precisión.
El error de cierre tolerable será:
E= ±0.008√K.

2. ESPECIFICACIONES TECNICAS
Equipo a utilizar:
a) Nivel de precisión: ±0.2mm/km (1er orden),
±0.5mm/km (2do orden) de recorrido ida y vuelta.
b) Mira Invar: de doble escala, de 3m de longitud.
• Utilizar el nivel de mira para poner la mira vertical.
• Determinar el factor K(una vez) y el error C del nivel
(diario) y corregir la lectura lejana por C&R.
• Longitud de visuales será hasta 90m. Las vistas atrás y
vistas adelante aproximadamente igualadas (±10%),
tomadas taquimétricamente.
• En cada visual a la mira se toman 3 lecturas:
Una con el hilo horizontal principal del retículo y las otras
2 con cada uno de los hilos estadimétricos; tomándose
como lectura más probable la media aritmética de las
tres (diferencia intervalos ±2u).
• La diferencia entre las lecturas del hilo superior e inferior
determina la distancia del instrumento a la mira,
multiplicado por K.

3. • Los puntos de cambio serán sobre objetos
físicos muy rígidos y preferiblemente de cabeza
redondeada para que la mira no cambie de
posición al darle la vuelta para hacer las
lecturas correspondientes a las vistas atrás y
adelante (usar Base de nivel o sapo).
• Utilizar 2 miras y 2 portamiras: finalidad que las
dos lecturas, vista atrás y vista adelante se
realicen en el menor intervalo de tiempo posible
para disminuir los efectos de cualquier cambio
en la refracción atmosférica.
• El nivel debe protegerse de los rayos del sol
utilizando una sombrilla, con la finalidad de
evitar dilataciones térmicas desiguales.

4. RECOMENDACIONES
• Cuando se ha empleado un control horizontal
formado por poligonales, generalmente se
obtiene un control vertical suficiente, corriendo
nivelaciones geométricas cerradas sobre los
hitos que marcan los vértices de las poligonales.
Se tiene así, con adecuada precisión las cotas
de todos los puntos de estación, y partiendo de
ellos se pueden fijar todos los demás puntos
que se necesite.
• Como control vertical adicional puede
emplearse la nivelación trigonométrica de
precisión para determinar las cotas de los
vértices de las triangulaciones.

5. RED DE NIVELACION

6. Libreta de campo
CIRCUITO TRAMO N° Dif de Nivel DISTANCIA CORRECCION
B-C 1 +3.282m 19km V1
C-D 2 +6.312 45 V2
D-E 5 -8.145 21 V5
I
BCDEB
E-B 6 -1.569 27 V6
E-A 7 +5.373 18 V7
D-A 3 -2.676 41 V3II
DAED D-E 5 -8.145 21 V5
A-B 4 -6.879 24 V4
E-B 6 -1.569 27 V6III
ABEA E-A 7 +5.373 18 V7
Datos de la libreta de campo y nomenclatura para su
compensación por mínimos cuadrados.

7. FORMULA PARA DETERMINAR EL NUMERO DE
ECUACIONES CONDICIONALES INDEPENDIENTES (C):
1) C= n-S+1; Siendo: n= número de tramos.
S= número de nodos o vértices.
2) Fórmula general:
C= L-V+q; Siendo: L=Número de tramos o lados.
V=Número total de BMs.
q=Número de BMs que tienen cota.
Si la red tiene menor # condiciones que C, se aplica la
Ecuación Ficticia (la flecha va de la cota menor a mayor, así
como el desnivel; la distancia L=0 Km)
Si la red tiene mayor número de condiciones, se toman sólo
las ecuaciones condicionales que tienen mayores errores
absolutos según C calculado.

8. COMPENSACIÓN POR MINIMOS CUADRADOS
ELABORACIÓN DEL CROQUIS DE LA RED
1) Se coloca la flecha a cada tramo de la red, de
acuerdo al sentido de la “diferencia de nivel” de
sus extremos según la libreta de campo.
2) Se numeran todos los tramos, con números
arábigos.
3) En cada tramo de la red se inscribe el valor
numérico de la “diferencia de nivel” con su
correspondiente signo y además la distancia
nivelada entre sus extremos.
4) Se numeran con números romanos todos los
circuitos de la red, estableciendo de esta manera
el orden para determinar sus respectivas
ECUACIONES DE CONDICIÓN.

9. DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CONDICION
DE CADA CIRCUITO
1) Suponemos un punto que se desplace a lo largo de
cada uno de los tramos del circuito en sentido de las
agujas del reloj.
• Si el movimiento en este sentido coincide con el
sentido de la flecha del tramo, se coloca un signo
positivo (+) delante de la corrección Vi respectiva y la
diferencia de nivel se considera con el mismo signo
que se indica en el croquis del circuito.
• Si el desplazamiento del punto en el sentido de las
agujas del reloj, es contrario al sentido de la flecha del
tramo, se colocará un signo negativo (-) delante de la
respectiva corrección Vi y la diferencia de nivel se
considerará con signo contrario al que se indica en el
croquis del circuito.

10. DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CONDICION
DE CADA CIRCUITO
2) El término independiente de la ecuación de condición de
cada circuito es el error del circuito, el cual se obtiene
efectuando la suma algebraica de las diferencias de
nivel afectadas del signo que resulte al considerar el
desplazamiento del punto en todos los tramos del
circuito considerado.
3) Una vez determinadas las ecuaciones condicionales
independientes de toda la red, se elaboran los cuadros
para obtener en forma simplificada las ecuaciones
correlativas y las ecuaciones normales, con las cuales
se determinan las correcciones Vi que deberán aplicar a
las correspondientes diferencias de nivel para que el
error de cierre en cada circuito sea cero y que la
diferencia de nivel entre cualquier par de puntos de
unión resulte la misma, cualquiera que sea el camino
seguido para el cálculo.

11. EJEMPLO DE UNA RED DE NIVELACION
Se pide:
a) Determinar las Ecuaciones Condicionales.
b) Determinar las Ecuaciones Correlativas simplificadamente.

12. SOLUCION:
a) Determinación del número de Ecuaciones
Condicionales (C):
• C= n – S+1 C= 7 – 5 +1= 3;
Son 3 Ecuaciones Condicionales Indpdtes,
que las obtenemos de cada circuito:
1) Ecuación Condicional del Circuito I:
V1+V2+V5+V6-0.12 = 0 → f1 = 0
E1= +3.282+6.312-8.145-1.569 = -0.12

13. SOLUCION:
2) Ecuación Condicional del Circuito II:
V3-V7-V5+0.096 = 0 → f2 = 0
E2= -2.676-(+5.373)-(-8.145) = +0.096
3) Ecuación Condicional del Circuito III:
V4-V6+V7+0.063 = 0 → f3 = 0
E3= -6.879-(-1.569)+5.373 = +0.063

14. CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES
DETERMINACION DE LAS 3 ECUACIONES NORMALES
CORRESPONDIENTES A LAS RESPECTIVAS ECUACIONES
CONDICIONALES
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7
L1= 19 L2= 45 L3= 41 L4= 24 L5= 21 L6= 27 L7= 18
K
λ1 .a1= +1 a2= +1 a3= 0 a4= 0 a5= +1 a6= +1 a7= 0 - 0.12 = 0
λ2 .b1= 0 b2= 0 b3= +1 b4= 0 b5= -1 b6= 0 b7= -1 +0.096= 0
λ3 .c1= 0 c2= 0 c3= 0 c4= +1 c5= 0 c6= -1 c7= +1 +0.063= 0
S S1= +1 S2= +1 S3= +1 S4= +1 S5= 0 S6= 0 S7= 0 ///////////////
1
ra
EC. NORMAL: [aa]λ1 + [ab]λ2 + [ac]λ3 + K1 = 0
2
da
EC. NORMAL: [ab]λ1 + [bb]λ2 + [bc]λ3 + K2 = 0
3
ra
EC. NORMAL: [ac]λ1 + [bc]λ2 + [cc]λ3 + K3 = 0

15. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LOS TERMINOS DE LAS
ECUACIONES NORMALES
λ1 λ2 λ3 K S
a1a1= 19 a1b1= 0 a1c1= 0 a1S1= +19
a2a2= 45 a2b2= 0 a2c2= 0 a2S2= +45
a5a5= 21 a5b5= -21 a5c5= 0 a5S5= 0
a6a6= 27 a6b6= 0 a6c6= -27 a6S6= 0
[aa] = 112 [ab] = -21 [ac] = -27 K1= -0.12 [aS] =+64 1°EC.NORM
b3b3= +41 b3c3= 0 b3S3= +41
b5b5= +21 b5c5= 0 b5S5= 0
b7b7= +18 b7c7= -18 b7S7= 0
[ab] = -21 [bb] = +80 [bc]= -18 K2=+0.096 [bS] =+41 2°EC.NORM
c4c4= +24 c4S4= +24
c6c6= +27 c6S6= 0
c7c7= +18 c7S7= 0
[ac] = -27 [bc] = -18 [cc] =+69 K3= +0.063 [cS] = +24 3°EC.NORM

