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Movimiento Armónico Simple Movimiento periódico u oscilatorio. Movimiento Armónico Simple. Fuerzas elásticas. Sistema masa – resorte.  Aplicaciones de los sistemas masa-resorte y péndulo simple
Movimiento periódico Es aquel movimiento que se repite cada cierto tiempo T, denominado periodo.  En las figuras se muestran ejemplos de movimientos periódicos. 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca El movimiento de los planetas alrededor del Sol El movimiento de un cilindro por una doble rampa inclinada
Movimiento Oscilatorio Es un movimiento periódico que se efectúa alrededor de una posición de equilibrio. Como ejemplo de movimiento periódico puede considerarse el que realiza un bloque que está unido a un resorte sobre una superficie horizontal sin fricción. En la animación, defina las características de las siguientes magnitudes: Amplitud  A Periodo  T Frecuencia  f Frecuencia angular   06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca Posición de equilibrio frecuencia Frecuencia angular
Ejemplo 13.19.  Un transductor ultrasónico empleado para el diagnostico médico oscila con una frecuencia de 6,7 MHz . ¿Cuánto tarda cada oscilación y qué frecuencia angular tiene?  Solución: Ejercicio . Si un bloque tarda 4 segundos en dar 2 oscilaciones, ¿cuál de su periodo? ¿Cuál es su frecuencia? ¿Cuál es su frecuencia angular? Solución Ejercicios 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
Movimiento Armónico Simple Es un movimiento oscilatorio, tal que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional a su desplazamiento, como es el caso de un bloque que oscila libremente por acción de la fuerza recuperadora de un resorte. El bloque se mueve sobre una superficie sin fricción. Vea la animación:  MA57_F1_S05_01_REC2_ley_hooke.swf Observaciones del movimiento del bloque en el MAS La velocidad es máxima cuando el bloque pasa por el punto de equilibrio. Su velocidad es cero cuando alcanza su máxima elongación (x = A). Por la segunda ley de Newton, la aceleración es cero en el origen y máxima en el punto de máxima elongación. 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca A A F x F x a – máxima F-  máxima v = 0  a – máxima F-  máxima v = 0  a = 0 F = 0 v máxima
Ecuaciones del MAS Por la Segunda Ley de Newton Considerando que Reemplazando la expresión de la aceleración, se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden respecto a la posición y al tiempo. La solución de la ecuación es: 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
(b) Ejercicio.  Un objeto oscila con frecuencia angular  ω  = 8,0 rad/s . En  t = 0 s , el objeto se encuentra en  x0 = 4,0 cm   con una velocidad inicial  v0= -25,0 cm/s  . (a) Determinar la amplitud y la constante de fase para este movimiento. (b) Escribir  x  en función del tiempo. Solución Analizar para t = 0 s Ejemplo  Un bloque de 2,00 kg, que se desliza sin fricción, se conecta a un resorte ideal con k = 300 N/m . En t = 0 s, el resorte no está estirado ni comprimido y el bloque se mueve en la dirección negativa a 12,0 m/s . Calcule: a) la  amplitud; b) el ángulo de fase; c) escriba las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración Solución   (a)  Ejercicios 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
Posición, velocidad y aceleración del MAS 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
Ejemplo  En la oscilación descrita en el ejemplo 13.2, k = 200 N/m, m = 0,50 kg y la masa oscilante se suelta del reposo en x = 0,020 m . a) calcule las velocidades máxima y mínima que alcanza el cuerpo al oscilar. b) calcule la aceleración máxima. c) Determine: la velocidad y aceleración cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del camino hacia el centro desde su posición inicial. Solución v max  = + 0,40 m/s y v min  =  –  0,40 m/s a max  = 8,0 m/s 2 c) v = -0,35 m/s y a = - 4,0 m/s 2   Ejemplo  Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo. Conectando una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia la derecha, determinamos que  la fuerza de estiramiento es proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6,0 N cusa una deformación de 0,030 m . Quitamos la balanza y y conectamos un cuerpo de 0,50 kg de masa al extremo, tiramos de él hasta moverlo 0,020 m, lo soltamos y vemos como oscila. A) Determine la constante de fuerza del resorte. b) Calcula la frecuencia, la frecuencia angular y el periodo de la oscilación. Solución k = 200 N/m   = 20 rad/s f = 3,2 Hz  T = 0,31 s Ejercicio 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
Volvamos al sistema de masa y resorte horizontal que consideramos en el ejemplo 13,2, con k = 200 N/m y m = 0,50 kg . Esta vez impartiremos al cuerpo un desplazamiento inicial de +0,015 m y una velocidad inicial +0,40 m/s . a) Determine: el periodo, la amplitud y el ángulo de fase del movimiento. b) Escriba ecuaciones para: el desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo.  Solución (a) T = 0,31 s A = 0,025 m    = -53 º  = - 0,93 rad (b) x = (0,025 m) cos ((20 rad/s)t  –  0,93)  v = -(0,50 m/s) sen ((20 rad/s)t  –  0,93 rad) a = -(10 m/s 2 ) cos ((20 rad/s)t  –  0,93 rad) Ejercicio 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
Energía potencial elástica Como se estudió anteriormente, la fuerza elástica es conservativa, el trabajo realizado por dicha fuerza entre dos puntos no depende de la trayectoria, por lo que tiene una energía potencial asociada. Consideremos el siguiente caso: Un resorte es estirado desde x 1  hasta x 2 . Determine el trabajo realizado por la fuerza que el resorte ejerce sobre el móvil. 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca Se define la energía potencial elástica U como: x 1 x 2
Si no hay fricción, la energía mecánica del oscilador armónico se mantiene constante en todo momento.  De esta expresión se deduce que: Energía mecánica del oscilador armónico 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
Relación entre la energía cinética y potencial elástica La energía mecánica se conserva, tiene el mismo valor en cualquier punto del movimiento. La energía potencial elástica es máxima en los extremos del MAS y nula en la posición de equilibrio. La energía cinética es máxima en la posición de equilibrio y nula en los extremos del MAS.  06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
Ejercicio 7.42  Pág. 272 Un bloque de 2,00 kg  se empuja contra un resorte con masa despreciable y constante elástica k = 400 N/m, comprimiéndolo 0,220 m . Al soltarse el bloque, se mueve por una superficie sin fricción que primero es horizontal y luego sube a 37,0° . (a) ¿Qué rapidez tiene el bloque al deslizarse sobre la superficie horizontal  después de separarse del resorte? (b) ¿Qué altura alcanza el bloque antes de pararse y regresar? Solución  Caso 1 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca Caso 2
El péndulo simple Un péndulo simple consta de una cuerda de longitud L y una lenteja de masa m. cuando la lenteja se deja en libertad desde un ángulo inicial  θ   con la vertical, oscila a un lado y otro con un periodo T. Cuando el  ángulo es pequeño, el segmento de arco barrido por la lenteja es: Si el ángulo se expresa en radianes. Por otro lado, por la segunda ley de Newton: Reemplazando  x  y sustituyendo  sen θ   por  θ 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
La ecuación diferencial del movimiento del péndulo simple es la que se muestra a la derecha. De la ecuación se deduce la expresión de la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo. El péndulo simple 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca La solución de la ecuación es:
Ejercicios Ejemplo 13.8  . Calcule el periodo y frecuencia de un péndulo simple de 1,00 m de longitud en un lugar donde g = 9,80 m/s 2 .  Solución:   Sabemos que:  Luego:  Ejercicio . Calcule la frecuencia de oscilación de un péndulo simple de longitud 2,00 m si el péndulo del ítem anterior se lleva a un lugar donde la aceleración de la gravedad mide 9,77 m/s 2 .  Solución:   Sabemos que:  06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca

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C E09 S11 D C

  • 1. Movimiento Armónico Simple Movimiento periódico u oscilatorio. Movimiento Armónico Simple. Fuerzas elásticas. Sistema masa – resorte. Aplicaciones de los sistemas masa-resorte y péndulo simple
  • 2. Movimiento periódico Es aquel movimiento que se repite cada cierto tiempo T, denominado periodo. En las figuras se muestran ejemplos de movimientos periódicos. 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca El movimiento de los planetas alrededor del Sol El movimiento de un cilindro por una doble rampa inclinada
  • 3. Movimiento Oscilatorio Es un movimiento periódico que se efectúa alrededor de una posición de equilibrio. Como ejemplo de movimiento periódico puede considerarse el que realiza un bloque que está unido a un resorte sobre una superficie horizontal sin fricción. En la animación, defina las características de las siguientes magnitudes: Amplitud A Periodo T Frecuencia f Frecuencia angular  06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca Posición de equilibrio frecuencia Frecuencia angular
  • 4. Ejemplo 13.19. Un transductor ultrasónico empleado para el diagnostico médico oscila con una frecuencia de 6,7 MHz . ¿Cuánto tarda cada oscilación y qué frecuencia angular tiene? Solución: Ejercicio . Si un bloque tarda 4 segundos en dar 2 oscilaciones, ¿cuál de su periodo? ¿Cuál es su frecuencia? ¿Cuál es su frecuencia angular? Solución Ejercicios 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
  • 5. Movimiento Armónico Simple Es un movimiento oscilatorio, tal que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional a su desplazamiento, como es el caso de un bloque que oscila libremente por acción de la fuerza recuperadora de un resorte. El bloque se mueve sobre una superficie sin fricción. Vea la animación: MA57_F1_S05_01_REC2_ley_hooke.swf Observaciones del movimiento del bloque en el MAS La velocidad es máxima cuando el bloque pasa por el punto de equilibrio. Su velocidad es cero cuando alcanza su máxima elongación (x = A). Por la segunda ley de Newton, la aceleración es cero en el origen y máxima en el punto de máxima elongación. 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca A A F x F x a – máxima F- máxima v = 0 a – máxima F- máxima v = 0 a = 0 F = 0 v máxima
  • 6. Ecuaciones del MAS Por la Segunda Ley de Newton Considerando que Reemplazando la expresión de la aceleración, se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden respecto a la posición y al tiempo. La solución de la ecuación es: 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
  • 7. (b) Ejercicio. Un objeto oscila con frecuencia angular ω = 8,0 rad/s . En t = 0 s , el objeto se encuentra en x0 = 4,0 cm con una velocidad inicial v0= -25,0 cm/s . (a) Determinar la amplitud y la constante de fase para este movimiento. (b) Escribir x en función del tiempo. Solución Analizar para t = 0 s Ejemplo Un bloque de 2,00 kg, que se desliza sin fricción, se conecta a un resorte ideal con k = 300 N/m . En t = 0 s, el resorte no está estirado ni comprimido y el bloque se mueve en la dirección negativa a 12,0 m/s . Calcule: a) la amplitud; b) el ángulo de fase; c) escriba las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración Solución (a) Ejercicios 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
  • 8. Posición, velocidad y aceleración del MAS 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
  • 9. Ejemplo En la oscilación descrita en el ejemplo 13.2, k = 200 N/m, m = 0,50 kg y la masa oscilante se suelta del reposo en x = 0,020 m . a) calcule las velocidades máxima y mínima que alcanza el cuerpo al oscilar. b) calcule la aceleración máxima. c) Determine: la velocidad y aceleración cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del camino hacia el centro desde su posición inicial. Solución v max = + 0,40 m/s y v min = – 0,40 m/s a max = 8,0 m/s 2 c) v = -0,35 m/s y a = - 4,0 m/s 2 Ejemplo Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo. Conectando una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia la derecha, determinamos que la fuerza de estiramiento es proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6,0 N cusa una deformación de 0,030 m . Quitamos la balanza y y conectamos un cuerpo de 0,50 kg de masa al extremo, tiramos de él hasta moverlo 0,020 m, lo soltamos y vemos como oscila. A) Determine la constante de fuerza del resorte. b) Calcula la frecuencia, la frecuencia angular y el periodo de la oscilación. Solución k = 200 N/m  = 20 rad/s f = 3,2 Hz T = 0,31 s Ejercicio 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
