EJERCICIOS RESUELTOS DE CRITERIOS DE FALLA EN MATERIALES FRÁGILES, DÚCTILES, CURVAS S-N y DAÑO ACUMULATIVO

1. CRITERIOS DE FALLA EN MATERIALES FRÁGILES, DÚCTILES, CURVAS S-N y DAÑO
ACUMULATIVO
Datos
𝜎 𝑋 = 125 𝐾𝑆𝐼
𝜎 𝑦 = 75 𝐾𝑆𝐼
𝜏 𝑋𝑌 = 100 𝐾𝑆𝐼
𝜎 𝑢 = 175 𝐾𝑆𝐼
SOLUCION:
𝜎1 , 𝜎2=
𝜎 𝑋+𝜎 𝑌
2
+√(
𝜎 𝑋−𝜎 𝑌
2
)2 + 𝜏 𝑋𝑌
2
𝜎1=203.1 KSI
𝜎2= -3.1 KSI
LUEGO EL MATERIAL FALLARA:
MAX (| 𝜎1|,|𝜎2|)= 𝜎 𝑦
| 𝜎1| > 𝜎 𝑢 PUES 203.1 KSI>175 KSI
EL MATERIAL SIFALLARA DE ACUERDO CON EL CRITERIODE ESFUERZO NORMALMAXIMO
DATOS
𝜎 𝑋= 80 MPA
𝜎 𝑌= 100 MPA
𝜏 𝑋𝑌= 60MPA
𝜎 𝑉= 200MPA
SOLUCION:

2. 𝜎1 , 𝜎2=
𝜎 𝑋+𝜎 𝑌
2
+√(
𝜎 𝑋−𝜎 𝑌
2
)2 + 𝜏 𝑋𝑌
2
𝜎1=150.8 MPA
𝜎2= 29.2 MPA
APLICANDOELCRITERIO DE ESFUERZO NORMALMAXIMO
MAX (| 𝐺1|,|𝐺2|)= 𝐺𝑢
𝜎1=150.8 MPA ≠ 𝜎 𝑈 = 200MPA
PARA QUE EL MATERIAL FALLE EL AUMENTO DE % SERA:
∆%=
𝜎 𝑉−𝜎1
𝜎1
=
200 𝑀𝑃𝐴−150.8 𝑀𝑃𝐴
150.8 𝑀𝑃𝐴
= 32.6 %
SOLUCION:
𝑃𝑖= 600 PSI
T= 0.0335( pi)
R= 2 PULG
t= 0.1 PULG
𝜎 𝑈= 180 KSI
DE ACUERDOCON EL CRITERIO DE TRESCA:
𝜏=
𝑇
2𝜋𝑅2 𝑡
=
20.1
2𝜋22(0.1)
= 7.988 PSI
DADO QUE LOS ESFUERZOS DE TENSION Y COMPRESION ULTIMOS 𝜎 𝑈= 180 KSIY 𝜏=7.988 PSI=
7.998 * 10−3 KSI, PUES NOSERA SUFICIENTEDADO QUE EL ESFUERZO ULTIMO ES IGUAL A 180
KSI,EL MATERIAL NOFALLA
SOLUCION:

3. 𝜎 𝑋= -50 KSI
𝜎 𝑌= -35 KS
𝜏 𝑋𝑌= 40 KSI
𝜎 𝑢
𝑡I= 80 ksi
𝜎 𝑢
𝑐I= 140ksi
𝜎1 , 𝜎2=
𝜎 𝑋+𝜎 𝑌
2
+√(
𝜎 𝑋−𝜎 𝑌
2
)2 + 𝜏 𝑋𝑌
2
𝜎1= - 1.8 ksi
𝜎2= - 83.2 ksi
Aplicandoel criteriode fallade mohr:
1° cuadrante
| 𝜎1|< | 𝜎 𝑢
𝐶|
-1.8 < 140
| 𝜎2|= | 𝜎 𝑢
𝐶|
83.2 > 140
EL MATERIAL ES SEGURO YA QUE CUMPLE LAS CONDICIONESDELCRITERIO DE MOHR
Solución
𝜎 𝑢
𝑐I= 2 GPA
𝜎 𝑢
𝑐I= 4𝜎 𝑢
𝑡
𝜎 𝑢
𝑡 = 0.5 GPA
𝜎2
𝜎1
= -4
𝜎1 ≥ 0
HALLANDOLA RECTA L1
Y= 4X – 2
𝜎2 = 4𝜎1 – 2
EN LA FALLA G2= -4 G1

