Este documento presenta varias técnicas para calcular integrales definidas e indefinidas, incluyendo sustitución, generalización de reglas básicas, completar el cuadrado, integración por partes iterada y la fórmula de reducción. Se explican estas técnicas a través de ejemplos como hallar integrales de la forma sen(ax), 1/(a2+x2), (x2-5)2, 1/(-5+6x-x2) y xnexp(x).

1. Tecnicas de Integracion:
Hasta este momento hemos aprendido a
encontrar la integral de ciertas funciones que
no era posible, incluida la de sustitucion.
Vamos a usar todas esas formulas para
desarrollar otras mas generales y poder asi
resolver problemas de integracion mas
complicados.
1) Una sustitucion Simple: Hallar
𝒙 𝟐
𝒙 𝟑+𝟒
𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒏 (𝒂𝒙) 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟎
2) Generalizacion de una regla basica de
Integracion: Formulas:

2. Hallar
𝟏
𝒂 𝟐+𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟎
Las formulas basicas de integracion anteriores
junto con sustitucion y una pizca de ingenio
permiten hallar un buen numero de
integrales, como la siguiente en donde
debemos desarrollar el integrando:
(𝒙 𝟐
− 𝟓) 𝟐
𝒅𝒙 es decir que no hay que
menospreciar los metodos mas simples. El
procedimiento mas general en integracion es
intentarlo todo. En ocasiones habra que hacer
alguna manipulacion algebraica para
reconocer el tipo de integral.

3. Una Integral en la que hay que completar el
cuadrado:
Hallar:
𝟏
−𝟓+𝟔𝒙−𝒙 𝟐
𝒅𝒙
Integracion por Partes: (Brook Taylor
matematico ingles 1685-1731)
Hasta ahora hemos elaborado una coleccion
de reglas basicas de integracion asociadas a
formulas de derivacion correspondientes.
Aparte tambien conocemos la tecnica de
sustitucion que permite escribir algunas
integrales de manera mas sencilla. Pero
todavia quedan muchas integrales fuera de
nuestro alcance.

4. Por ejemplo no sabemos hallar 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙.
Esto lo podremos hacer gracias a la integracion
por partes: hemos dicho que cada regla de
derivacion lleva asociada otra de integracion.
Pues bien recordemos la regla del producto:
Reescribiendo utilizando la notacion u=f(x),
v=g(x) se tiene du=f’(x)dx y dv=g’(x)dx de
modo que la formula de la integracion por
partes se expresa asi: 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
debiendo elegir astutamente u y dv en el
integrando, de manera tal que la integral de la
derecha sea facil de resolver.
Ejemplo: la integral anterior:

5. Hallar 𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙 (integrando con un termino)
Integracion por Partes Iterada:
Hallar 𝒙 𝟐
𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙
Hallar 𝒆 𝟐𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙
Hallar 𝒙 𝟒
𝒆 𝒙
𝒅𝒙
Formula de reduccion:
𝒙 𝒏
𝒆 𝒙
= 𝒙 𝒏
𝒆 𝒙
− 𝒏 𝒙 𝒏−𝟏
𝒆 𝒙
𝒅𝒙
Integracion por partes en una integral
definida:
𝒙=𝒂
𝒙=𝒃
𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗
𝒙=𝒂
−
𝒙=𝒂
𝒙=𝒃
𝒗𝒅𝒖

6. Calcular 𝟏
𝟐
𝒙 𝟐
𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