Este documento explica cómo resolver una ecuación diferencial de segunda derivada utilizando la transformada de Laplace. Primero, se usa la integral por partes para obtener L f ́ ́(t) = s F(s) - f ́(0). Luego, al aplicar un poco más de álgebra a los resultados de la integración, se obtiene que la transformada de Laplace de una segunda derivada es: L f ́ ́(t) = s2 F(s) - s f(0) - f ́(0).

1. Ecuaciones Diferenciales mediante Laplace
Jesús Raúl Carrillo Ruelas
Ing. Tecnologías de la Producción
8 “A”

2. Transformada de f`(t)
A continuación se muestra como resolver una segunda
derivada con la transformada de Laplace:
Primero tenemos que resolverla con ayuda de una integral
por partes donde sacaremos los valores de:
𝐿 𝑓´´ 𝑡 =
0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑓´´ 𝑡 𝑑𝑡
𝑢 = 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑣 = 𝑓´´ 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 𝑣 = 𝑓´´ 𝑡 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑓´ 𝑡

3. Sustituyendo en la formula de
integración por partes
Después utilizaremos la formula de integración por partes que
se muestra a continuación.
𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − 𝑣 ∙ 𝑑𝑢
Quedando de la siguiente manera:
𝑒−𝑠𝑡
∙ 𝑓´(𝑡)
∞
0
−
0
∞
𝑓´ 𝑡 −𝑠𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡

4. Al obtener la ecuación conseguida anteriormente podemos
resolverla de una manera más practica usado el valor de B
= infinito, quedando de la siguiente manera.
= 𝑒−𝑠𝑡 ∙ 𝑓´(𝑡)
∞
0
+ 𝑠
0
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑓´ 𝑡 𝑑𝑡
= lim
𝑏→∞
𝑒−𝑠(𝑏) ∙ 𝑓´ − 𝑏 − 𝑒−𝑠 0 ∙ 𝑓´ 0 + 𝑠𝐿 𝑓´(𝑡)
= lim 𝑏 → ∞
𝑓´(𝑏)
𝑒−𝑠(𝑏)
− 1 ∙ 𝑓´ 0 + 𝑠𝐿 𝑓´(𝑡)
Resolviendo la Ecuación pasada con
ayuda de los Limites
= −𝑓´ 0 + 𝑠 𝐿 𝑓´(𝑡)
= −𝑓´ 0 + 𝑠 𝐹 𝑠
𝐿 𝑓´´(𝑡) = 𝑠 𝐹 𝑠 − 𝑓´(0)

5. Después se tendrá que realizar un procedimiento algebraico
para obtener el resultado de L f´´ t con el resultado que
nos arrojo de la primera integral por partes.
 Integración #1 𝐿 𝑓(𝑡) = 𝑠 𝐹 𝑠 − 𝑓 0
 Integración #2 𝐿 𝑓´´(𝑡) = 𝑠 𝐹 𝑠 − 𝑓´(0)

6.  Por lo que queda aplicar solamente un poco más de algebra a
los 2 resultados de la integración y obtenemos el resultado real.
=𝑠 𝐹(𝑠)−𝑓’(0)
=𝑠 𝐹(𝑠)−𝑓(0)
Entonces como resultado seria
= s2 F(S)- Sf(0) -f’(0)