4. POR LO TANTO - 4 G1 = 4G1 – 2
𝜎1 = 0.25 𝐺𝑃𝐴
𝜎2 = −1 𝐺𝑃𝐴 (ESFUERZO EN LA FALLA)
𝜎 𝑥 = −95 𝑘𝑠𝑖 ; 𝜎 𝑦 = 75 𝑘𝑠𝑖 ; 𝜏 𝑥𝑦 = 29.5
𝜎𝑢 𝑡 = 150 𝑘𝑠𝑖 ; 𝜎𝑢 𝑐 = 300𝑘𝑠𝑖
𝜎1, 𝜎2 =
𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦
2
± √(
𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦
2
)2 + 𝜏 𝑥𝑦
2
𝜎1 = 79.97 ≈ 80 𝑘𝑠𝑖
𝜎2 = −99.97 ≈ −100 𝑘𝑠𝑖
𝜎2 = −𝜎𝑢 𝑐 +
𝜎𝑢 𝑐 ∗ 𝜎1
𝜎𝑢 𝑡
𝜎2 = −300 + (
300 ∗ 𝜎1
150
) 𝜎2 = −300 + 2𝜎1
 Suponiendoque el porcentaje de aumento(%C) sea“x”la carga que multiplica
𝑥 ∗ 𝜎2 = −300 + 2𝜎1 ∗ 𝑥
−100𝑥 = −300 + 2 ∗ 80𝑥
−260𝑥 = −300
𝑥 = 1.154
𝑠𝑖 𝜎2 = −100 𝑘𝑠𝑖
𝜎2´ = −100 ∗ 1.154 = −115.4 𝑘𝑠𝑖
→ % 𝐶 =
(𝜎2− 𝜎2´ )
𝜎2´
∗ 100 = −100 + 115.4 = 15.4 %
Datos
𝜎 𝑥 = 50 ; 𝜎 𝑦 = 30; 𝜏 𝑥𝑦 = 25
Solución
𝜎1, 𝜎2 =
𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦
2
± √(
𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦
2
)2 + 𝜏 𝑥𝑦
2
𝜎1, 𝜎2 =
50 + 30
2
± √(
50 − 30
2
)2 + 252

5. 𝜎1 = 67 𝑘𝑠𝑖
𝜎2 = 13 𝑘𝑠𝑖
𝜎𝑡 = max(| 𝜎1 − 𝜎2|,| 𝜎1|,| 𝜎2|)
𝜎𝑡 = max( |67 − 13||67||13|)
𝜎𝑡 = 67 𝑘𝑠𝑖
𝑆 𝑡 =
𝜎 𝑌
𝜎𝑡
=
80
67
= 1.19
𝜎 𝑥 = 80 ; 𝜎 𝑦 = 25; 𝜏 𝑥𝑦 = 45
𝜎1, 𝜎2 =
𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦
2
± √(
𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦
2
)2 + 𝜏 𝑥𝑦
2
𝜎1, 𝜎2 =
80 + 35
2
± √(
80 − 35
2
)2 + 452
𝜎1 = 107.81
𝜎2 = 7.19
𝜎 𝑌 = max(| 𝜎1 − 𝜎2|,| 𝜎1|,| 𝜎2|)
𝜎 𝑌 = max(|107.81 − 7.19||107.81||7.19|)
𝜎 𝑌 = 107.81 𝑘𝑠𝑖
9.
Solucion:
Datos del problema:
σy=300Mpa
R=5mm
Usando laecuaciónde von misesparaSm=2:
𝜎𝑚 =
𝜎𝑦
2
=> 𝜎𝑚 = 150𝑀𝑝𝑎
Usando momentoparahallarla relaciónde lascargas:
P2
D

