Este documento presenta información sobre una sesión virtual de clases de matemáticas. Incluye conceptos previos sobre derivadas, reglas de derivación, derivación por definición, derivación implícita y el teorema de L'Hôpital. También contiene ejercicios y problemas resueltos sobre estos temas.

1. SESIÓN VIRTUAL 2
EPE
Sonida Pacheco Malquichagua 5°C

2. CONOCIMIENTOS PREVIOS
:aiguales)(
3
1
)(Si
hxf
x
xf



3
)()
3
1
)()
3
1
)()
3
1
)()










x
hx
hxfd
h
x
hxfc
hx
hxfb
h
hxfa
:aiguales
)('definiciónPor xf
h
xfhxf
d
h
hfxf
c
h
xfhxf
b
hx
xfhxf
a
h
h
h
h
)()(
lim)
)()(
lim)
)()(
lim)
)()(
lim)
0
0
0
0









TEMA: DERIVACIÓN POR DEFINICIÓN

3. 23)(  xxf
Halle la derivada de la función f usando la
definición, siendo su regla de correspondencia
TEMA: DERIVACIÓN POR DEFINICIÓN

4.      
h
xfhxf
xf
h


0
lím'Definición
Aplique la definición
   
h
xhx
xf
h
2323
lím'
0



23)(  xxf
Evalúe
   
0
0
:
0
23203
lím'
0



xx
xf
h
Racionalice el numerador
   
h
xhx
xf
h
2323
lím'
0



 
  2323
2323



xhx
xhx
FORMA INDETERMINADA
Recuerde: (a + b)(a – b) = a2
– b2
Recuerde: (a + b)(a – b) = a2
– b2

5. Efectúe las operaciones correspondientes y simplifique
      
  )2323(
2323
lím'
22
0 


 xhxh
xhx
xf
h
     
  )2323(
2323
lím'
0 


 xhxh
xhx
xf
h
 
  )2323(
3
lím'
0 

 xhxh
h
xf
h   2323
3
lím
0 

 xhxh
 
232
3
'


x
xf
Evalúe

6. CONOCIMIENTOS PREVIOS
Determine la verdad o falsedad en cada caso:
1
)(')( 
 xx
xexfexf
xxfxxf cos)('sen)( 
xxfxxf sen)('cos)( 
xx
xexfexf 45
5)(')( 
xxfxxf cos7)('sen7)( 
xxfxxf sen22)('cos2)( 
F
F
V
F
F
V
TEMA: REGLAS DE DERIVACIÓN – REGLA DE LA CADENA

7. 3
5)( 
 xxf
0)(')d
2)(')c
15)(')b
15)(')a
3
2
4







xf
xxf
xxf
xxf
PREGUNTA 1
PREGUNTA 2
PREGUNTA 3
PREGUNTA 4
PREGUNTA 5
 xxf 6sen2)( 
 
 
 
 xxf
xxf
xxf
xxf
cos8)(')d
cos12)(')c
6cos8)(')b
6cos12)(')a




x
exf 9
)( 
x
x
x
x
xexf
exf
xexf
exf
9
9
10
8
9)(')d
9)(')c
9)(')b
9)(')a




 xxf 10ln)( 
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
10
)(')d
10
9
)(')c
10
1
)(')b
1
)(')a




5
)( exf 
0)(')d
5)(')c
5)(')b
)(')a
4
5
5




xf
exf
exf
exf
CONOCIMIENTOS PREVIOS
CONTINUAR
TEMA: REGLAS DE DERIVACIÓN – REGLA DE LA CADENA

8. Halle sabiendo que
 42
3sen5
3
xey x

dx
dy
TEMA: REGLAS DE DERIVACIÓN – REGLA DE LA CADENA

9.   )(')()()(')()(
'
xgxfxgxfxgxf 
Recuerde derivada
de un producto
Regla de la cadena
 42
3sen5
3
xey x

     '424
'
2
)3sen(53sen5
33
xexe
dx
dy xx

     342422
21)3cos(53sen65
33
xxexxe
dx
dy xx

Efectúe operaciones
  )3cos(603sen30 423422 33
xexxex
dx
dy xx

 )3cos(2)3sen(30 4422 3
xxxex
dx
dy x

Respuesta

10. Halle sabiendo que:
yxy
x
y 22
ln 





'y
TEMA: DERIVACIÓN IMPLÍCITA

11. Recuerde la derivada
de una división
 2
'
)(
)(')()()('
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf 






yxy
x
y 22
ln 





Derive cada término
   '2'2
'
)ln( yxy
x
y






 ')('2
/
1 2'2
'
yxyxyy
x
y
xy






'2'2
)'(' 2
2
yxxyyy
x
xyxy
y
x





 
Aplique las reglas
de derivación
Efectúe las operaciones
adecuadas y simplifique
'2'2
'1 2
yxxyyy
x
yxy
y





 
'2'2' 3222
yyxyxyxyyxy 

12. Agrupe para factorizar y’
'2'2' 3222
yyxyxyxyyxy 
yyxyyxyxyxy  2232
2''2'
  2232
22' yxyyxxyxy 
Respuesta
yxxyx
yxy
y 32
22
2
2
'




13. Determine cuál de las siguientes igualdades
es incorrecta:
3242 4
3
lim
16
63
lim)
xx
x
a
xx 



x
x
x
x
b
xx 6cos6
5cos5
lim
6sen
5sen
lim)
00 

x
x
x
xx
c
xx 2
13
lim
1
lim)
2
12
3
1





910
521
lim
495
357
lim)
2
2
3





 x
x
xx
xx
d
xx
TEMA: TEOREMA DE L’HOSPISTAL
CONOCIMIENTOS PREVIOS

14.  20
1
cos1
lím


 xx
e
x
Calcule:
TEMA: TEOREMA DE L’HOSPISTAL

15. Evalúe
 



 20
1
cos1
lím
xx
e
x
    0
0
:
0
11
1
0cos1
220




e
Aplique el teorema
de L’Hospital  
 
 
'
2
'
020
1
cos1
lím
1
cos1
lím




 




 xxxx
e
x
e
x
xxx ee
x
)1(2
sen
lím
0 


Evalúe
000 )1(2
0sen
)1(2
sen
lím
eeee
x
xxx 

 0
0
:
)1)(11(2
0


FORMA INDETERMINADA
FORMA INDETERMINADA
¡NO es
derivada de un
cociente!

16. Vuelva a aplicar
L’Hospital
)2(2
cos
lím 20 xxx ee
x



 
'2
'
00 )(2
sen
lím
)1(2
sen
lím xxxxxx ee
x
ee
x


 
Evalúe
)2(2
0cos
)2(2
cos
lím 0020 eeee
x
xxx 

 2
1
)1)1(2(2
1



  2
1
1
cos1
lím 20



 xx
e
x
Respuesta

17. Se vierte arena en el suelo a razón de 0,9p m3
por segundo. La arena forma en el suelo una pila
en forma de cono, cuya altura es igual al radio
de la base. ¿A qué velocidad aumenta la altura
de la pila 10 segundos después de que se empezó
a verter la arena?
TEMA: TASAS RELACIONADAS

18. Esboce el
gráfico y
defina sus
variables
h
r
hrV 2
3
1
p
h= altura del cono
r = radio de la base
del cono
Fórmula del
volumen del cono
Datos s/m9,0 3
p
dt
dV
rh ;
Pregunta
dt
dh 10cuando, t
Exprese la fórmula del volumen en
términos de una sola variable
3
3
1
hV p
hrV 2
3
1
p
Se vierte arena en el suelo a razón de 0,9p m3
por segundo. La arena forma en el suelo una pila en
forma de cono, cuya altura es igual al radio de la base. ¿A qué velocidad aumenta la altura de la
pila 10 segundos después de que se empezó a verter la arena?
h = r

19. Deriva V con respecto
a t dt
dh
h
dt
dV 2
3
3
1
p
dt
dh
h2
9,0 pp 
Simplifica y
Reemplaza los datos ……….( I )
Observa que falta calcular el valor de h
Como el volumen varía a razón de 0,9p m3
por segundo entonces para t = 10 s el
volumen en ese instante es 9p m3
.
Reemplace este valor en la fórmula para calcular h.
3
3
1
hV p 3
3
1
9 hpp  3
27 h 3h
Reemplace
este valor en (I)  
dt
dh2
39,0 pp  1,0
dt
dh
Respuesta
La altura aumenta a razón de 0,1 m/s , cuando t =10s.
3
3
1
hV p

20. RESUMEN DE CLASE
Derivación por definición
Reglas de derivación
Derivación implícita
Teorema de L’Hospital
Tasas relacionadas