  • 10. Volvamos al sistema de masa y resorte horizontal que consideramos en el ejemplo 13,2, con k = 200 N/m y m = 0,50 kg . Esta vez impartiremos al cuerpo un desplazamiento inicial de +0,015 m y una velocidad inicial +0,40 m/s . a) Determine: el periodo, la amplitud y el ángulo de fase del movimiento. b) Escriba ecuaciones para: el desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo. Solución (a) T = 0,31 s A = 0,025 m  = -53 º = - 0,93 rad (b) x = (0,025 m) cos ((20 rad/s)t – 0,93) v = -(0,50 m/s) sen ((20 rad/s)t – 0,93 rad) a = -(10 m/s 2 ) cos ((20 rad/s)t – 0,93 rad) Ejercicio 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
  • 11. Energía potencial elástica Como se estudió anteriormente, la fuerza elástica es conservativa, el trabajo realizado por dicha fuerza entre dos puntos no depende de la trayectoria, por lo que tiene una energía potencial asociada. Consideremos el siguiente caso: Un resorte es estirado desde x 1 hasta x 2 . Determine el trabajo realizado por la fuerza que el resorte ejerce sobre el móvil. 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca Se define la energía potencial elástica U como: x 1 x 2
  • 12. Si no hay fricción, la energía mecánica del oscilador armónico se mantiene constante en todo momento. De esta expresión se deduce que: Energía mecánica del oscilador armónico 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
  • 13. Relación entre la energía cinética y potencial elástica La energía mecánica se conserva, tiene el mismo valor en cualquier punto del movimiento. La energía potencial elástica es máxima en los extremos del MAS y nula en la posición de equilibrio. La energía cinética es máxima en la posición de equilibrio y nula en los extremos del MAS. 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
  • 14. Ejercicio 7.42 Pág. 272 Un bloque de 2,00 kg se empuja contra un resorte con masa despreciable y constante elástica k = 400 N/m, comprimiéndolo 0,220 m . Al soltarse el bloque, se mueve por una superficie sin fricción que primero es horizontal y luego sube a 37,0° . (a) ¿Qué rapidez tiene el bloque al deslizarse sobre la superficie horizontal después de separarse del resorte? (b) ¿Qué altura alcanza el bloque antes de pararse y regresar? Solución Caso 1 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca Caso 2
  • 15. El péndulo simple Un péndulo simple consta de una cuerda de longitud L y una lenteja de masa m. cuando la lenteja se deja en libertad desde un ángulo inicial θ con la vertical, oscila a un lado y otro con un periodo T. Cuando el ángulo es pequeño, el segmento de arco barrido por la lenteja es: Si el ángulo se expresa en radianes. Por otro lado, por la segunda ley de Newton: Reemplazando x y sustituyendo sen θ por θ 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca
  • 16. La ecuación diferencial del movimiento del péndulo simple es la que se muestra a la derecha. De la ecuación se deduce la expresión de la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo. El péndulo simple 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca La solución de la ecuación es:
  • 17. Ejercicios Ejemplo 13.8 . Calcule el periodo y frecuencia de un péndulo simple de 1,00 m de longitud en un lugar donde g = 9,80 m/s 2 . Solución: Sabemos que: Luego: Ejercicio . Calcule la frecuencia de oscilación de un péndulo simple de longitud 2,00 m si el péndulo del ítem anterior se lleva a un lugar donde la aceleración de la gravedad mide 9,77 m/s 2 . Solución: Sabemos que: 06/09/09 Y Milachay, E Castillo, M Brocca