16. ECUACIONES NORMALES
SOLUCION DEL SISTEMA DE EC.NORMALES:
1) 112λ1 - 21λ2 - 27λ3 - 0.12 = 0
2) -21λ1 + 80λ2 - 18λ3 + 0.096 = 0
3) -27λ1 - 18λ2 + 69λ3 + 0.063 = 0
λ1 = 0.000587714
λ2 = -0.00127421
λ3 = -0.00101547
Estos valores λ1, λ2, λ3 se reemplazan en las EC. CORRELATIVAS
para obtener las correcciones V1, V2, V3, V4,..., V8

17. CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7
L1= 19 L2= 45 L3= 41 L4= 24 L5= 21 L6= 27 L7= 18
K
λ1 .a1= +1 a2= +1 a3= 0 a4= 0 a5= +1 a6= +1 a7= 0 - 0.12 = 0
λ2 .b1= 0 b2= 0 b3= +1 b4= 0 b5= -1 b6= 0 b7= -1 +0.096= 0
λ3 .c1= 0 c2= 0 c3= 0 c4= +1 c5= 0 c6= -1 c7= +1 +0.063= 0
S S1= +1 S2= +1 S3= +1 S4= +1 S5= 0 S6= 0 S7= 0 ///////////////
V1 = 19λ1 ⇒ V1 = 19(0.000587714) = +0.011166566 = +0.011”
V2 = 45λ1 ⇒ V2 = 45(0.000587714) = +0.02644713 = +0.026”
V3 = 41λ2 ⇒ V3 = 41(-0.00127421) = -0.0522461 = -0.052”
V4 = 24λ3 ⇒ V4 = 24(-0.00101547) = -0.02437128 = -0.024”
V5 = 21λ1 -21λ2 ⇒ V5 = 21(0.000587714) - 21(-0.00127421)= +0.03910040 = +0.039”
V6 = 27λ1 -27λ3 ⇒ V6 = 27(0.000587714) - 27(-0.00101547) = +0.04328596 = +0.043”
V7 = -18λ2+18λ3 ⇒ V7 = -18(-0.00127421) +18(-0.00101547) = +0.00465732 = +0.005”
ECUACIONES CORRELATIVAS

18. VERIFICACIÓN DE LAS CORRECCIONES
CIRCUITO I CIRCUITO II CIRCUITO IIITRAMO Vi
SIGNO VALOR SIGNO VALOR SIGNO VALOR
Valores Vi
Corregidos
1 +0.011 + +0.011 V1= +0.011
2 +0.026 + +0.026 V2= +0.026
3 -0.052 + -0.052 V3= -0.052
4 -0.024 + -0.024 V4= -0.024
5 +0.039 + +0.039 - -0.039 V5= +0.039
6
4
+0.043 -
4
-0.043 -
4
-0.043 V6= +0.044
7 0.005 - -0.005 + +0.005 V7= +0.005
De la ecuación del
Circuito
Σ=
⇒ Ec=
+0.119
-0.120
-0.001
-0.096
+0.096
0.000
-0.062
+0.063
+0.001

19. DIFERENCIAS DE NIVEL COMPENSADAS
TRAMO DIF.
NIVEL
CORRECCIONES DIFERENCIAS
NIVEL
COMPENSADAS
1 +3.282 V1= +0.011 +3.293
2 +6.312 V2= +0.026 +6.338
3 -2.676 V3= -0.052 -2.728
4 -6.879 V4= -0.024 -6.903
5 -8.145 V5= +0.039 -8.106
6 -1.569 V6= +0.044 -1.525
7 +5.373 V7= +0.005 +5.378
CROQUIS CON DESNIVELES CORREGIDOS
VÉRTICE
TRAMO
COTA
DIF.ALT.
VÉRTICE
TRAMO
COTA
DIF.ALT.
VÉRTICE
TRAMO
COTA
DIF.ALT.
BM A
+(4)
100.000
-6.903
D
+(5)
102.728
-8.106
B
-(6)
93.097
+1.525
B
+(1)
93.097
+3.293
E
+(7)
94.622
+5.378
E
+(7)
94.622
+5.378
C
+(2)
96.390
+6.338
BM A 100.000
OK
BM A 100.000
OK
D
+(3)
102.728
-2.728
BM A 100.000
a) COMPROBACIÓN b) COMPROBACIÓN