6. 𝑃 ∗ 𝐷 = 𝑃2 ∗ 60𝑚𝑚
𝑃 ∗ √902 + 602 = 𝑃2 ∗ 60𝑚𝑚
𝑃 = 0.5𝑥𝑃2
𝑃 = 0.55𝑥𝜎𝑚𝑥𝐴 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑠 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎.
𝑃 = 0.55𝑥150𝑀𝑝𝑎𝑥𝛱𝑥(5𝑚𝑚)2
𝑃 = 6.4𝐾𝑁
10. La cáscara cilíndricadelgadaque se muestraen
figura2, está sometidaauna carga axial a compresiónP
y a una presióninternap.tiene unradiointernoRy un
espesort,estáfabricadade un material cuyoesfuerzo
de fluenciaes . Para unacarga axial fijaP,
determinarlapresiónadmisible pde tal maneraque el
factor de seguridadde VonMisesnosea menorque 2.
𝜎1 = 𝑝𝑅/𝑡
𝜎2 =
𝑃
𝛱𝑅2
𝜎𝑚 = √(𝜎12 + 𝜎22 − 𝜎1𝜎2)
𝜎2𝑚 = (
𝑝𝑅
𝑡
)2 −
𝑝𝑃
𝛱𝑅𝑡
+ (
𝑃
𝛱𝑅2
)2
0 = (
𝑝𝑅
𝑡
)2 −
𝑝𝑃
𝛱𝑅𝑡
+ (
𝑃
𝛱𝑅2)2 − 𝜎𝑚2
Resolviendolaecuacióncuadráticapara“p”:
𝑝 =
𝑃
𝛱𝑅𝑡
± √(
𝑃
𝛱𝑅𝑡
)2 − 4(
𝑅2
𝑡2 )((
𝑃
𝛱𝑅2)
2
− 𝜎𝑚2)
2
𝑅2
𝑡2

7. 𝑝 =
𝑃
𝛱𝑅𝑡
+ √4𝜎𝑚2 − 3(
𝑃
𝛱𝑅2)
2
2
𝑅2
𝑡2
Usaremosla siguienteformula:
𝑵 = (
𝒃
𝝈𝒂 − 𝝈𝒇𝒂𝒕
)
𝟏
𝒄
Datos:
𝜎𝑓𝑎𝑡 = 15𝐾𝑠𝑖 , 𝜎𝑚 = 0 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝜎𝑎 = 𝜎𝑚𝑎𝑥
Hallando las constantes “b” y “c”:
Danto valores a 𝝈𝒂 y N unsando los datos de la tabla:
𝟏𝟎𝟑 = (
𝒃
𝟓𝟐. 𝟕𝑲𝒔𝒊 − 𝟏𝟓𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝒄 … …. (𝑰)
𝟏𝟎𝟒 = (
𝒃
𝟑𝟖. 𝟖𝑲𝒔𝒊 − 𝟏𝟓𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝒄 … …. . (𝑰𝑰)
De las ecuaciones (I) y (II):
𝑏 = 150𝐾𝑠𝑖
𝑐 = 0.2
.: la formula empirica quedaria expresada de la siguiente manera:
𝑵 = (
𝒃
𝝈𝒂 − 𝝈𝒇𝒂𝒕
)
𝟏
𝒄 => 𝑵 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝝈𝒂 − 𝝈𝒇𝒂𝒕
)
𝟏
𝟎.𝟐
Hallando el número de ciclos para una amplitud de esfuerzo de 35Ksi:
𝑵 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝝈𝒂 − 𝝈𝒇𝒂𝒕
)
𝟏
𝟎.𝟐 => 𝑵 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝟑𝟓𝑲𝒔𝒊 − 𝟏𝟓𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝟎.𝟐
𝑁 = 2.4𝑥104 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠.

8. Usaremosla fórmuladel problemaanterior:
𝑵 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝝈𝒂 − 𝝈𝒇𝒂𝒕
)
𝟏
𝟎.𝟐 … .(𝑰)
Datos:
𝜎𝑓𝑎𝑡 = 15𝐾𝑠𝑖 , 𝜎𝑚 = 0 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝜎𝑎 = 𝜎𝑚𝑎𝑥
Sabemosque:
D=⅀
𝒏𝒊
𝑵𝒊
……………(II)
Reemplazandoen(I) losdatosde latabla:
𝑁1 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝟒𝟐𝑲𝒔𝒊− 𝟏𝟓𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝟎.𝟐
= 5.3𝑥103
𝑁2 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝟐𝟖𝑲𝒔𝒊− 𝟏𝟓𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝟎.𝟐
= 2.05𝑥105
𝑁3 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝟐𝟓𝑲𝒔𝒊− 𝟏𝟓𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝟎.𝟐
= 7.6𝑥105
𝑁4 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝟐𝟐𝑲𝒔𝒊− 𝟏𝟓𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝟎.𝟐
= 4.52𝑥106
Reemplazando en (II) los datos obtenidos y datos de la tabla:
𝑫𝟏 =
𝟕. 𝟗𝟑𝟖𝒙𝟏𝟎 𝟐
5.3𝑥103
= 0.15
𝑫𝟐 =
𝟓. 𝟑𝟏𝟖𝒙𝟏𝟎 𝟒
𝟐. 𝟎𝟓𝒙𝟏𝟎 𝟓
= 0.26

