1. De Pitágoras a ‘Kou ku’
Ejemplo de unidad didáctica

2. Desarrollo de la unidad
didáctica

3. Actividad 1ª: búsqueda y formulación
de los 14 segmentos de diferente
longitud en el geoplano 5x5
(1,0) (2,0) (3,0) (4,0)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
(2,2) (3,2) (4,2)
(3,3) (4,3)
(4,4)

4. Actividad 2ª:dibujo de los 8
cuadrados de área diferentes en el
geoplano 5x5
(1,0) (2,0) (3,0)
(4,0) (1,1) (2,1)
(3,1) (2,2)

5. Actividad 3ª: calculamos mediante
triangulación las áreas de los 8 cuadrados
diferentes en el geoplano 5x5
(1,0):1 (2,0):4 (3,0):9
(4,0):16 (1,1):2 (2,1):5
(3,1):10 (2,2):8

6. Actividad 4ª:relacionamos las
longitudes de los lados con las áreas de
los cuadrados que generan
(1,0) (2,0) (3,0) (4,0) 1 4 9 16
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 5 10
(2,2) (3,2) (4,2) 8
(3,3) (4,3)
(4,4)

7. Actividad 5º: conjetura y comprobación
de las áreas de los cuadrados restantes
en el geoplano 8x8
(3,2) = 13; (3,3) =18
(4,2) = 20; (4,3) = 25

8. Actividad 6ª: observamos y analizamos
las siguientes tablas
 Longitudes Áreas
(1,0) (2,0) (3,0) (4,0); 1 4 9 16
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1); 2 5 10 17
(2,2) (3,2) (4,2); 8 13 20
(3,3) (4,3); 18 25
(4,4); 32

9. DEMOSTRAMOS EL MAL LLAMADO
TEOREMA DE PITÁGORAS

10. “SÍ Y SÓLO SI”: relacionamos los
cuadrados construidos sobre los lados
con el correspondiente tipo de triángulo
Si el triángulo es rectángulo:
a 2 + b2 = c 2
Si el triángulo es obtusángulo:
a2 + b2 ≤ c2
Si el triángulo es acutángulo:
a 2 + b2 ≥ c 2

11. Del mal llamado teorema
de Pitágoras al
TEOREMA DE 'KOU KU'
CARLOS ALONSO ZALDÍVAR
El País
13/08/1998

12.  El viaje de Clinton a China ha resultado de lo
más interesante, pero antes de hablar de ello
veamos un teorema que dice así: si sobre el
lado corto -kou- de un rectángulo se construye
un cuadrado y sobre el lado largo -ku- otro, la
suma de sus áreas resulta igual al área del
cuadrado construido sobre la diagonal -shian-
del rectángulo.

13.  Sí, tiene usted razón, este teorema no es otro
que el de Pitágoras, lo único que pasa es
que en Occidente lo conocemos por ese
nombre, aunque no poseemos ningún texto
de Pitágoras donde figure, mientras que el
teorema kou ku figura en el Chou Pei Suang
Ching -algo así como la Aritmética Clásica de
los Grados y de las Trayectorias Circulares
del Cielo-, que, según algunos eruditos, es
siglos anterior y, según
otros, coetáneo, de la época de Pitágoras.

14.  Los occidentales hemos conocido el teorema de Pitágoras
pulcra y brillantemente deducido por Euclides en sus
Elementos. Los chinos lo fueron conociendo gracias sobre
todo al autor del Chiu Chang Shuan Shu -que quiere
decir, Nueve Capítulos de Artes Matemáticas-, donde se
presenta en varias formas, entre otras solucionando el
siguiente problema, no exento de belleza oriental:
 si tenemos un bambú de 10 chih de altura, cuya parte
superior está quebrada y toca el suelo a una distancia de 3
chih de la base del brote, ¿a qué altura está roto el bambú?