20. DETERMINACIÓN DE LAS CORRECCIONES Vi POR MEDIO DE
LAS DERIVADAS PARCIALES DE LA FUNCIÓN U
F = 1 V1
2
+ 1 V2
2
+ 1 V3
2
+ 1 V4
2
+ 1 V5
2
+ 1 V6
2
+ 1 V7
2
19 45 41 24 21 27 18
U = F - 2λ1f1 - 2λ2f2 - 2λ3f3
U = 1 V1
2
+ 1 V2
2
+ 1 V3
2
+ 1 V4
2
+ 1 V5
2
+ 1 V6
2
+ 1 V7
2
19 45 41 24 21 27 18
-2λ1(V1 +V2 +V5 +V6 - 0.12) - 2λ2(V3 -V7 -V5 +0.096)
-2λ3(V4 - V6 + V7 + 0.063) → mínimo

21. DERIVADAS PARCIALES QUE DETERMINAN LAS
CORRECCIONES Vi
∂U = 2V1 -2λ1 = 0 → 2V1 = 2λ1 → 2V1 = 38λ1 → V1 = 19λ1
∂V1 19 19
∂U = 2V2 -2λ1 = 0 → 2V2 = 2λ1 → 2V2 = 40λ1 → V2 = 45λ1
∂V2 45 45
∂U = 2V3 -2λ2 = 0 → 2V3 = 2λ2 → 2V3 = 81λ2 → V3 = 41λ2
∂V3 41 41
∂U = 2V4 -2λ3 = 0 → 2V4 = 2λ3 → 2V4 = 48λ3 → V4 = 24λ3
∂V4 24 24
∂U = 2V5 -2λ1 +2λ2 = 0 → 2V5 = 2λ1 - 2λ2 → 2V5 = 42λ1 - 42λ2 → V5 = 21λ1 - 21λ2
∂V5 21 21
∂U = 2V6 -2λ1 +2λ3 = 0 → 2V6 = 2λ1 - 2λ3 → 2V6 = 54λ1 - 54λ3 → V6 = 27λ1 - 27λ3
∂V6 27 27
∂U = 2V7 +2λ2 -2λ3 = 0 → 2V7 = -2λ2 +2λ3 → 2V7 = -36λ2 + 36λ3 → V7 = -18λ2 + 18λ3
∂V7 18 18

22. PRACTICA DOMICILIARIA
• 1) Determinar las cotas de los vértices de la siguiente red de nivelación.
• a) Sin considerar las distancias.
• b)Teniendo en cuenta las distancias.

23. 2) En la siguiente red de nivelación, determinar las
cotas ortométricas de los demás vértices.

24. EJEMPLO 2.- Según el siguiente croquis de una
red de nivelación con los datos de la libreta de
campo que figuran en el gráfico:
Se pide:
a) Determinar las Ecuaciones
Condicionales.
b) Determinar las Ecuaciones
Correlativas simplificadamente.
c) Las Ecuaciones Normales, solución,
verificación y cotas.

25. SOLUCION: Determinación del número de Ecuaciones Condicionales
independientes(C):
Fórmula general:
C= L – V+ q
C= 7 – 5 + 2 = 4
Son 4 Ecuaciones Condicionales independientes, que se obtienen de cada
circuito, y el cuarto circuito es Ficticio, según el croquis:
Se ha designado los circuitos
por I, II, III.
Se ha creado el circuito
Ficticio IV uniendo dos BMs
de cotas conocidas del BM X
al BM Y, cuyo desnivel es
+7.500 (por diferencia de
cotas), la Longitud = 0 y el
sentido de la flecha es de la
cota menor a la cota mayor.
Se ha inscrito las correcciones
Vi en cada lado de la red
desde V1, V2, …, V8.

26. Se formulan las 4 ecuaciones condicionales:
1. Ecuación Condicional del Circuito I:
V1+V4+V5+V7-0.010 = 0 → f1 = 0
E1= +5.10-6.13-0.68+1.70 = -0.010
2. Ecuación Condicional del Circuito II:
V2-V5+V6+0.020 = 0 → f2 = 0
E2= 2.340+0.680-3.000 = +0.020
3. Ecuación Condicional del Circuito III:
V3-V6-V7+0.050 = 0 → f3 = 0
E3= -1.250+3.000-1.750 = +0.050
4. Ecuación Condicional del Circuito IV (Ficticio):
-V1-V2+V8+0.060 = 0 → f4 = 0
E4= -5.100-2.340+7.500 = +0.060

27. CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 K
L1= 4 L2= 3 L3= 2 L4= 3 L5= 2 L6= 2 L7= 2 L8= 0
λ1 a1= 1 a2= 0 a3= 0 a4= 1 a5= 1 a6= 0 a7= 1 a8= 0 - 0.010= 0
λ2 b1= 0 b2= 1 b3= 0 b4= 0 b5= -1 b6= 1 b7= 0 b8= 0 +0.020= 0
λ3 c1= 0 c2= 0 c3= 1 c4= 0 c5= 0 c6= -1 c7= -1 c8= 0 +0.050= 0
λ4 d1= -1 d2= -1 d3= 0 d4= 0 d5= 0 d6= 0 d7= 0 d8= 1 +0.060= 0
S S1= 0 S2= 0 S3= 1 S4= 1 S5= 0 S6= 0 S7= 0 S8= 1 ///////////////
DETERMINACION DE LAS ECUACIONES NORMALES CORRESPONDIENTES
A LAS RESPECTIVAS ECUACIONES CONDICIONALES
1
ra
EC. NORMAL: [aa]λ1 + [ab]λ2 + [ac]λ3 + [ad]λ4 + K1 = 0
2
da
EC. NORMAL: [ab]λ1 + [bb]λ2 + [bc]λ3 + [bd]λ4 + K2 = 0
3
ra
EC. NORMAL: [ac]λ1 + [bc]λ2 + [cc]λ3 + [cd]λ4 + K3 = 0
4
ta
EC. NORMAL: [ad]λ1 + [bd]λ2 + [cd]λ3 + [dd]λ4 + K4 = 0

28. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LOS
TERMINOS DE LAS ECUACIONES NORMALES
λ1 λ2 λ3 λ4 K S
a1a1L1= 4 a1b1L1= 0 a1c1L1= 0 a1d1L1= -4 a1S1 L1= 0
a2a2L2= 0 a2b2L2= 0 a2c2L2= 0 a2d2L2= 0 a2S2L2= 0
a3a3L3= 0 a3b3L3= 0 a3c3L3= 0 a3d3L3= 0 a3S3L3= 0
a4a4L4= 3 a4b4L4= 0 a4c4L4= 0 a4d4L4= 0 a4S4L4= 3
a5a5L5= 2 a5b5L5= -2 a5c5L5= 0 a5d5L5= 0 a5S5L5= 0
a6a6L6= 0 a6b6L6= 0 a6c6L6= 0 a6d6L6= 0 a6S6L6= 0
a7a7L7= 2 a7b7L7= 0 a7c7L7= -2 a7d7L7= 0 a7S7L7= 0
a8a8L8= 0 a8b8L8= 0 a8c8L8= 0 a8d8L8= 0 a8S8L8= 0
[aaL] = 11 [abL] = -2 [acL] = -2 [adL] = -4 K1= -0.010 [aSL] = 3 1°EC.NORM
b1b1L1= 0 b1c1L1= 0 b1d1L1= 0 b1S1L1= 0
b2b2L2= 3 b2c2L2= 0 b2d2L2= -3 b2S2L2= 0
b3b3L3= 0 b3c3L3= 0 b3d3L3= 0 b3S3L3= 0
b4b4L4= 0 b4c4L4= 0 b4d4L4= 0 b4S4L4= 0
b5b5L5= 2 b5c5L5= 0 b5d5L5= 0 b5S5L5= 0
b6b6L6= 2 b6c6L6= -2 b6d6L6= 0 b6S6L6= 0
b7b7L7= 0 b7c7L7= 0 b7d7L7= 0 b7S7L7= 0
b8b8L8= 0 b8c8L3= 0 b8d8L3= 0 b8S8L8= 0
[abL] =-2 [bbL] = 7 [bcL]= -2 [bdL]= -3 K2=+0.020 [bSL] = 0 2°EC.NORM
c1c1L1= 0 c1d1L1= 0 c1S1L1= 0
c2c2L2= 0 c2d2L2= 0 c2S2L2= 0
c3c3L3= 2 c3d3L3= 0 c3S3L3= 2
c4c4L4= 0 c4d4L4= 0 c4S4L4= 0
c5c5L5= 0 c5d5L5= 0 c5S5L5= 0
c6c6L6= 2 c6d6L6= 0 c6S6L6= 0
c7c7L7= 2 c7d7L7= 0 c7S7L7= 0
c8c8L8= 0 c8d8L8= 0 c8S8L8= 0
[acL] =-2 [bcL] = -2 [ccL] = 6 [cdL] = 0 K3= +0.050 [cSL] = 2 3°EC.NORM
d1d1L1= 4 d1S1L1= 0
d2d2L2= 3 d2S2L2= 0
d3d3L3= 0 d3S3L3= 2
d4d4L4= 0 d4S4L4= 0
d5d5L5= 0 d5S5L5= 0
d6d6L6= 0 d6S6L6= 0
d7d7L7= 0 d7S7L7= 0
d8d8L8= 0 d8S8L8= 0
[adL] =-4 [bdL] = -3 [cdL] = 0 [ddL] = 7 K3= +0.060 [dSL] = 0 4°EC.NORM

