explicación detallada de las derivadas direccionales, definiciones y demostraciones

1. Derivada direccional
Autor: Jesùs fajardo
C.I:V-21627211
Asignatura: matemática III
REPÙBLICA BOLIVARIANA DEVENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
ESCUELA DE ARQUITECTURA
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL

2. INTRODUCCION
En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de
una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de
la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales,
puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes
coordenados.
Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación ,
mostrando el vector gradiente en negro, y el vector unitario
escalado por la derivada direccional en la dirección de en
anaranjado. El vector gradiente es más largo porque apunta
en la dirección de la mayor tasa de incremento de una
función.
DEFINICIÒN

3. DEFINICION GENERAL
La derivada direccional de una función real de n variables:
en la dirección del vector:
es la función definida por el límite:
Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente

4. Definición solo en la dirección de un vector
donde “." denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En cualquier
punto x , la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f
con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada
por en dicho punto.
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector después de la
normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:
Si la función es diferenciable, entonces
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un vector
de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación

5. Restricción al vector unitario.
empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse
cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de f por unidad de distancia.int a,b,c;
a+b=c
Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a
un vector unitario. Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se convierten en
una misma.
Demostración
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional.
Supóngase que existe una función diferenciable . La derivada direccional según
la dirección de un vector unitario es:

6. El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio lo cual lleva, por
ser diferenciable la función1 f, a:
Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector

7. Notaciones alternas
La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos:
Donde v es la parametrización de una curva para la cual v es tangente y la cual
determina su magnitud.
Propiedades.
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las derivadas
direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones f y g definidas en
la vecindad de un punto p, donde son diferenciables:
• Regla de la suma:

8. • Regla del factor constante:
Donde c es cualquier constante
• Regla del producto (o fórmula de Leibniz):
• Regla de la cadena: si g es diferente en el punto p y h es diferente en g(p), entonces:
Campos vectoriales
El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de del tipo

9. En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con funciones de una
variable:
Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de
derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente que una
función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la aplicación:
Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano: