Laboratorio Nº5, Fisica I - FIEE - UNI

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA – INFORME Nª5
FIEE - ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRICA Página 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
INFORME DE LABORATORIO N°5
ESTUDIANTES:
Baldoceda Ríos,Neill Albert (20174082G)
Mar Cuadros, Renzo Andrés (20170418K)
Tiburcio Peláez, Hugo Alberto (20161458C)
Mena Chávez, Sergio Luis (20170446D)
SECCIÓN: P
Fecha de entrega: 26 de noviembre del 2017
TEMA:
DINÁMICA DE ROTACIÓN
MATERIA: FÍSICA (FI-203)
CICLO: 2017 – II

INDICE
 Introducción 4
 Resumen 5
 Objetivos 5
 Fundamento Teórico 6
 Rotaciones y Momento de Inercia 6
 Teorema de Steiner 9
 Variación de la energía cinética 11
 Relación entre energía y trabajo 13
 Procedimiento 14
 Materiales 15
 Análisis de resultados 17
 Calculo de los tiempos de recorrido 17
 Cálculo de la pendiente de la grafica 𝑥 𝑣𝑠 𝑡2
18
 Cálculo del momento de inercia mediante la pendiente de 𝑥 𝑣𝑠 𝑡2
21
 Cálculo del momento de inercia mediante fórmula 21
 Conclusiones 22
 Recomendaciones 23
 Bibliografía 23

INTRODUCCIÓN
En el siguiente laboratorio se estudiará el momento de inercia de un objeto, en este
caso será la rueda de Maxwell, a partir de conceptos como el de rodadura y el de
conservación de energía mecánica. Se mostrará y comparara los resultados
experimentales y teóricos, dándonos una visión de los que es el momento de inercia
de objeto, además de las condiciones en las cuales se realiza la medición, que pueden
alterar los datos que se van registrar. Esto ha creado una gran variedad de conceptos
y técnicas las cuales se van estructurando y conforman lo que ahora entendemos
tanto por Teoría de errores y Técnicas de medición.
El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a verificar cambios
en su momento de rotación. Es la analogía rotacional de la masa. El momento de
inercia depende de la distribución de la masa dentro del objeto respecto al eje de
rotación. Cuanto más lejos está la masa del eje, mayor es el momento de inercia. Así,
al contrario que la masa de un objeto, que es una propiedad del mismo objeto, su
momento de inercia dependerá también de la localización del eje de rotación.
Para el desarrollo de estos temas nos apoyarnos en criterios que a partir de la
experiencia se han demostrado. Se ha podido observar y contrastar con la realidad a
lo largo del desarrollo de estas actividades.

RESUMEN
En el presente informe se analizará los datos obtenidos en el laboratorio
correspondiente al tema de dinámica rotacional, se detallará cada resultado y
conclusiones, así como también las observaciones de los experimentos realizados.
Nuestro objetivo será observar el movimiento de rotación de una rueda de Maxwell y
determinaremos su momento de inercia con respecto al eje perpendicular que pasa
por su centro de gravedad. Para ello utilizaremos el principio de conservación de
energía la cual nos ayudara a encontrar el valor de aquel momento de inercia
experimentado.
OBJETIVOS
 Analizar el movimiento de una rueda de Maxwell, aplicando conceptos de
dinámica y energía; hallando también de forma experimental su momento de
inercia, afianzando nuestros conocimientos sobre el tema.
 Determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular
que pasa por su centro de su gravedad.
 Comparar los resultados teóricos con los experimentales.
 Analizar el movimiento de un cuerpo rígido, aplicando los conceptos de
dinámica y energía en una rueda de Maxwell en traslación y rotación.
 Encontrar experimentalmente la relación entre la energía potencial y la
energía cinética de traslación y de rotación de un cuerpo que inicia su
movimiento partiendo del reposo sobre un plano inclinado constituido por dos
ejes.