29. Luego las ECUACIONES NORMALES son:
1) 11λ1 - 2λ2 - 2λ3 - 4λ4 = +0.010
2) -2λ1 + 7λ2 - 2λ3 - 3λ4 = -0.020
3) -2λ1 - 2λ2 + 6λ3 - 0λ4 = -0.050
4) -4λ1 - 3λ2 + 0λ3 + 7λ4 = -0.060
Coef. Matriz A Term Indpdte B
11 -2 -2 -4 +0.010
-2 7 -2 -3 -0.020
-2 -2 6 0 -0.050
-4 -3 0 7 -0.060
Matriz Inversa A-1
A-1
B
0.235556 0.204444 0.146667 0.222222 -0.022400
0.204444444 0.375556 0.193333 0.277778 -0.031800
0.146666667 0.193333 0.280000 0.166667 -0.026400
0.222222222 0.277777 0.166667 0.388889 -0.03500
SOLUCION DEL SISTEMA DE EC.NORMALES:
λ1 = -0.022400
λ2 = -0.031800
λ3 = -0.026400
λ4 = -0.03500
Del cuadro resumen de las Ecuaciones Condicionales se obtienen las Ecuaciones correlativas Vi, o
sea las expresiones para el cálculo de las correcciones.
Estos valores λ1, λ2, λ3, λ4
se remplazan en las EC.
CORRELATIVAS para
obtener las correcciones
V1, V2, V3, V4,..., V8

30. CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 K
L1= 4 L2= 3 L3= 2 L4= 3 L5= 2 L6= 2 L7= 2 L8= 0
λ1 a1= 1 a2= 0 a3= 0 a4= 1 a5= 1 a6= 0 a7= 1 a8= 0 - 0.010= 0
λ2 b1= 0 b2= 1 b3= 0 b4= 0 b5= -1 b6= 1 b7= 0 b8= 0 +0.020= 0
λ3 c1= 0 c2= 0 c3= 1 c4= 0 c5= 0 c6= -1 c7= -1 c8= 0 +0.050= 0
λ4 d1= -1 d2= -1 d3= 0 d4= 0 d5= 0 d6= 0 d7= 0 d8= 1 +0.060= 0
S S1= 0 S2= 0 S3= 1 S4= 1 S5= 0 S6= 0 S7= 0 S8= 1 ///////////////
Se tiene: λ1= +0.022400 λ2= -0.031800 λ3= -0.026400 λ4= -0.03500
Luego tenemos las ECUACIONES CORRELATIVAS (y remplazando valores)
V1 = 4λ1 - 4λ4 ⇒ V1 = 4(+0.022400) – 4(-0.03500) = +0.0504”
V2 = 3λ2 -3λ4 ⇒ V2 = 3(-0.031800) - 3(-0.03500) = +0.0096”
V3 = 2λ3 ⇒ V3 = 2(-0.026400) = -0.0528”
V4 = 3λ1 ⇒ V4 = 3(+0.022400) = -0.0672”
V5 = 2λ1 -2λ2 ⇒ V5 = 2(+0.022400) - 2(-0.031800)= +0.0188”
V6 = 2λ2 -2λ3 ⇒ V6 = 2(-0.031800) - 2(-0.026400) = -0.0108”
V7 = 2λ1 -2λ3 ⇒ V7 = 2(+0.022400) -|111111111112(-0.026400) = +0.0080”
V8 = 0λ4 ⇒ V8 = 0(-0.03500) = +0.0000”

31. VERIFICACIÓN DE LAS CORRECCIONES
TRAMO Vi
CIRCUITO I CIRCUITO II CIRCUITO III CIRCUITO IV Valores Vi
Corregidos
SIGNO VALOR SIGNO VALOR SIGNO VALOR SIGNO VALOR
1 +0.0504 +0.0504 - -0.0504 +0.0504
2 +0.0096 +0.0096 - -0.0096 +0.0096
3 -0.0528 -0.0528 -0.0528
4 -0.0672 -0.0672 -0.0672
5 +0.0188 +0.0188 - -0.0188 +0.0188
6 -0.0108 -0.0108 - +0.0108 -0.0108
7 +0.0080 +0.0080 -0.0080 +0.0080
8 +0.0000 0.0000 +0.0000
De la ecuación del
Circuito
Σ=
⇒Ec=
+0.0100
-0.0100
0.0000
-0.0200
+0.0200
0.0000
-0.0500
+0.0500
+0.0000
-0.0600
+0.0600
+0.0000

32. DIFERENCIAS DE NIVEL COMPENSADAS
TRAMO
DIF.
NIVEL
CORRECCIONES
Vi
DIFERENCIAS
NIVEL
COMPENSADAS
CROQUIS CON DESNIVELES CORREGIDOS
1 5.1000 V1= +0.0504 5.1504
2 2.3400 V2= +0.0096 2.3496
3 -1.2500 V3= -0.0528 -1.3028
4 -6.1300 V4= -0.0672 -6.1972
5 -0.6800 V5= +0.0188 -0.6612
6 -3.0000 V6= -0.0108 -3.0108
7 1.7000 V7= +0.0080 1.7080
8 7.500 V8= 0.0000 7.5000
CALCULO DE COTAS DE BMs a) COMPROBACIÓN COTAS b) COMPROBACIÓN COTAS
BM
TRAMO
COTA
msnm
BM
TRAMO
COTA
msnm
BM
TRAMO
COTA
msnm
BM X
+(1)
100.0000
5.1504
A
+(5)
105.1504
-0.6612
BM Y
+(6)
107.5000
-3.0108
A
+(2)
105.1504
2.3496
B
+(7)
104.4892
1.7080
B 104.4892
OK
BM Y
+(3)
107.5000
-1.3028
C 106.1972
OK
C
+(4)
106.1972
-6.1972
BM X 100.0000

33. EJEMPLO 3: En la siguiente red de nivelación,
calcular la cota de X (método mínimos
cuadrados).

34. SOLUCION
a) Cálculo del número de ecuaciones condicionales (C):
C= L-V+q; Donde: L = Número de lados o tramos.
V = Número total de BMs.
q = Número de BMs que tienen cota.
C=4-5+4 = 3;
Sólo se requieren 3 ecuaciones condicionales independientes,
que se obtienen de cada circuito.

35. ECUACIONES QUE SALEN DE LA RED
1. Ecuación condicional del circuito I:
V1 – V2 +0.0209 = 0 → f1 = 0 E1=200.7416-10.3556-(-25.1298) -215.4949= +0.0209
2. Ecuación condicional del circuito II:
V1 – V3 +0.0055 = 0 → f2 = 0 E2=200.7416+(-10.3556)-(+3.4895) -186.8910= +0.0055
3. Ecuación condicional del circuito III:
V1 – V4 +0.0002 = 0 → f3 = 0 E3=200.7416-10.3556-(+14.6317) -175.7541= +0.0002
4. Ecuación condicional del circuito IV:
V2 – V3 +0.0154 = 0 → f4 = 0 E4=215.4949-25.1298-(+3.4895) -186.8910= -0.0154
5. Ecuación condicional del circuito V:
V2 – V4 -0.0207 = 0 → f5 = 0 E5=215.4949-25.1298-(+14.6317) -175.7541= -0.0207
6. Ecuación condicional del circuito VI:
V3 – V4 -0.0053 = 0 → f6 = 0 E6=186.8910+3.4895-(+14.6317) -175.7541= -0.0053

36. RESUTADO: 6ECUACIONES
Como resultado se obtienen 6 ecuaciones condicionales de la red.
Según el número de ecuaciones condicionales C=3, seleccionamos sólo las 3 ecuaciones que tienen
mayor error absoluto, o sea: f1, f4 y f5, que se usarán para calcular la cota de X. Dichas ecuaciones
son:
V1 – V2 +0.0209 = 0 → f1 = 0 E1=200.7416-10.3556-(-25.1298) -215.4949= +0.0209
V2 – V3 –0.0154 = 0 → f4 = 0 E4=215.4949-25.1298-(+3.4895) -186.8910 = -0.0154
V2 – V4 –0.0207 = 0 → f5 = 0 E5=215.4949-25.1298-(+14.6317) -175.7541= -0.0207

37. SOLUCION POR MINIMOS CUADRADOS
F = 1 V1
2
+ 1 V2
2
+ 1 V3
2
+ 1 V4
2
76 85 131 42
U = F - 2λ1f1 - 2λ2f4 - 2λ3f5
Remplazando valores:
U = 1 V1
2
+ 1 V2
2
+ 1 V3
2
+ 1 V4
2
–2λ1(V1 – V2 +0.0209) – 2λ2(V2 – V3 -0.0154)
76 85 131 42
–2λ3(V2 – V4 –0.0207) → mínimo
Derivando U con respecto a Vi:
∂U = 2V1 –2λ1 = 0 → V1 = 76λ1
∂V1 76
∂U = 2V2 +2λ1 – 2λ2 – 2λ3= 0 → V2 = –85λ1 +85λ2+85λ3
∂V2 85
∂U = 2 V3 +2λ2 = 0 → V3 = –131λ2
∂V3 131
∂U = 2V4 +2λ3 = 0 → V4 = –42λ3
∂V4 42

38. Luego las Ecuaciones Normales son:
161λ1 – 85λ2 – 85λ3 + 0.0209 = 0
–85λ1 + 216λ2 + 85λ3 – 0.0154 = 0
–85λ1 + 85λ2 + 127λ3 – 0.0207 = 0
Resolviendo el sistema de Ecuaciones Normales:
Remplazando λi en las Ecuaciones Correlativas Vi:
V1= 76λ1 = –0.0051916132” = –0.0052”
V2= –85λ1 +85λ2+85λ3 = +0.015708391” = +0.0157”
V3= –131λ2 = +0.0003083871” = +0.0003”
V4= –42λ3 = –0.004991616” = –0.0050”

39. VERIFICACIÓN DE LAS CORRECCIONES
TRAMO Vi CIRCUITO I CIRCUITO II CIRCUITO III Valores Vi
CorregidosSIGNO VALOR SIGNO VALOR SIGNO VALOR
1 -0.0052 -0.0052 V1= -0.0052
2 +0.0157 - -0.0157 +0.0157 +0.0157 V2= +0.0157
3 +0.0003 - -0.0003 V3= +0.0003
4 -0.0050 - +0.0050 V4= -0.0050
De la ecuación del
Circuito
Σ=
⇒ Ec=
-0.0209
+0.0209
0.0000
+0.0154
-0.0154
0.0000
+0.0207
–0.0207
0.0000
Luego la aplicación de las correcciones a las diferencias de nivel para obtener las diferencias de
nivel compensadas por mínimos cuadrados serán:

40. DIFERENCIAS DE NIVEL COMPENSADAS
TRAMO
DIFERENCIAS
NIVEL
CORRECCIONES
DIFERENCIAS
NIVEL
COMPENSADAS
CROQUIS CON DESNIVELES CORREGIDOS
1 -10.3556 V1= -0.0052 -10.3608
2 -25.1298 V2= +0.0157 -25.1141
3 +3.4895 V3= +0.0003 +3.4898
4 +14.6317 V4= -0.0050 +14.6267
CALCULO DE COTAS DE BMs a) COMPROBACIÓN COTAS b) COMPROBACIÓN COTAS
BM
TRAMO
COTA
msnm
BM
TRAMO
COTA
msnm
BM
TRAMO
COTA
msnm
BM A
+(1)
200.7416
-10.3608
BM B
+(2)
215.4949
-25.1141
BM B
+(2)
215.4949
-25.1141
X
-(2)
190.3808
25.1141
X
-(3)
190.3808
-3.4898
X
-(4)
190.3808
-14.6267
BM B 215.4949
OK
BM C 186.8910
OK
BM D 175.7541
OK
DIFERENCIAS DE NIVEL COMPENSADAS
F I N