9. 𝑫𝟑 =
𝟖. 𝟑𝟓𝟑𝒙𝟏𝟎 𝟒
𝟕. 𝟔𝒙𝟏𝟎 𝟓
= 0.11
𝑫𝟒 =
𝟏. 𝟓𝟑𝟒𝒙𝟏𝟎 𝟔
𝟒. 𝟓𝟐𝒙𝟏𝟎 𝟔
= 0.34
𝑫𝟓 = ? ?
Perosabemosque lafallaocurre cuando D=1
:. 𝑫𝟏 + 𝑫𝟐 + 𝑫𝟑 + 𝑫𝟒 + 𝑫𝟓 = 𝟏
 𝑫𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟒
Hallando“N5”para una amplitudde 35Ksi
𝑵𝟓 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝟑𝟓𝑲𝒔𝒊 − 𝟏𝟓𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝟎.𝟐
= 2.37𝑥104
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
:. 𝑫𝟓 =
𝒏𝟓
𝑵𝟓
𝒏𝟓 = 𝑫𝟓. 𝑵𝟓
𝒏𝟓 = 𝟑. 𝟑𝟐𝒙𝟏𝟎 𝟑 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔
Segúnlarelaciónde Goodman:
𝜎’𝑓𝑎𝑡 = 𝜎𝑓𝑎𝑡(1 −
𝜎𝑚
𝜎𝑢
) … .(𝐼)
𝐷𝑎𝑡𝑜: 𝜎𝑚 = 20% 𝜎𝑢 =>
𝜎𝑚
𝜎𝑢
= 1/5 , 𝜎𝑓𝑎𝑡 = 15𝑘𝑠𝑖
Reemplazando en(I):
𝜎’𝑓𝑎𝑡 = 15𝐾𝑠𝑖(1 − 1/5 )
𝜎’𝑓𝑎𝑡 = 12𝐾𝑠𝑖
Usando nuevamentelasexpresiones:

10. 𝑵 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝝈𝒂 − 𝝈′𝒇𝒂𝒕
)
𝟏
𝟎.𝟐 … . . (𝑰𝑰) 𝑦 𝑫 = ⅀
𝒏𝒊
𝑵𝒊
. . .. . .. . .. (𝑰𝑰𝑰)
Reemplazandoen (II) losdatosde latabla:
𝑁1 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝟒𝟐𝑲𝒔𝒊− 𝟏𝟐𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝟎.𝟐
= 3.12𝑥103
𝑁2 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝟐𝟖𝑲𝒔𝒊− 𝟏𝟐𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝟎.𝟐
= 7.24𝑥104
𝑁3 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝟐𝟓𝑲𝒔𝒊− 𝟏𝟐𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝟎.𝟐
= 2.04𝑥105
𝑁4 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝟐𝟐𝑲𝒔𝒊− 𝟏𝟐𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝟎.𝟐
= 7.6𝑥105
Reemplazando en (III) los datos obtenidos y datos de la tabla:
𝑫𝟏 =
𝟕. 𝟗𝟑𝟖𝒙𝟏𝟎 𝟐
3.12𝑥103
= 0.23
𝑫𝟐 =
𝟓. 𝟑𝟏𝟖𝒙𝟏𝟎 𝟒
7.24𝑥104
= 0.17
𝑫𝟑 =
𝟖. 𝟑𝟓𝟑𝒙𝟏𝟎 𝟒
2.04𝑥105
= 0.36
𝑫𝟒 =
𝟏. 𝟓𝟑𝟒𝒙𝟏𝟎 𝟔
7.6𝑥105
= 0.21
𝑫𝟓 = ? ?
Perosabemosque lafallaocurre cuando D=1
:. 𝑫𝟏 + 𝑫𝟐 + 𝑫𝟑 + 𝑫𝟒 + 𝑫𝟓 = 𝟏
 𝑫𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟑
Hallando“N5”para una amplitudde 35Ksi
𝑵𝟓 = (
𝟏𝟓𝟎𝑲𝒔𝒊
𝟑𝟓𝑲𝒔𝒊 − 𝟏𝟐𝑲𝒔𝒊
)
𝟏
𝟎.𝟐
= 1.18𝑥104
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
:. 𝑫𝟓 =
𝒏𝟓
𝑵𝟓
𝒏𝟓 = 𝑫𝟓. 𝑵𝟓
𝒏𝟓 = 𝟑𝟓𝟑 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