Desarrollo de la primera unidad

1. Funciones Trascendentes:
Ecuaciones Diferenciales Separables:
Primero consideremos la ecuacion diferencial
ordinaria de primer orden mas general:
y’=f(x,y). Aqui la derivada y’ de cierta funcion
desconocida y(x) viene dada como una funcion
f de x e y. El objetivo es encontrar alguna
funcion y(x) (una solucion) que satisfaga la
ecuacion y’=f(x,y).
La ecuacion es de primer orden porque solo
contiene la primera derivada de la funcion
incognita. Consideraremos el caso en que x e y
se pueden separar. Se dice que y’=f(x,y) es una

2. ecuacion separable si podemos separar las
variables es decir, si se puede reescribir en la
forma: g(y)y’=h(x), con todas las x a un lado y
todas las y al otro.
Ejemplo: Decidir si es separable la ecuacion
diferencial: y’=x𝒚 𝟐
− 𝟐𝒙𝒚
Una ecuacion no separable puede resolverse
integrando los 2 miembros de g(y)y’=h(x) con
respecto a x, obteniendo
𝒈 𝒚 𝒚′
𝒙 𝒅𝒙 = 𝒉 𝒙 𝒅𝒙 como dy=y’(x)dx, la
integral de la izquierda se convierte en
𝒈 𝒚 𝒅𝒚 resultando por lo tanto
𝒈 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒉 𝒙 𝒅𝒙 .

3. Ejemplo: Resolver la ecuacion diferencial 𝐲′
=
𝒙 𝟐+𝟕𝒙+𝟑
𝒚 𝟐
En el caso general, la solucion de una ecuacion
separable de primer orden depende de una
constante arbitraria (la constante de
integracion).
Otros ejemplos: hallar la solucion general:
Y’=(𝒙 𝟐
+𝟏)𝒚 y’=
𝟒𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
Para seleccionar una de las curvas de solucion
hay que especificar un punto por el que pasa la
solucion buscada, digamos (Xo, Yo).

4. Es decir exigimos que y(Xo)= Yo. Es lo que se
conoce como una condicion inicial. La
ecuacion diferencial junto con la condicion
inicial constituyen un problema de valores
iniciales (PVI).
Resolver el PVI de la ecuacion diferencial
anterior:
Otro ejemplo: Resolver el PVI
Y’=3(x+𝟏) 𝟐
𝒚, 𝒚 𝒐 = 𝟏
En el caso que no haya manera de despejar “y”
explicitamente en terminos de x basta con
sustituir x=0 y el valor de y(0) en la funcion
general y luego resolvemos.

5. Ejemplo: Hallar la solucion del PVI
𝒚′
=
𝟗𝒙 𝟐−𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒚+𝟓𝒆 𝒚 y(0)=π
TAREA No. 1:
1) Averiguar si la ecuacion diferencial es
separable:
 Y’=(3x+1)cosy
 Y’=2x(y-1)
 Y’=(3x+y)cosy

6. 2) Hallar la solucion general, en forma
explicita si es posible:
 Y’=2𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
 Y’=𝒚 𝟐
− 𝒚
3) Resolver el PVI:
 Y’=
𝟒𝒙 𝟐
𝒚
, y(0)=2
 Y’=
𝟒𝒚
𝒙+𝟑
, y(-2)=1
 Y’=
𝟒𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒚
, y(0)=0