El documento describe los procedimientos para realizar un control vertical topográfico mediante nivelaciones. Esto incluye la creación de una red de nivelación formada por puntos de referencia (BM) y circuitos de nivelación diferencial entre puntos consecutivos. Se especifican los errores de cierre tolerables dependiendo del orden de la red. También se detallan las especificaciones técnicas para llevar a cabo las mediciones de nivelación.

1. CONTROL VERTICAL TOPOGRÁFICO
Para un proyecto de ingeniería está
constituido por un conjunto de BMs formando
circuitos o redes de nivelación, partiendo de
un BM oficial.
Entre cada par consecutivo de BMs se
efectúa una nivelación diferencial de
precisión Ida y Regreso.
El error de cierre tolerable será:
E= 0.004K Primer orden
E= 0.0084K Segundo orden
E= 0.012K Tercer orden

2. RED DE
NIVELACION
GEODESICA
PERÚ

3. NIVELACION DE IDA
II
1
IV
2.758
0.205
III
BM1
2.758
0.205
PLANTA
2
I
2
.
4
3
5
1
2.153
IDA
IDA
II
BM2
2.153
III
1.152
2.246
1.152
3
2.246
IV
BM2
0
.
3
4
7
2
0.251
2.435
I
BM1
0.347
3
0.251

4. PLANTA
V
1
2.556
0.358
VIII
2
.
5
8
4
2
2.313
BM1
VII
REGRESO
0.505
3
0.411
BM2
VI
0.951
2.396
0.505
0.358
2.396
0.951
2.584 V
2.556 2.313 0.411
BM2
VI
VII
VIII
2
PERFIL
BM1 1
3
REGRESO
NIVELACION DE REGRESO

5. ESPECIFICACIONES TECNICAS
Equipo a utilizar:
a) Nivel de precisión: recorrido ida y vuelta del tramo.
1er orden: ±0.2mm/km
2do orden: ±0.5mm/km

8. b) Mira Invar:
De doble escala (escala
métrica y al dorso escala
en pulgadas), de 3m de
longitud.
• Utilizar el nivel de mira
(nivel esférico) para
poner la mira vertical.

9. Termómetro incorporado

10. c) Trípode patas fijas, largo 1.70m
BM

11. • Determinar el factor K(una vez) al inicio de la
nivelación.
• Determinar el error C del nivel (diario) y corregir la
lectura lejana por C&R.
• Longitud de visuales será hasta 90m. Las vistas atrás
y vistas adelante aproximadamente igualadas (±10%),
tomadas taquimétricamente.
• En cada visual a la mira se toman 3 lecturas:
Una con el hilo horizontal principal del retículo y las
otras 2 con cada uno de los hilos estadimétricos;
tomándose como lectura más probable la media
aritmética de las tres (diferencia intervalos ±2u).
• La diferencia entre las lecturas del hilo superior e
inferior determina la distancia del instrumento a la
mira, multiplicado por K.

12. • Los puntos de cambio
(PC) serán sobre objetos físicos
muy rígidos y preferiblemente de
cabeza redondeada para que la mira
no cambie de posición al darle la
vuelta para hacer las lecturas
correspondientes a las vistas atrás y
adelante (usar Base de nivel o
sapo).
Puntos de
Cambio (PC)

13. Utilizar 2 miras y 2 portamiras: finalidad que las dos
lecturas, vista atrás y vista adelante se realicen en el
menor intervalo de tiempo posible para disminuir los
efectos de cualquier cambio en la refracción
atmosférica.
El nivel debe protegerse de los rayos del sol utilizando
una sombrilla, con la finalidad de evitar dilataciones
térmicas desiguales.

15. RECOMENDACIONES
• Cuando se ha empleado un control horizontal
formado por poligonales, generalmente se
obtiene un control vertical suficiente, corriendo
nivelaciones geométricas cerradas sobre los
hitos que marcan los vértices de las poligonales.
• Se tiene así, con adecuada precisión las cotas
de todos los puntos de estación, y partiendo de
ellos se pueden fijar todos los demás puntos
que se necesite.
• Como control vertical adicional puede
emplearse la nivelación trigonométrica de
precisión para determinar las cotas de los
vértices de las triangulaciones.

16. RED DE NIVELACION

17. Libreta de campo
CIRCUITO TRAMO N° Dif de Nivel DISTANCIA CORRECCION
B-C 1 +3.282m 19km V1
C-D 2 +6.312 45 V2
D-E 5 -8.145 21 V5
I
BCDEB
E-B 6 -1.569 27 V6
E-A 7 +5.373 18 V7
D-A 3 -2.676 41 V3
II
DAED D-E 5 -8.145 21 V5
A-B 4 -6.879 24 V4
E-B 6 -1.569 27 V6
III
ABEA E-A 7 +5.373 18 V7
Datos de la libreta de campo y nomenclatura para su
compensación por mínimos cuadrados.

