Este documento explica el concepto de derivada direccional en análisis matemático. La derivada direccional de una función multivariable representa la tasa de cambio de la función en una dirección dada por un vector. Se define formalmente como un límite y puede expresarse en términos del gradiente de la función si esta es diferenciable. El documento también discute diferentes definiciones de derivada direccional y propiedades importantes de este concepto.

1. Autora:
Jackly Soto
III Semestre de
Arquitectura

2. DERIVADAS DIRECCIONALES
• En análisis matemático, la derivada direccional (o
bien derivada según una dirección) de una función
multivariable, en la dirección de un vector dado,
representa la tasa de cambio de la función en la
dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las
derivadas parciales, puesto que estas son derivadas
direccionales según la dirección de los respectivos
ejes coordenados.

3. DEFINICIÓN GENERAL
• La derivada direccional de una función real de n variables:
• en la dirección del vector:
• es la función definida por el límite:

4. • Si la función es diferenciable, puede ser escrita en
término de su gradiente.
• donde “.” denota el producto escalar o producto punto
entre vectores. En cualquier punto x, la derivada
direccional de f representa intuitivamente la tasa de
cambio de f con respecto al tiempo cuando se está
moviendo a una velocidad y dirección dada por v en
dicho punto.

5. DEFINICIÓN SOLO EN LA DIRECCIÓN DE UN
VECTOR
• Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al
vector v después de la normalización, ignorando así su
magnitud. En este caso:
• Si la función es diferenciable, entonces

6. •Esta definición tiene algunas desventajas: su
aplicabilidad está limitada a un vector
de norma definida y no nula. Además es
incompatible con la notación empleada en otras
ramas de la matemática, física e ingeniería por lo
que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la
tasa de incremento de F por unidad de distancia.

7. RESTRICCIÓN AL VECTOR UNITARIO
• Algunos autores restringen la definición de la derivada
direccional con respecto a un vector unitario. Con esta
restricción, las dos definiciones anteriores se convierten en una
misma.DEMOSTRACIÓN
• El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el
espacio tridimensional. Supóngase que existe una función
diferenciable z=F(x,y) . La derivada direccional según la dirección
de un vector unitario v=(vx,vy) es:

8. • El primero de estos límites puede calcularse mediante el
cambio h’=vxh lo cual lleva, por ser diferenciable la función f,
a:
• Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
• Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del
gradiente por el vector v=(vx,vy):

9. NOTACIONES ALTERNAS
• La derivada direccional puede ser denotada mediante los
símbolos:
• Donde v es la parametrización de una curva para la cual v es
tangente y la cual determina su magnitud.

10. PROPIEDADES
• Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se
mantienen en las derivadas direccionales. Estas incluyen, para
cualquier pareja de funciones f y g definidas en la vecindad de
un punto p, donde son diferenciables:

11. CAMPOS VECTORIALES
• El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a
funciones de
del tipo:
• En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como
se hacía con funciones de una variable:
• Una diferencia con el caso de funciones de reales de una
variable es que la existencia de derivadas direccionales según
todas las direcciones no implica necesariamente que una
función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta
que la aplicación:
• Es lineal y se cumple además es expresable en términos