FUNDAMENTO TEÓRICO
Rotaciones y momento de inercia
Cuando un disco sólido, por ejemplo, una rueda, gira en relación a un eje, como se
ilustra en la figura, hablaremos de rotación. Debes notar que en estos casos cada
punto del disco posee un movimiento circunferencial en relación al eje de giro.
Mientras todos los puntos poseen la misma rapidez angular, solo poseen igual
rapidez y aceleración los que se encuentran a igual distancia del eje de giro.
Es decir, en la imagen:
 Todos los puntos de la rueda poseen, respecto del eje de giro, igual velocidad
angular (ω)
 Respecto del eje de giro P y Q tienen igual rapidez angular (ω), pero distinta
rapidez y distinta aceleración centrípeta (𝑎), las cuales dependen de su
distancia al eje de rotación.
El concepto de masa expresa la dificultad que presenta un objeto para que una
fuerza modifique su estado de movimiento. Mientras más masa posea un objeto,
mayor fuerza debemos aplicar para que al trasladarlo alcance cierta rapidez, o bien
para detenerlo o también para desviar su trayectoria. Para hacer girar un cuerpo
alrededor de un cierto eje ocurre algo similar.
Seguramente te has dado cuenta de que el esfuerzo que debes hacer para rotar un
objeto, por ejemplo, un libro, depende del eje en relación al cual lo hagas. Verifica lo
que se ilustra en la figura.

El concepto físico que da cuenta de este hecho es el momento de inercia, que
expresaremos por I. Esta es una magnitud más compleja, pues depende tanto de la
masa, como del modo en que ella está distribuida en relación al eje de giro.
Para el caso simple de una masa m situada en el extremo de una varilla de largo l, el
momento de inercia corresponde, por definición, a I = ml2
, si el eje de giro es el que
se indica en la figura 8. Por razones de simplicidad suponemos despreciable la masa
de la varilla.
Mientras más larga sea la varilla; es decir, a mayor l, mayor es su momento de
inercia o, dicho de otro modo, mientras más alejada se encuentre la masa del eje de
giro, mayor será el valor de l.

Esto tiene algunas aplicaciones que con seguridad ya conoces. Debes haber
equilibrado, por ejemplo, una escoba con un dedo, como se ilustra en la figura 9a.
¿En cuál de los siguientes casos resulta más difícil mantener una varilla en
equilibrio?
Si tienes dudas debes hacer la prueba. Entre los casos a y b, es más fácil mantener
el equilibrio de la escoba en el caso a. Entre los casos c y d es más fácil equilibrar la
varilla más larga. Esto ocurre porque en relación al eje de giro (la mano de la
persona) el momento de inercia es mayor en a que en b y mayor en c que en d. Por
otra parte, en a es más fácil que en c, pues hay más masa lejos del eje de giro.
Otra situación en que un gran momento de inercia resulta de utilidad, es el caso del
equilibrista en la cuerda floja (figura 10), quien sostiene entre sus manos una larga
varilla.
Literalmente se está sujetando de ella, pues presenta un gran momento de inercia.
La figura 11 propone un experimento simple. Construye el sistema que se ilustra en
dicha figura teniendo en cuenta que puedes colgar de una pitilla una varilla de
madera para maquetas en la cual has enterrado un par de naranjas. ¿En cuál de los
dos casos (a o b) el sistema posee un mayor momento de inercia?

En ambos casos la masa del sistema es la misma, pero ella está distribuida de
distinta manera. En el caso a la masa está más alejada del eje de giro y por tanto allí
el momento de inercia es mayor. Al aplicar en ambos casos un torque que saque del
reposo el sistema, constataremos que en el caso b el sistema opone menos
dificultad para rotar. Ahora bien, si pones ambos sistemas a rotar al mismo tiempo,
¿cuál de ellos se mantiene más tiempo en rotación? ¿Por qué?
Teorema de Steiner
Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría)
son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de
simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje
arbitrario puede ser engorroso, incluso para sólidos con alta simetría.
El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifica los
cálculos.
Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje
que pase por el centro de masas de un objeto
Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a
cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D
𝐼 = 𝐼 𝐶𝑀 + 𝑀𝑑2

Procedemos ahora la demostración del Teorema:
Tomemos un elemento de masa dm, situado en el cuerpo, con coordenadas (x,y). Si
ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del
objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán (x',y')
Y se cumplirá:
𝑥 = 𝑥′ + 𝑥 𝐶𝑀
𝑦 = 𝑦′ + 𝑦 𝐶𝑀
Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa
por el centro de masas:

Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas:
La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM.
La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es
la distancia al cuadrado entre los dos ejes. por tanto:
𝐼 = 𝐼 𝐶𝑀 + 𝑀𝑑2
Conservación de la energía mecánica
La energía cinética del sólido causada por el movimiento de rotación será entonces:
El sumatorio es el momento de inercia del sólido con respecto al eje de rotación,
luego:
Esta energía corresponde a la energía cinética interna, ya que tiene está referida al
centro de masas. Si éste a su vez se está moviendo con respecto a un origen, la
energía cinética total del sólido se calculará sumando la energía cinética de rotación
y la de traslación del centro de masas (energía cinética orbital):
A la hora de aplicar el Teorema de Conservación de la Energía habrá que tener en
cuenta estos nuevos términos.