18. FORMULA PARA DETERMINAR EL NUMERO DE
ECUACIONES CONDICIONALES INDEPENDIENTES (C):
1) C= n-S+1; Siendo: n= número de tramos.
S= número de nodos o vértices.
2) Fórmula general:
C= L-V+q; Siendo: L=Número de tramos o lados.
V=Número total de BMs.
q=Número de BMs que tienen cota.
Si la red tiene menor # condiciones que C, se aplica la
Ecuación Ficticia (la flecha va de la cota menor a mayor, así
como el desnivel; la distancia L=0 Km)
Si la red tiene mayor número de condiciones, se toman sólo
las ecuaciones condicionales que tienen mayores errores
absolutos según C calculado.

19. COMPENSACIÓN POR MINIMOS CUADRADOS
ELABORACIÓN DEL CROQUIS DE LA RED
1) Se coloca la flecha a cada tramo de la red, de
acuerdo al sentido de la “diferencia de nivel” de
sus extremos según la libreta de campo.
2) Se numeran todos los tramos, con números
arábigos.
3) En cada tramo de la red se inscribe el valor
numérico de la “diferencia de nivel” con su
correspondiente signo y además la distancia
nivelada entre sus extremos.
4) Se numeran con números romanos todos los
circuitos de la red, estableciendo de esta manera
el orden para determinar sus respectivas
ECUACIONES DE CONDICIÓN.

20. DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CONDICION
DE CADA CIRCUITO
1) Suponemos un punto que se desplace a lo largo de
cada uno de los tramos del circuito en sentido de las
agujas del reloj.
 Si el movimiento en este sentido coincide con el
sentido de la flecha del tramo, se coloca un signo
positivo (+) delante de la corrección Vi respectiva y la
diferencia de nivel se considera con el mismo signo
que se indica en el croquis del circuito.
 Si el desplazamiento del punto en el sentido de las
agujas del reloj, es contrario al sentido de la flecha del
tramo, se colocará un signo negativo (-) delante de la
respectiva corrección Vi y la diferencia de nivel se
considerará con signo contrario al que se indica en el
croquis del circuito.

21. DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CONDICION
DE CADA CIRCUITO
2) El término independiente de la ecuación de condición de
cada circuito es el error del circuito, el cual se obtiene
efectuando la suma algebraica de las diferencias de
nivel afectadas del signo que resulte al considerar el
desplazamiento del punto en todos los tramos del
circuito considerado.
3) Una vez determinadas las ecuaciones condicionales
independientes de toda la red, se elaboran los cuadros
para obtener en forma simplificada las ecuaciones
correlativas y las ecuaciones normales, con las cuales
se determinan las correcciones Vi que deberán aplicar a
las correspondientes diferencias de nivel para que el
error de cierre en cada circuito sea cero y que la
diferencia de nivel entre cualquier par de puntos de
unión resulte la misma, cualquiera que sea el camino
seguido para el cálculo.

22. EJEMPLO DE UNA RED DE NIVELACION
Se pide:
a) Determinar las Ecuaciones Condicionales.
b) Determinar las Ecuaciones Correlativas simplificadamente.

23. SOLUCION:
a) Determinación del número de Ecuaciones Condicionales
(C):
• C= n – S+1 C= 7 – 5 +1= 3;
Son 3 Ecuaciones Condicionales
Indpdtes, que las obtenemos de
cada circuito:
C= L – V+q C= 7 – 5 +1= 3
1) Ecuación Condicional del Circuito I:
V1+V2+V5+V6-0.12 = 0  f1 = 0
E1= +3.282+6.312-8.145-1.569 = -0.12

24. SOLUCION:
2) Ecuación Condicional del Circuito II:
V3-V7-V5+0.096 = 0  f2 = 0
E2= -2.676-(+5.373)-(-8.145) = +0.096
3) Ecuación Condicional del Circuito III:
V4-V6+V7+0.063 = 0  f3 = 0
E3= -6.879-(-1.569)+5.373 = +0.063

25. CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES
DETERMINACION DE LAS 3 ECUACIONES NORMALES
CORRESPONDIENTES A LAS RESPECTIVAS ECUACIONES
CONDICIONALES
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7
L1= 19 L2= 45 L3= 41 L4= 24 L5= 21 L6= 27 L7= 18
K
1 .a1= +1 a2= +1 a3= 0 a4= 0 a5= +1 a6= +1 a7= 0 - 0.12 = 0
2 .b1= 0 b2= 0 b3= +1 b4= 0 b5= -1 b6= 0 b7= -1 +0.096= 0
3 .c1= 0 c2= 0 c3= 0 c4= +1 c5= 0 c6= -1 c7= +1 +0.063= 0
S S1= +1 S2= +1 S3= +1 S4= +1 S5= 0 S6= 0 S7= 0 ///////////////
1
ra
EC. NORMAL: [aa]1 + [ab]2 + [ac]3 + K1 = 0
2
da
EC. NORMAL: [ab]1 + [bb]2 + [bc]3 + K2 = 0
3
ra
EC. NORMAL: [ac]1 + [bc]2 + [cc]3 + K3 = 0

26. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LOS TERMINOS DE LAS
ECUACIONES NORMALES
1 2 3 K S
a1a1= 19 a1b1= 0 a1c1= 0 a1S1= +19
a2a2= 45 a2b2= 0 a2c2= 0 a2S2= +45
a5a5= 21 a5b5= -21 a5c5= 0 a5S5= 0
a6a6= 27 a6b6= 0 a6c6= -27 a6S6= 0
[aa] = 112 [ab] = -21 [ac] = -27 K1= -0.12 [aS] =+64 1°EC.NORM
b3b3= +41 b3c3= 0 b3S3= +41
b5b5= +21 b5c5= 0 b5S5= 0
b7b7= +18 b7c7= -18 b7S7= 0
[ab] = -21 [bb] = +80 [bc]= -18 K2=+0.096 [bS] =+41 2°EC.NORM
c4c4= +24 c4S4= +24
c6c6= +27 c6S6= 0
c7c7= +18 c7S7= 0
[ac] = -27 [bc] = -18 [cc] =+69 K3= +0.063 [cS] = +24 3°EC.NORM
L1
L2
L5
L6
L1
L2
L5
L6
L1
L2
L5
L6
L3
L5
L7
L3
L5
L7
L4
L6
L7
L1
L2
L5
L6
L3
L5
L7
L4
L6
L7

27. ECUACIONES NORMALES
SOLUCION DEL SISTEMA DE EC.NORMALES:
1) 1121 - 212 - 273 - 0.12 = 0
2) -211 + 802 - 183 + 0.096 = 0
3) -271 - 182 + 693 + 0.063 = 0
1 = 0.000587714
2 = -0.00127421
3 = -0.00101547
Estos valores 1, 2, 3 se reemplazan en las EC. CORRELATIVAS
para obtener las correcciones V1, V2, V3, V4,..., V8

28. CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7
L1= 19 L2= 45 L3= 41 L4= 24 L5= 21 L6= 27 L7= 18
K
1 .a1= +1 a2= +1 a3= 0 a4= 0 a5= +1 a6= +1 a7= 0 - 0.12 = 0
2 .b1= 0 b2= 0 b3= +1 b4= 0 b5= -1 b6= 0 b7= -1 +0.096= 0
3 .c1= 0 c2= 0 c3= 0 c4= +1 c5= 0 c6= -1 c7= +1 +0.063= 0
S S1= +1 S2= +1 S3= +1 S4= +1 S5= 0 S6= 0 S7= 0 ///////////////
V1 = 191  V1 = 19(0.000587714) = +0.011166566 = +0.011”
V2 = 451  V2 = 45(0.000587714) = +0.02644713 = +0.026”
V3 = 412  V3 = 41(-0.00127421) = -0.0522461 = -0.052”
V4 = 243  V4 = 24(-0.00101547) = -0.02437128 = -0.024”
V5 = 211 -212  V5 = 21(0.000587714) - 21(-0.00127421)= +0.03910040 = +0.039”
V6 = 271 -273  V6 = 27(0.000587714) - 27(-0.00101547) = +0.04328596 = +0.043”
V7 = -182+183  V7 = -18(-0.00127421) +18(-0.00101547) = +0.00465732 = +0.005”
ECUACIONES CORRELATIVAS
1 = 0.000587714
2 = -0.00127421
3 = -0.00101547

29. VERIFICACIÓN DE LAS CORRECCIONES
CIRCUITO I CIRCUITO II CIRCUITO III
TRAMO Vi
SIGNO VALOR SIGNO VALOR SIGNO VALOR
Valores Vi
Corregidos
1 +0.011 + +0.011 V1= +0.011
2 +0.026 + +0.026 V2= +0.026
3 -0.052 + -0.052 V3= -0.052
4 -0.024 + -0.024 V4= -0.024
5 +0.039 + +0.039 - -0.039 V5= +0.039
6
4
+0.043 -
4
-0.043 -
4
-0.043 V6= +0.044
7 0.005 - -0.005 + +0.005 V7= +0.005
De la ecuación del
Circuito
=
 Ec=
+0.119
-0.120
-0.001
-0.096
+0.096
0.000
-0.062
+0.063
+0.001
+ +

30. DIFERENCIAS DE NIVEL COMPENSADAS
TRAMO DIF.
NIVEL
CORRECCIONES DIFERENCIAS
NIVEL
COMPENSADAS
1 +3.282 V1= +0.011 +3.293
2 +6.312 V2= +0.026 +6.338
3 -2.676 V3= -0.052 -2.728
4 -6.879 V4= -0.024 -6.903
5 -8.145 V5= +0.039 -8.106
6 -1.569 V6= +0.044 -1.525
7 +5.373 V7= +0.005 +5.378
CROQUIS CON DESNIVELES CORREGIDOS
VÉRTICE
TRAMO
COTA
DIF.ALT.
VÉRTICE
TRAMO
COTA
DIF.ALT.
VÉRTICE
TRAMO
COTA
DIF.ALT.
BM A
+(4)
100.000
-6.903
D
+(5)
102.728
-8.106
B
-(6)
93.097
+1.525
B
+(1)
93.097
+3.293
E
+(7)
94.622
+5.378
E
+(7)
94.622
+5.378
C
+(2)
96.390
+6.338
BM A 100.000
OK
BM A 100.000
OK
D
+(3)
102.728
-2.728
BM A 100.000
a) COMPROBACIÓN b) COMPROBACIÓN

31. DETERMINACIÓN DE LAS CORRECCIONES Vi POR MEDIO DE
LAS DERIVADAS PARCIALES DE LA FUNCIÓN U
F = 1 V1
2
+ 1 V2
2
+ 1 V3
2
+ 1 V4
2
+ 1 V5
2
+ 1 V6
2
+ 1 V7
2
19 45 41 24 21 27 18
U = F - 21f1 - 22f2 - 23f3
U = 1 V1
2
+ 1 V2
2
+ 1 V3
2
+ 1 V4
2
+ 1 V5
2
+ 1 V6
2
+ 1 V7
2
19 45 41 24 21 27 18
-21(V1 +V2 +V5 +V6 - 0.12) - 22(V3 -V7 -V5 +0.096)
-23(V4 - V6 + V7 + 0.063)  mínimo

32. DERIVADAS PARCIALES QUE DETERMINAN LAS
CORRECCIONES Vi
U = 2V1 -21 = 0  2V1 = 21  2V1 = 381  V1 = 191
V1 19 19
U = 2V2 -21 = 0  2V2 = 21  2V2 = 401  V2 = 451
V2 45 45
U = 2V3 -22 = 0  2V3 = 22  2V3 = 812  V3 = 412
V3 41 41
U = 2V4 -23 = 0  2V4 = 23  2V4 = 483  V4 = 243
V4 24 24
U = 2V5 -21 +22 = 0  2V5 = 21 - 22  2V5 = 421 - 422  V5 = 211 - 212
V5 21 21
U = 2V6 -21 +23 = 0  2V6 = 21 - 23  2V6 = 541 - 543  V6 = 271 - 273
V6 27 27
U = 2V7 +22 -23 = 0  2V7 = -22 +23  2V7 = -362 + 363  V7 = -182 + 183
V7 18 18

33. EJEMPLO 2.- Según el siguiente croquis de una
red de nivelación con los datos de la libreta de
campo que figuran en el gráfico:
+5.100
L1=4Km
-6.130
L4=3Km
-1.250
L3=2Km
+2.340
L2=3Km
-0.680
L5=2Km
-
3
.
0
0
0
L
6
=
2
K
m
B
A
BM Y
C
+1.700
L7=2Km
BM X
BM X=100.000
BM X=100.000
BM Y=107.500 Se pide:
a) Determinar las Ecuaciones
Condicionales.
b) Determinar las Ecuaciones
Correlativas simplificadamente.
c) Las Ecuaciones Normales, solución,
verificación y cotas.

34. SOLUCION: Determinación del número de Ecuaciones Condicionales
independientes(C):
Fórmula general:
C= L – V+ q
C= 7 – 5 + 2 = 4
Son 4 Ecuaciones Condicionales independientes, que se obtienen de cada
circuito, y el cuarto circuito es Ficticio, según el croquis:
+5.100
L1=4Km
-6.130
L4=3Km
-1.250
L3=2Km
+2.340
L2=3Km
-0.680
L5=2Km
-
3
.
0
0
0
L
6
=
2
K
m
B
A
BM Y
C
+1.700
L7=2Km
BM X
BM X=100.000
BM X=100.000
BM Y=107.500 V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
+7.500
L
8
=
0
K
m
V8
Se ha designado los circuitos
por I, II, III.
Se ha creado el circuito
Ficticio IV uniendo dos BMs
de cotas conocidas del BM X
al BM Y, cuyo desnivel es
+7.500 (por diferencia de
cotas), la Longitud = 0 y el
sentido de la flecha es de la
cota menor a la cota mayor.
Se ha inscrito las
correcciones Vi en cada lado
de la red desde V1, V2, …, V8.

35. Se formulan las 4 ecuaciones condicionales:
1. Ecuación Condicional del Circuito I:
V1+V4+V5+V7-0.010 = 0  f1 = 0
E1= +5.10-6.13-0.68+1.70 = -0.010
2. Ecuación Condicional del Circuito II:
V2-V5+V6+0.020 = 0  f2 = 0
E2= 2.340+0.680-3.000 = +0.020
3. Ecuación Condicional del Circuito III:
V3-V6-V7+0.050 = 0  f3 = 0
E3= -1.250+3.000-1.750 = +0.050
4. Ecuación Condicional del Circuito IV (Ficticio):
-V1-V2+V8+0.060 = 0  f4 = 0
E4= -5.100-2.340+7.500 = +0.060

36. CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 K
L1= 4 L2= 3 L3= 2 L4= 3 L5= 2 L6= 2 L7= 2 L8= 0
1 a1= 1 a2= 0 a3= 0 a4= 1 a5= 1 a6= 0 a7= 1 a8= 0 - 0.010= 0
2 b1= 0 b2= 1 b3= 0 b4= 0 b5= -1 b6= 1 b7= 0 b8= 0 +0.020= 0
3 c1= 0 c2= 0 c3= 1 c4= 0 c5= 0 c6= -1 c7= -1 c8= 0 +0.050= 0
4 d1= -1 d2= -1 d3= 0 d4= 0 d5= 0 d6= 0 d7= 0 d8= 1 +0.060= 0
S S1= 0 S2= 0 S3= 1 S4= 1 S5= 0 S6= 0 S7= 0 S8= 1 ///////////////
DETERMINACION DE LAS ECUACIONES NORMALES CORRESPONDIENTES
A LAS RESPECTIVAS ECUACIONES CONDICIONALES
1
ra
EC. NORMAL: [aa]1 + [ab]2 + [ac]3 + [ad]4 + K1 = 0
2
da
EC. NORMAL: [ab]1 + [bb]2 + [bc]3 + [bd]4 + K2 = 0
3
ra
EC. NORMAL: [ac]1 + [bc]2 + [cc]3 + [cd]4 + K3 = 0
4
ta
EC. NORMAL: [ad]1 + [bd]2 + [cd]3 + [dd]4 + K4 = 0

37. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LOS
TERMINOS DE LAS ECUACIONES NORMALES
1 2 3 4 K S
a1a1L1= 4 a1b1L1= 0 a1c1L1= 0 a1d1L1= -4 a1S1 L1= 0
a2a2L2= 0 a2b2L2= 0 a2c2L2= 0 a2d2L2= 0 a2S2L2= 0
a3a3L3= 0 a3b3L3= 0 a3c3L3= 0 a3d3L3= 0 a3S3L3= 0
a4a4L4= 3 a4b4L4= 0 a4c4L4= 0 a4d4L4= 0 a4S4L4= 3
a5a5L5= 2 a5b5L5= -2 a5c5L5= 0 a5d5L5= 0 a5S5L5= 0
a6a6L6= 0 a6b6L6= 0 a6c6L6= 0 a6d6L6= 0 a6S6L6= 0
a7a7L7= 2 a7b7L7= 0 a7c7L7= -2 a7d7L7= 0 a7S7L7= 0
a8a8L8= 0 a8b8L8= 0 a8c8L8= 0 a8d8L8= 0 a8S8L8= 0
[aaL] = 11 [abL] = -2 [acL] = -2 [adL] = -4 K1= -0.010 [aSL] = 3 1°EC.NORM
b1b1L1= 0 b1c1L1= 0 b1d1L1= 0 b1S1L1= 0
b2b2L2= 3 b2c2L2= 0 b2d2L2= -3 b2S2L2= 0
b3b3L3= 0 b3c3L3= 0 b3d3L3= 0 b3S3L3= 0
b4b4L4= 0 b4c4L4= 0 b4d4L4= 0 b4S4L4= 0
b5b5L5= 2 b5c5L5= 0 b5d5L5= 0 b5S5L5= 0
b6b6L6= 2 b6c6L6= -2 b6d6L6= 0 b6S6L6= 0
b7b7L7= 0 b7c7L7= 0 b7d7L7= 0 b7S7L7= 0
b8b8L8= 0 b8c8L3= 0 b8d8L3= 0 b8S8L8= 0
[abL] =-2 [bbL] = 7 [bcL]= -2 [bdL]= -3 K2=+0.020 [bSL] = 0 2°EC.NORM
c1c1L1= 0 c1d1L1= 0 c1S1L1= 0
c2c2L2= 0 c2d2L2= 0 c2S2L2= 0
c3c3L3= 2 c3d3L3= 0 c3S3L3= 2
c4c4L4= 0 c4d4L4= 0 c4S4L4= 0
c5c5L5= 0 c5d5L5= 0 c5S5L5= 0
c6c6L6= 2 c6d6L6= 0 c6S6L6= 0
c7c7L7= 2 c7d7L7= 0 c7S7L7= 0
c8c8L8= 0 c8d8L8= 0 c8S8L8= 0
[acL] =-2 [bcL] = -2 [ccL] = 6 [cdL] = 0 K3= +0.050 [cSL] = 2 3°EC.NORM
d1d1L1= 4 d1S1L1= 0
d2d2L2= 3 d2S2L2= 0
d3d3L3= 0 d3S3L3= 2
d4d4L4= 0 d4S4L4= 0
d5d5L5= 0 d5S5L5= 0
d6d6L6= 0 d6S6L6= 0
d7d7L7= 0 d7S7L7= 0
d8d8L8= 0 d8S8L8= 0
[adL] =-4 [bdL] = -3 [cdL] = 0 [ddL] = 7 K3= +0.060 [dSL] = 0 4°EC.NORM

38. Luego las ECUACIONES NORMALES son:
1) 111 - 22 - 23 - 44 = +0.010
2) -21 + 72 - 23 - 34 = -0.020
3) -21 - 22 + 63 - 04 = -0.050
4) -41 - 32 + 03 + 74 = -0.060
Coef. Matriz A Term Indpdte B
11 -2 -2 -4 +0.010
-2 7 -2 -3 -0.020
-2 -2 6 0 -0.050
-4 -3 0 7 -0.060
Matriz Inversa A-1
A-1
B
0.235556 0.204444 0.146667 0.222222 -0.022400
0.204444444 0.375556 0.193333 0.277778 -0.031800
0.146666667 0.193333 0.280000 0.166667 -0.026400
0.222222222 0.277777 0.166667 0.388889 -0.03500
SOLUCION DEL SISTEMA DE EC.NORMALES:
1 = -0.022400
2 = -0.031800
3 = -0.026400
4 = -0.03500
Del cuadro resumen de las Ecuaciones Condicionales se obtienen las Ecuaciones correlativas Vi, o
sea las expresiones para el cálculo de las correcciones.
Estos valores 1, 2, 3, 4
se remplazan en las EC.
CORRELATIVAS para
obtener las correcciones
V1, V2, V3, V4,..., V8

39. CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 K
L1= 4 L2= 3 L3= 2 L4= 3 L5= 2 L6= 2 L7= 2 L8= 0
1 a1= 1 a2= 0 a3= 0 a4= 1 a5= 1 a6= 0 a7= 1 a8= 0 - 0.010= 0
2 b1= 0 b2= 1 b3= 0 b4= 0 b5= -1 b6= 1 b7= 0 b8= 0 +0.020= 0
3 c1= 0 c2= 0 c3= 1 c4= 0 c5= 0 c6= -1 c7= -1 c8= 0 +0.050= 0
4 d1= -1 d2= -1 d3= 0 d4= 0 d5= 0 d6= 0 d7= 0 d8= 1 +0.060= 0
S S1= 0 S2= 0 S3= 1 S4= 1 S5= 0 S6= 0 S7= 0 S8= 1 ///////////////
Se tiene: 1= +0.022400 2 = -0.031800 3 = -0.026400 4 = -0.03500
Luego tenemos las ECUACIONES CORRELATIVAS (y remplazando valores)
V1 = 41 - 44  V1 = 4(+0.022400) – 4(-0.03500) = +0.0504”
V2 = 32 -34  V2 = 3(-0.031800) - 3(-0.03500) = +0.0096”
V3 = 23  V3 = 2(-0.026400) = -0.0528”
V4 = 31  V4 = 3(+0.022400) = -0.0672”
V5 = 21 -22  V5 = 2(+0.022400) - 2(-0.031800)= +0.0188”
V6 = 22 -23  V6 = 2(-0.031800) - 2(-0.026400) = -0.0108”
V7 = 21 -23  V7 = 2(+0.022400) -|111111111112(-0.026400) = +0.0080”
V8 = 04  V8 = 0(-0.03500) = +0.0000”

40. VERIFICACIÓN DE LAS CORRECCIONES
TRAMO Vi
CIRCUITO I CIRCUITO II CIRCUITO III CIRCUITO IV Valores Vi
Corregidos
SIGNO VALOR SIGNO VALOR SIGNO VALOR SIGNO VALOR
1 +0.0504 +0.0504 - -0.0504 +0.0504
2 +0.0096 +0.0096 - -0.0096 +0.0096
3 -0.0528 -0.0528 -0.0528
4 -0.0672 -0.0672 -0.0672
5 +0.0188 +0.0188 - -0.0188 +0.0188
6 -0.0108 -0.0108 - +0.0108 -0.0108
7 +0.0080 +0.0080 -0.0080 +0.0080
8 +0.0000 0.0000 +0.0000
De la ecuación del
Circuito
=
Ec=
+0.0100
-0.0100
0.0000
-0.0200
+0.0200
0.0000
-0.0500
+0.0500
+0.0000
-0.0600
+0.0600
+0.0000

41. DIFERENCIAS DE NIVEL COMPENSADAS
TRAMO
DIF.
NIVEL
CORRECCIONES
Vi
DIFERENCIAS
NIVEL
COMPENSADAS
CROQUIS CON DESNIVELES CORREGIDOS
+5.1504
L1=4Km
-6.1972
L4=3Km
-1.3028
L3=2Km
+2.3496
L2=3Km
-0.6612
L5=2Km
-
3
.
0
1
0
8
L
6
=
2
K
m
B
A
BM Y
C
+1.7080
L7=2Km
BM X
BM X=100.000
BM X=100.000
BM Y=107.500 V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
1 5.1000 V1= +0.0504 5.1504
2 2.3400 V2= +0.0096 2.3496
3 -1.2500 V3= -0.0528 -1.3028
4 -6.1300 V4= -0.0672 -6.1972
5 -0.6800 V5= +0.0188 -0.6612
6 -3.0000 V6= -0.0108 -3.0108
7 1.7000 V7= +0.0080 1.7080
8 7.500 V8= 0.0000 7.5000
CALCULO DE COTAS DE BMs a) COMPROBACIÓN COTAS b) COMPROBACIÓN COTAS
BM
TRAMO
COTA
msnm
BM
TRAMO
COTA
msnm
BM
TRAMO
COTA
msnm
BM X
+(1)
100.0000
5.1504
A
+(5)
105.1504
-0.6612
BM Y
+(6)
107.5000
-3.0108
A
+(2)
105.1504
2.3496
B
+(7)
104.4892
1.7080
B 104.4892
OK
BM Y
+(3)
107.5000
-1.3028
C 106.1972
OK
C
+(4)
106.1972
-6.1972
BM X 100.0000

42. EJEMPLO 3: En la siguiente red de nivelación,
calcular la cota de X (método mínimos cuadrados).

43. SOLUCION
a) Cálculo del número de ecuaciones condicionales (C):
C= L-V+q; Donde: L = Número de lados o tramos.
V = Número total de BMs.
q = Número de BMs que tienen cota.
C=4-5+4 = 3;
Sólo se requieren 3 ecuaciones condicionales independientes,
que se obtienen de cada circuito.

44. ECUACIONES QUE SALEN DE LA RED
1. Ecuación condicional del circuito I:
V1 – V2 +0.0209 = 0 → f1 = 0 E1=200.7416-10.3556-(-25.1298) -215.4949= +0.0209
2. Ecuación condicional del circuito II:
V1 – V3 +0.0055 = 0 → f2 = 0 E2=200.7416+(-10.3556)-(+3.4895) -186.8910= +0.0055
3. Ecuación condicional del circuito III:
V1 – V4 +0.0002 = 0 → f3 = 0 E3=200.7416-10.3556-(+14.6317) -175.7541= +0.0002
4. Ecuación condicional del circuito IV:
V2 – V3 +0.0154 = 0 → f4 = 0 E4=215.4949-25.1298-(+3.4895) -186.8910= -0.0154
5. Ecuación condicional del circuito V:
V2 – V4 -0.0207 = 0 → f5 = 0 E5=215.4949-25.1298-(+14.6317) -175.7541= -0.0207
6. Ecuación condicional del circuito VI:
V3 – V4 -0.0053 = 0 → f6 = 0 E6=186.8910+3.4895-(+14.6317) -175.7541= -0.0053

45. RESUTADO: 6 ECUACIONES
Como resultado se obtienen 6 ecuaciones condicionales de la red.
Según el número de ecuaciones condicionales C=3, seleccionamos sólo las 3 ecuaciones que tienen
mayor error absoluto, o sea: f1, f4 y f5, que se usarán para calcular la cota de X. Dichas ecuaciones
son:
V1 – V2 +0.0209 = 0 → f1 = 0 E1=200.7416-10.3556-(-25.1298) -215.4949= +0.0209
V2 – V3 –0.0154 = 0 → f4 = 0 E4=215.4949-25.1298-(+3.4895) -186.8910 = -0.0154
V2 – V4 –0.0207 = 0 → f5 = 0 E5=215.4949-25.1298-(+14.6317) -175.7541= -0.0207

46. SOLUCION POR LAGRANGE
F = 1 V1
2
+ 1 V2
2
+ 1 V3
2
+ 1 V4
2
76 85 131 42
U = F - 21f1 - 22f4 - 23f5
Remplazando valores:
U = 1 V1
2
+ 1 V2
2
+ 1 V3
2
+ 1 V4
2
–21(V1 – V2 +0.0209) – 22(V2 – V3 -0.0154)
76 85 131 42
–23(V2 – V4 –0.0207)  mínimo
Derivando U con respecto a Vi:
U = 2V1 –21 = 0  V1 = 761
V1 76
U = 2V2 +21 – 22 – 23= 0  V2 = –851 +852+853
V2 85
U = 2 V3 +22 = 0  V3 = –1312
V3 131
U = 2V4 +23 = 0  V4 = –423
V4 42

47. Luego las Ecuaciones Normales son:
1611 – 852 – 853 + 0.0209 = 0
–851 + 2162 + 853 – 0.0154 = 0
–851 + 852 + 1273 – 0.0207 = 0
Resolviendo el sistema de Ecuaciones Normales:
Remplazando i en las Ecuaciones Correlativas Vi:
V1= 761 = –0.0051916132” = –0.0052”
V2= –851 +852+853 = +0.015708391” = +0.0157”
V3= –1312 = +0.0003083871” = +0.0003”
V4= –423 = –0.004991616” = –0.0050”

48. VERIFICACIÓN DE LAS CORRECCIONES
TRAMO Vi CIRCUITO I CIRCUITO II CIRCUITO III Valores Vi
Corregidos
SIGNO VALOR SIGNO VALOR SIGNO VALOR
1 -0.0052 -0.0052 V1= -0.0052
2 +0.0157 - -0.0157 +0.0157 +0.0157 V2= +0.0157
3 +0.0003 - -0.0003 V3= +0.0003
4 -0.0050 - +0.0050 V4= -0.0050
De la ecuación del
Circuito
=
 Ec=
-0.0209
+0.0209
0.0000
+0.0154
-0.0154
0.0000
+0.0207
–0.0207
0.0000
Luego la aplicación de las correcciones a las diferencias de nivel para obtener las diferencias de
nivel compensadas por mínimos cuadrados serán:
Luego la aplicación de las correcciones a las diferencias de nivel para obtener las diferencias
de nivel compensadas, serán:

49. DIFERENCIAS DE NIVEL COMPENSADAS
TRAMO
DIFERENCIAS
NIVEL
CORRECCIONES
DIFERENCIAS
NIVEL
COMPENSADAS
CROQUIS CON DESNIVELES CORREGIDOS
L2=85km
d2=-25.1141
d4=+14.6267
d1=-10.3608
X
L4=42km
L1=76km
L3=131km
d3=+3.4898
C(186.8910)
A(200.7416)
D(175.7541)
B(215.4949)
V1
V2 V3
V4
1 -10.3556 V1= -0.0052 -10.3608
2 -25.1298 V2= +0.0157 -25.1141
3 +3.4895 V3= +0.0003 +3.4898
4 +14.6317 V4= -0.0050 +14.6267
CALCULO DE COTAS DE BMs a) COMPROBACIÓN COTAS b) COMPROBACIÓN COTAS
BM
TRAMO
COTA
msnm
BM
TRAMO
COTA
msnm
BM
TRAMO
COTA
msnm
BM A
+(1)
200.7416
-10.3608
BM B
+(2)
215.4949
-25.1141
BM B
+(2)
215.4949
-25.1141
X
-(2)
190.3808
25.1141
X
-(3)
190.3808
-3.4898
X
-(4)
190.3808
-14.6267
BM B 215.4949
OK
BM C 186.8910
OK
BM D 175.7541
OK
DIFERENCIAS DE NIVEL COMPENSADAS
F I N F. Cruz M.

50. PRACTICA DOMICILIARIA
Determinar las cotas de los vértices de la siguiente red de nivelación.
a) Sin considerar las distancias.
b)Teniendo en cuenta las distancias.
1) En la siguiente red de nivelación:
I
II

51. 2) En la siguiente red de nivelación, determinar las
cotas ortométricas de los demás vértices.

52. 3) En la red de nivelación mostrada; determinar las cotas
ortométricas de los demás vértices A, B, E, D, M y N.

53. 4) Ajuste de la Red de Triangulación Trigonométrica – Mala.
a) Calcular las cotas de los vértices en el sentido horario, como una
poligonal perimétrica, partiendo de San Antonio (cota
64.9849msnm).
b) Calcular las cotas de los vértices de la Triangulación por mínimos
cuadrados, teniendo los desniveles y distancias de los lados,
incluyendo las diagonales.
c) En un cuadro mostrar la comparación de cotas y encontrar la
diferencia de cotas (cota por nivelación trigonométrica; cota por
mínimos cuadrados; diferencia de cotas y un comentario).
BAS
E
1
3
4 8
1
2 21
22
7
HUECO
MIRADOR
MALA
SAN
ANTONIO
ABEJAS
6
5
12
11
17
18
23
24
TORRE AZPITIA
COCOTE
BA
SE
2
10
9
14
13
15
16
19
20
RED DE AJUSTE DE LA NIVELACION TRIGONOMÉTRICA
(En función de distancias horizantales y desniveles promedio)
1535.431 m
+167.550
4365.358 m
+21.950
1986.971 m
+26.720
2417.021 m
+149.306
2871.857 m
-203.251
3064.378 m
-36.020
4490.343 m
+86.320
3985.817 m
-90.887
1983.674 m
-85.279
2808.037 m
+104.274
4134.722 m
+139.447
2392.056 m
+153.298
1647
.394
m
-18
.948
2297
.123
m
+64
.234
2638
.379
m
-11
7.49
6
1664.375
m
+126.58
7
V1
V2
V5
V3
V6
V4
V9
V11
V10
V7
V8
V14
V16
V15
V12
V13
COTA
64.9849 msnm

54. BAS
E
1
3
4 8
1
2 21
22
7
HUECO
MIRADOR
MALA
SAN
ANTONIO
ABEJAS
6
5
12
11
17
18
23
24
TORRE AZPITIA
COCOTE
BA
SE
2
10
9
14
13
15
16
19
20
RED DE AJUSTE DE LA NIVELACION TRIGONOMÉTRICA
(En función de distancias horizantales y desniveles promedio)
1535.431 m
+167.550
4365.358 m
+21.950
1986.971 m
+26.720
2417.021 m
+149.306
2871.857 m
-203.251
3064.378 m
-36.020
4490.343 m
+86.320
3985.817 m
-90.887
1983.674 m
-85.279
2808.037 m
+104.274
4134.722 m
+139.447
2392.056 m
+153.298
1647
.394
m
-18
.948
2297
.123
m
+64
.234
2638
.379
m
-11
7.49
6
1664.375
m
+126.58
7
V1
V2
V5
V3
V6
V4
V9
V11
V10
V7
V8
V14
V16
V15
V12
V13
COTA
64.9849 msnm
C=L-V+q
C=6-4+1= 3