15. Ahora volvamos a Clinton. La discusión que en Estados Unidos ha suscitado su viaje a
China está siendo rica e interesante. Abarca desde la moral a la geopolítica, pasando
por la política tout court y otras muchas cosas que no comentaré.
La moral. Para algunos, las relaciones de Estados Unidos con China plantean, ante
todo, una cuestión moral. Los hay, suelen ser de derechas, que ven en China al nuevo
imperio del mal que hay que condenar y quieren que Clinton sea el Reagan que lo
denuncie. Otros, éstos más bien de izquierdas, no aceptan que China se libere del
estigma de Tiananmen hasta que su régimen político sea como el estadounidense, más
o menos. Que los chinos vivan hoy en mejores condiciones económicas y políticas que
nunca no importa. Lo que importa es que los que quieren protestar no pueden hacerlo
como en Estados Unidos. A unos y a otros Clinton les ha jugado una mala pasada
diciendo que los cambios en curso en China están "moralmente bien" o que el país
"tiene el liderazgo adecuado en el momento adecuado". Semejantes cosas han hundido
la moral o han irritado sobremanera a los moralistas. Clinton también ha dicho que en
China la reforma política es imprescindible para que progrese la reforma económica y
que, incluso, debe precederla, pero esa frase les ha sonado a relativismo moral. Se
trata de gente seria que sabe, y que dice, que Rusia, caminando al revés, ha convertido
la democracia en cleptocracia, pero eso no les hace pensar dos veces lo que
consideran cuestiones de principio. Occidente no puede dar por bueno nada que sea
menos democrático que Occidente (hoy), y ya está. Discutible, pero hay que reconocer
que pasa en las mejores familias.

16. Por ejemplo, es tradición occidental considerar que nada en las matemáticas
orientales se puede comparar a la geometría deductiva euclidiana. En este
sentido vuelve a tener interés el teorema kou ku, también conocido como
teorema de Pitágoras. Los chinos lo descubrieron buscando un método para
construir ángulos rectos, algo necesario para trazar la planta de una casa o de
un templo. Es un teorema que además les ayudó mucho a hacer
observaciones astronómicas precisas. Sin embargo, la Grecia clásica (no la
Jónica) contempló el teorema de Pitágoras y, en general, las matemáticas con
un sentido menos pragmático y más dirigido a la búsqueda del recto pensar y
de la verdad. Platón dixit. Claro que el descubrimiento del teorema kou ku dio
lugar en la China antigua al desarrollo de métodos para extraer raíces
cuadradas, cúbicas y para resolver ecuaciones cuadráticas, métodos que sólo
fueron igualados en la matemática europea del XVIII. Pero todo esto no deja de
ser un tanto algebraico y empírico, algo que no puede compararse con la
pureza de la geometría deductiva de Euclides. Quienes así lo creen deben, sin
embargo, reconocer que el teorema kou ku también dio pie a una geometría
deductiva china que, más allá de meras relaciones numéricas entre los lados
de los triángulos rectángulos, probó, mediante procedimientos geométricos
como el ji ju o apilamiento de rectángulos, que figuras con formas distintas
pueden tener áreas iguales.

17. Pero volvamos al viaje de Clinton, ahora, a su repercusión geopolítica.
Clinton ha parecido aceptar que al teorema de Pitágoras se le puede
llamar teorema kou ku y se ha mostrado condescendiente con métodos
como el ji ju, lo cual ha puesto nerviosos a los geopolíticos defensores
de la benigna hegemonía universal estadounidense. Ya saben a quién
me refiero, a los Kagan (The Benevolent Empire) o los Brzezinski (The
Grand Chessboard: American Primacy and Its Geostrategic
Imperatives) que hablan de los países europeos como entidades
dependientes de Estados Unidos y que se refieren a otros aliados
llamándoles vasallos y tributarios, y a los que no son
aliados, tildándoles de bárbaros. Todo ello, como puede apreciarse, de
sabor muy imperial, como si fuera de la dinastía Ming. Para estos
estrategas de status mío, la confraternización de Jefferson Clinton con
Jiang Zemin ha borrado lo esencial de este mundo y de esta época, a
saber, que China es el más poderoso y ascendente retador potencial de
la hegemonía americana. Clinton tuvo un detalle con ellos. Cuando en
la Universidad de Pekín le preguntaron si el mundo necesitaba un
líder, dijo: "La respuesta corta es sí", y después añadió otra respuesta
larga, más multilateralista, que he olvidado.

18. En el terreno político tout court, la pregunta es qué balance ofrece
el viaje de Clinton en materia de comercio, derechos
humanos, proliferación y Taiwan. Las respuestas oscilan, pero
domina el entendimiento de que se han dado pasos para que el
déficit comercial estadounidense con China se corrija, que se ha
abierto un diálogo público y respetuoso sobre derechos
humanos, que ha habido coincidencia en cooperar para evitar la
proliferación nuclear en Asia (India, Pakistán, Corea del Norte) y
que el tema Taiwan ha quedado enmarcado en los siguientes
términos: Estados Unidos no aceptará el uso de la fuerza contra
la isla, pero tampoco apoyará la independencia de Taiwan.
Muchos se preguntan si Estados Unidos ha desplazado su
relación preferente con Japón hacia China o si ha antagonizado a
la India. Clinton no se ha andado con dibujos: la seguridad de
Estados Unidos -ha dicho- se ve enormemente reforzada por la
cooperación de China, tanto para superar la crisis económica en
Asia como para detener la proliferación nuclear en Asia del Sur y
mantener la paz en Corea.

19. En este terreno político, James Baker ha hecho un interesante
balance del viaje. Baker cree que ahora hay bases para
elaborar una futura política de Estados Unidos respecto a
China que cuente con apoyo bipartidista. De Baker, en sus
tiempos de secretario de Estado, se decía en Washington que
podía atravesar el Potomac sin mojarse. No porque supiera
andar sobre las aguas, sino porque sabría elegir para hacerlo
el día en que el río estaba helado. No sé si tiene razón, pero
apunta bien. Estados Unidos viene dando bandazos en su
política hacia China hace bastantes años. Y no sólo en su
política china. Eso es malo, malo para ellos y para todos.
Clinton, por fin, ha marcado un rumbo. A mi juicio, un buen
rumbo. Pero en casa tiene todavía las aguas muy revueltas.
No todo el mundo que se deja oír en Washington es tan
sensato como Baker. En fin, veremos.

20. Digo que el rumbo que ha marcado Clinton a la
política china es bueno, porque parece haber
entendido que el teorema de Pitágoras
también se llama teorema kou ku. Es
decir, parece haber entendido que si en algo
como las matemáticas, que contienen el
cuerpo de conocimientos de aceptación más
universal, culturas distintas establecen, usan
y demuestran un mismo teorema de
diferentes maneras, ¿cómo pretender que a
China se le puedan dar lecciones?

21. Claro que no se trata sólo de China. A fin de
cuentas, en la Universidad de Columbia hay
una tableta de arcilla que, en escritura
cuneiforme, contiene 11 filas de números
ordenados en columnas: una columna
numera la fila; otra da la altura de un triángulo
rectángulo; la tercera, la longitud de su
base, y la cuarta, la de la hipotenusa. La
tablilla es de algún año entre 1800 y 1650
antes de Cristo y procede de lo que hoy es
Irak y, en aquel tiempo, Babilonia.

22. CHOU PEI SUAN CHING
a2
→
b2
c2
→

23. OBJETIVOS DE ETAPA
a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus
derechos en el respeto a los demás, practicar la tolerancia, la
cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse
en el diálogo afianzando los derechos humanos como valores
comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la
ciudadanía democrática.
f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se
estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los
métodos para identificar los problemas en los diversos campos del
conocimiento y de la experiencia.
g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la
participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad
para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir
responsabilidades.

24. OBJETIVOS DE ÁREA
2. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en
términos matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para
abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más
apropiados.
5. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la
vida cotidiana, analizar las propiedades y relaciones geométricas
implicadas y ser sensible a la belleza que generan al tiempo que
estimulan la creatividad y la imaginación.
9. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y
mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con
éxito y adquirir un nivel de autoestima adecuado, que le permita
disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios
de las matemáticas.

