Este documento explica el sistema de coordenadas polares, que utiliza un ángulo (θ) y una distancia (r) para localizar puntos en el plano. Se define el polo y el eje polar, y cómo medir θ en radianes. También cubre cómo trazar puntos y gráficas con coordenadas polares, incluidos círculos, caracoles y curvas de rosa. Por último, explica cómo calcular el área de una región limitada por una función r = f(θ).

1. UNIVERSIDAD "FERMÍN TORO"
SISTEMAS INTERACTIVOS DE EDUCACIÓN A DISTANCIA (SAIA)
CABUDARE.
COORDENADAS
POLARES
APELLIDO Y NOMBRE: Laura Estefanía Ortega Pérez
SECCIÓN SAIA: MAT241-SAIAA-1
PROFESORA: Domingo Méndez

2. COORDENADAS
POLARES
En un sistema de coordenadas
rectangulares o cartesiano se
puede localizar un punto con
una sola pareja de puntos (x,y)
estos valores son las distanicas
dirigidas, partiendo del origen,
desde los ejes x e y
respectivamente. El origen es el
punto donde se intersectan los
dos ejes coordenados.
Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares. En este
sistema se necesitan un ángulo (q) y una distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos
una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

3. Para formar el sistema de
coordenadas polares en
el plano, se fija un punto
O, llamado polo (u
origen), ya partir de O, se
traza un rayo inicial
llamado eje polar, como
se muestra en la figura. A
continuación, a cada
punto P en el plano se le
asignan coordenadas
polares (r, θ)

4. •θ es positivo cuando se mide en sentido contrario de las agujas del reloj
y negativo cuando se mide en sentido de las manecillas
•El ángulo asociado con el punto no es único.
•Pueden tener valores r negativos.
TEOREMA

5. Trazo de Puntos en Coordenadas
polares
• Ejemplos: Localice los
puntos en del siguiente
conjuntos de
coordenadas.
(4,
5
6
𝜋)
(4, −
7
6
𝜋) (4, −
1
6
𝜋)

6. Trazo de Gráficas en
Coordenadas Polares
• Dibujar la gráfica de 𝑟 = 2 cos 3 𝜃
NOTA : Una forma de bosquejar la
gráfica de 𝑟 = 2 cos 3𝜃 a mano, es
elaborar una tabla de valores.

7. Trazo de Gráficas en Coordenadas Polares

8. Gráficas polares especiales
Varios tipos importantes
de gráficas tienen
ecuaciones que son más
simples en forma polar
que en forma cartesiana.
Por ejemplo, la ecuación
polar de un círculo de
radio a y centro en el
origen es simplemente r =
a.

9. Gráficas polares especiales
Caracoles
𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 cos 𝜃
𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃
( 𝑎 > 0, 𝑏 > 0)

10. Gráficas polares especiales
Curvas rosa
n pétalos si n es impar
2n pétalos si n es par
(𝑛 ≥ 2)

11. Gráficas polares especiales
Círculos y lemniscatas

12. Área en Coordenadas Polares
• Obsérvese que el área de un sector cicular de
radio r está dada por
1
2
𝜃 𝑟2
siempre que esté
dado en radianes.

13. Área en Coordenadas Polares
• Considérese la función dada por 𝑟 = 𝑓 (𝜃)
donde es f continua y negativa en el intervalo
dado por α ≤ 𝜃 ≤ 𝛽. La región limitada por
la gráfica f de y las rectas 𝜃 = 𝛼 𝑦 𝜃 = 𝛽
radiales.

14. Área en Coordenadas Polares
• 𝐴 ≈ 𝑖=1
𝑛 1
2
∆ 𝜃 𝑓(𝜃𝑖
2
Tomando el límite cuando 𝑛 → ∞ se
obtiene
𝐴 = lim
𝑛→∞
1
2
𝑖=1
𝑛
𝑓 (𝜃𝑖) 2
∆𝜃
=
1
2 𝛼
𝛽
𝑓 (𝜃) 2 𝑑𝜃
Lo cual conduce al teorema siguiente.
TEOREMA Área en Coordenadas polares
Si 𝑓 es continua y no negativa en el intervalo 𝛼, 𝛽 , 0 < β − 𝛼 ≤ 2𝜋, entonces el
área de la región limitada (o acotada) por la gráfica de 𝑟 = 𝑓 (𝜃) entre las rectas
radiales 𝜃 = 𝛼 𝑦 𝜃 = 𝛽 está dada por
𝐴 =
1
2 𝛼
𝛽
𝑓 (𝜃) 2
𝑑𝜃
=
1
2 𝛼
𝛽
𝑟2 𝑑𝜃
0 < 𝛽 − 𝛼 ≤ 2𝜋.

15. Área en Coordenadas
Polares
• Ejemplo 1: Encontrar el área de un pétalo de
la curva rosa dada por
El área de un pétalo de la curva rosa que se encuentra
entre las rectas radiales
𝜃 =
−𝜋
6
𝑦 𝜃 =
𝜋
6
𝑒𝑠
3𝜋
4