Variaciónde la energía cinética
Imaginemos ahora un sistema formado por dos partículas, sobre las que actúan
fuerzas externas (en verde) y fuerzas internas (en rojo).
En cada instante, la energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de
cada partícula; por tanto, la variación de energía cinética del sistema en un intervalo
de tiempo será:
Aplicando para cada partícula que la variación de su energía cinética es igual al
trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre ella:
Sumando ambas variaciones, obtenemos finalmente que:
Es importante destacar que, aunque la suma de las fuerzas internas siempre es
cero, no lo es la suma de los trabajos realizados por ellas, ya que para calcular el
trabajo hay que tener en cuenta la trayectoria que describe cada partícula.

.
Relación entre energía y trabajo
En términos de la energía propia, el trabajo de las fuerzas externas es:
Podemos distinguir tres casos:
Sistema aislado (no actúan fuerzas externas): el trabajo de las fuerzas externas es
nulo de lo que se deduce que en un sistema aislado la energía se conserva.
Las fuerzas externas son conservativas: en este caso el trabajo de dichas fuerzas se
expresa en función de una energía potencial externa. Sustituyendo:
La energía mecánica de un sistema es la suma de la energía cinética, la potencial
interna y la potencial externa.
Entonces, cuando las fuerzas internas y externas son conservativas, la energía
mecánica del sistema se conserva.

Actúan fuerzas de rozamiento (no conservativas): en el término del trabajo de las
fuerzas externas hay que considerar también el trabajo realizado por las fuerzas de
rozamiento, y la expresión final queda:
∆𝐸 = 𝑊𝑟𝑜𝑧
Es decir, cuando actúan fuerzas de rozamiento, la variación de energía mecánica es
igual al trabajo de las fuerzas de rozamiento.
PROCEDIMIENTO
1. Usando el nivel de burbuja mida nivele el plano que sirve de soporte de los
rieles
2. Marque en los rieles los puntos A0, A1, A2, A3, A4, cada uno con 10
centímetros de separación entre ellos.
3. Mida con el pie de rey el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los
rieles. Tenga en cuenta que los rieles han sufrido desgaste desigual
4. Fije la inclinación de los rieles de manera que la rueda experimente un
movimiento de rodadura pura (sin patinaje)
5. Coloque la rueda en reposo en la posición A0, suéltela, Luego, se utiliza el
cronómetro para tomar las medidas de tiempo que toma a la rueda para
deslizarse desde el punto A0, hasta A1. Se repite el procedimiento 3 veces y
se anota en una tabla. Luego, se repite el procedimiento para los tramos
𝐴0𝐴2̅̅̅̅̅̅̅, 𝐴0𝐴3̅̅̅̅̅̅̅ y para 𝐴0𝐴4̅̅̅̅̅̅̅ se toman 10 mediciones.
6. Mida la masa del volante y la diferencias en las alturas entre las posiciones
𝐺0 𝑦 𝐺4
7. Modifique la inclinación de los rieles (teniendo cuidado de evitar el
desplazamiento de la rueda) y mida tres veces t4 y la nueva diferencia de las
alturas entre 𝐺0 𝑦 𝐺4

8. Mida los radios espesores y longitudes de la rueda de Maxwell y su eje (tal
como si fuéramos a calcular su volumen)
MATERIALES
Ahora daremos a conocer los instrumentos y equipos que utilizamos en el laboratorio de
dinámica de rotación.
Cronómetro
Nivel

Rueda de Maxwell
Rieles paralelos
Regla

Balanza
Pie de rey
ANALISIS DE RESULTADOS
Cálculo de los tiempos de recorrido
Hallaremos el tiempo real estimado en el que la rueda recorte las distancias
A0A1, A0A2 , A0A3 y A0A4 para lo cual solo calcularemos el promedio entre los
tiempos que medimos con el cronometro. Ya que los errores aumentaran
conforme aumente la distancia se mediara el tiempo de llegada del punto A0
hasta A410 veces.
Los tiempos que hallemos serán los que emplearemos para la gráfica 𝑥 𝑣𝑠 𝑡2
Estos datos aparecen en la siguiente tabla:

𝐀 𝟎 𝐀 𝟏
̅̅̅̅̅̅̅ 𝐀 𝟎 𝐀 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅ 𝐀 𝟎 𝐀 𝟑
̅̅̅̅̅̅̅ 𝐀 𝟎 𝐀 𝟒
̅̅̅̅̅̅̅
𝑡1 5.7 8.12 10.22 11.62
𝑡2 5.64 8.24 10.1 11.86
𝑡3 5.41 8.14 10.24 11.71
𝑡4 5.31 8.26 10.1 11.78
𝑡5 5.52 8.16 10.27 11.87
𝑡6 - - - 11.74
𝑡7 - - - 11.71
𝑡8 - - - 11.67
𝑡9 - - - 11.7
𝑡10 - - - 11.58
Tiempo
Promedio
5.516 8.184 10.186 11.724
Cálculo de la pendiente de la grafica 𝒙 𝒗𝒔 𝒕 𝟐
Ahora debemos hallar una expresión que relacione a la distancia recorrida, al
tiempo y al momento de inercia, que es lo que deseamos hallar.
Además de las posiciones de la rueda y los tiempos tenemos como datos al
ángulo que forma la rampa con el suelo, el radio de la sección que realiza el giro
de la rueda y su masa.

Nuestros datos son:
𝑀𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 = 0.3673 𝑘𝑔
𝑔 = 9.81 𝑚
𝑠2⁄
𝑟𝑒𝑗𝑒 = 0.0024 𝑚
𝜃 = 7.68°
Ahora relacionaremos la energía mecánica con la cinemática del centro de masa
de la rueda, la cual, tendrá aceleración constante pues la única fuerza que actúa
sobre la rueda es su peso
Ahora, hallaremos dicha expresión
Vamos a partir de la expresión de conservación de energía mecánica, empleando
el nivel de referencia en el que ℎ 𝐴4 = 0. En este punto, la energía potencial de la
pueda en el punto 𝐴4 y la cinética en el punto 𝐴0 serán igual a 0.
𝑚𝑔ℎ =
1
2
𝑚𝑣0
2
+
1
2
𝐼
𝑣0
2
𝑟2
Además, ya que la aceleración del centro de masa es constante, se cumplirán las
siguientes ecuaciones:
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
𝑣0 =
2𝑥
𝑡
A partir de esto, tendremos la siguiente expresión:
𝑥 [
2
𝑀𝑔
(𝑀 +
𝐼
𝑟2
) 𝑐𝑠𝑐𝜃] = 𝑡2
Podemos observar entonces que [
2
𝑀𝑔
(𝑀 +
𝐼
𝑟2 ) 𝑐𝑠𝑐𝜃] es una valor constante y que
𝑥 es directamente proporcional a 𝑡2
. Si reescribimos esta expresión, tendremos:
2
𝑀𝑔
(𝑀 +
𝐼
𝑟2
) 𝑐𝑠𝑐𝜃 =
𝑡2
𝑥
Lo cual puede interpretarse como que el valor constante de [
2
𝑚𝑔
(𝑀 +
𝐼
𝑟2 ) 𝑐𝑠𝑐𝜃]
será equivalente a la pendiente de la gráfica de 𝑥 𝑣𝑠 𝑡2
.

2
𝑀𝑔
(𝑀 +
𝐼
𝑟2
) 𝑐𝑠𝑐𝜃 = 𝑚 𝑥 𝑣𝑠 𝑡2
Para calcular dicha pendiente, utilizaremos el método de mínimos cuadrados (𝑥
en el eje 𝑥 y 𝑡2
en el eje 𝑦), cuya fórmula es:
𝑚 =
∑ 𝑥𝑦 −
(∑ 𝑥)(∑ 𝑦)
𝑛
∑ 𝑥2 −
(∑ 𝑥)2
𝑛
Ahora hallaremos los datos necesarios para reemplazar en la fórmula de mínimos
cuadrados. Se pueden apreciar en la siguiente tabla:
Distancia
(m)
Tiempo al cuadrado
(s2
)
𝒙 𝒚 𝒙𝒚 𝒙 𝟐
0.1 30.426256 3.0426256 0.01
0.2 66.977856 13.3955712 0.04
0.3 103.754596 31.1263788 0.09
0.4 137.452176 54.9808704 0.16
∑ 𝒙 = 1 ∑ 𝒚 = 338.610884 ∑ 𝒙𝒚= 102.545446 ∑ 𝒙 𝟐 = 0.3
(∑ 𝒙) 𝟐 = 1
Y si reemplazamos en la fórmula tendremos:
𝑚 =
102.545 −
(1)(338.61)
4
(0.3)2 −
1
4
𝑚 = 357.8545
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Gráficade x vs t2

Cálculo del momento de inercia mediante la pendiente de 𝒙 𝒗𝒔 𝒕 𝟐
Recordando la igualdad anterior
2
𝑀𝑔
(𝑀 +
𝐼
𝑟2
) 𝑐𝑠𝑐𝜃 = 𝑚 𝑥 𝑣𝑠 𝑡2
Reemplazamos con los datos:
2
(0.3673)(9.81)
(0.3673 +
𝐼
(0.0024)2
)csc(7.68) = 357.8545
Y finalmente despejamos 𝐼𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 :
Irueda = 4.94 x 10−4
Cálculo del momento de inercia mediante fórmula
La fórmula para hallar el momento de inercia de una rueda es:
𝐼𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 =
𝑀𝑅2
2
Para esta fórmula solo necesitamos la masa de la rueda de Maxwell y su radio
𝑀𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 = 0.3673 𝑘𝑔
𝑅 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 = 0.1247 𝑚
Reemplazando:
𝐼𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 =
(0.3673)(0.1247)2
2
Irueda = 7.13 x 10−4
Teniendo en cuenta que no se ha calculado el momento de inercia de las partes
de la rueda de manera independiente, y se la ha considerado como una sola
pieza, el error es de tan solo el 30.7 %
Esto indica que nuestros cálculos anteriores se han aproximado al momento de
inercia real de la rueda.

CONCLUSIONES
1. Se logró comprobar la conservación de la energía aplicada al movimiento de
la rueda de Maxwell, esto porque se despreció la fuerza de rozamiento
existente entre la rueda y las rieles, por lo tanto, se consideró un sistema
donde solo actúan fuerzas conservativas.
2. La grafica de tiempo al cuadrado vs variación de distancia obtenida fue una
recta, corroborando de esta forma que el momento de inercia de la rueda
permanecía constante, con ligeras fluctuaciones de error, que se puede deber
a errores al momento de realizar las medidas, fuerza de rozamiento (riel-
rueda) o efectos externos que afecten nuestro sistema en estudio.
3. Al realizar el cálculo teórico del momento de inercia de la rueda se obtuvo una
cantidad diferente al obtenido de forma experimental, lo que genero un
porcentaje de error relativamente elevado, esto se debe a que en el cálculo
del momento de inercia por partes de la rueda de maxwell, se cometen fallos,
a la hora de tomar medidas, calcular volúmenes, ya que no son cuerpos que
puedan considerarse solidos ideales pero es lo que se asume, además la
densidad del material no es siempre constante, ya que posee ciertas
variaciones en ciertos puntos; todos esos factores originan errores, que a
pesar de que sean mínimos, al sumarlos son relativamente considerables.

RECOMENDACIONES
1. Ser preciso a la hora de nivelar el tablero, así como también cuando se le
hacen las mediciones correspondientes a la rueda, masa y diámetro un par de
veces para estar seguros.
2. A la hora acomodar los rieles, inclinarlo de forma que la rueda no deslice, a
esto se llegara haciendo una inclinación con una pendiente no tan
pronunciada. De esta manera se puede apreciar mejor la rodadura de la rueda
3. Tomar varios tiempos nos ayudara a minimizar el error que se cometa a la
hora de identificar los tiempos que demora la rueda en ir de una marca a otra,
mediante un promedio de estos.
BIBLIOGRAFIA
1. Alonso, Marcelo y Finn, Edward. Física: Mecánica (1990)
2. Russell C. Hibbeler. Ingeniería Mecánica - Dinámica (2010)
3. SEARS Francis W. Zemansky Huaraca Mark, Young Hugo, Freed Man. Física
universitaria (2009).
4. Leyva Naveros, Humberto. Física I (1995).

Laboratorio Nº5, Fisica I - FIEE - UNI

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Laboratorio Nº5, Fisica I - FIEE - UNI

Similar a Laboratorio Nº5, Fisica I - FIEE - UNI (20)

Último

Último (20)

Laboratorio Nº5, Fisica I - FIEE - UNI