25. OBJETIVOS DE LA UNIDAD
- Conocer y comprender los términos: cateto e hipotenusa;
triángulo rectángulo, obtusángulo y acutángulo.
- Explicar cuál es la relación entre los cuadrados construidos
sobre los lados de un triángulo según éste sea rectángulo,
obtusángulo o acutángulo.
- Utilizar la relación pitagórica para calcular distancias de
manera indirecta.
- Valorar el hecho de que para indicar la distancia entre dos
puntos en ocasiones no es adecuado recurrir a la línea recta.

26. CONTENIDOS
Bloque 4. Geometría
Figuras con la misma forma y distinto tamaño. La semejanza.
Proporcionalidad de segmentos. Identificación de relaciones de
semejanza.
Ampliación y reducción de figuras. Obtención, cuando sea
posible, del factor de escala utilizado. Razón entre las superficies
de figuras semejantes.
Utilización de los teoremas de Tales y Pitágoras para obtener
medidas y comprobar relaciones entre figuras.

27. PRINCIPIOS DE PROCEDIMIENTO (I)
- Planteará situaciones de aprendizaje en las que sus alumnos
puedan adquirir progresivamente las nuevas nociones
basándose en sus conocimientos anteriores y primitivos.
- Se centrará en la organización de las actividades de sus
alumnos y alumnas, teniendo en cuenta los contenidos a
aprender.
-Procurará que en cada situación de acción perciban un
problema a resolver, una dificultad que quieran y deban
superar.
-Favorecerá que identifiquen, inicien y desarrollen sus propios
problemas relacionados con las situaciones planteadas.
-Graduará las actividades teniendo en consideración los
conceptos y las operaciones a construir.

28. PRINCIPIOS DE PROCEDIMIENTO (II)
- Planteará situaciones problemáticas que conduzcan a los
alumnos y alumnas a formular sus acciones y a utilizar el
lenguaje oral y simbólico.
- Ideará situaciones de intercambios de mensajes entre
emisores y receptores para que tengan que elaborar
mensajes e interpretarlos independientemente del juicio del
docente.
- Favorecerá la realización de situaciones que conduzcan a la
comprobación de las teorías en acción o hipótesis de los
alumnos previamente formuladas, a la prueba de sus ideas
frente a la evidencia y frente a las pruebas de los
compañeros.
- Propondrá situaciones organizadas con la finalidad de que
se validen y demuestren las soluciones
propuestas, sometiéndolas a la crítica razonada de los otros.

29. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
4. Estimar y calcular longitudes, áreas y volúmenes de espacios y
objetos con una precisión acorde con la situación planteada y
comprender los procesos de medida, expresando el resultado de la
estimación o el cálculo en la unidad de medida más adecuada.
Mediante este criterio se evaluará si el alumno o la alumna, en
situaciones en las que la solución del problema requiera medidas
indirectas en las que haya que utilizar la semejanza de figuras
geométricas, es capaz de:
- comprender y diferenciar los conceptos de longitud y superficie así
como las unidades asociadas a cada una de las magnitudes.
- utilizar conceptos y estrategias diversas para calcular el perímetro y
área de figuras sencillas sin aplicar las fórmulas.
- calcular, mediante fórmulas, longitudes, áreas.
- aplicar los teoremas de Pitágoras y de Tales a la resolución de
problemas geométricos.
- utilizar las unidades y la precisión adecuadas al contexto del problema
planteado.

30. PRUEBA DE EVALUACIÓN
Dadas las siguientes ternas de longitudes, explicar si pueden
construirse triángulos con lados de dichas longitudes y
argumentar qué tipo de triángulo pueden conformar:
(3, 4, 6)
(3, 3, 3)
(3, 4, 7)
(3, 4, 5)
(5, 13, 14)
(5, 12, 13)

32. Un carpintero tiene 32 metros de madera y quiere construir una pequeña valla alrededor
de un parterre en el jardín. Está considerando los siguientes diseños. ¿Cuáles le permiten
construir el parterre?
A B
6
6
10 10
C D
6 6
10 10