1) El documento explica cómo derivar funciones implícitas mediante el proceso de derivación implícita, aplicando la regla de la cadena a cada término por separado. 2) Incluye ejemplos de cómo derivar ecuaciones implícitas como 3x4y2 + 3x2 = xy + 7. 3) También muestra cómo derivar implícitamente otras ecuaciones como x sen y + y cos x = 1.

1. IUTAJS
Yosneiver José
Derivación de funciones implícitas
Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de
correspondencia ninguna variable está despejada en términos de la otra. La
derivada de una función implícita se puede determinar con respecto a la variable
independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso
denominado derivación implícita. Al derivar funciones implícitas, es común aplicar
la regla de la cadena. El procedimiento para esta derivación se puede consultar en
el libro de texto y en el formulario o prontuario.
Su forma de derivar:
Se aplica las reglas anteriores a conocida resultando la derivación de la variable
dependiente y al final se despeja dicha condición.
Hasta el momento las ecuaciones han sido expresadas en forma explícitas. Esto es,
la ecuación ha sido expresada respecto a una variable en términos de la otra. Por
ejemplo, y = 2x - 3 es una ecuación expresada respecto de y en términos de x.
Pero existen ecuaciones que no están dadas explícitamente. Por ejemplo, las
ecuaciones:
2x + y = 4
X y =1
x2
+ y2
= 9
no están dadas en forma explícita. Tales ecuaciones están expresadas en forma
implícita. Para derivar una ecuación implícita no es necesario expresarla en forma

2. explícita. Se puede utilizar un método conocido por derivación implícita. Es un
método que consiste en derivar cada término por separado en la ecuación dada.
La notación:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Y se lee "la derivada de y respecto a x". Para entender cómo hallar la derivada
de y con respecto a x implícitamente, se debe observar que la derivación se efectúa
respecto de x. Esto es, cuando derivamos términos que contienen sólo a x, se deriva
como de costumbre, pero al derivar términos con y se aplica la regla de la cadena.
Ejemplo 1: Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con respecto a x de
la función
3𝑥4
𝑦2
+ 3𝑥2
= 𝑥𝑦 + 7
Derivando con respecto a x
𝐷 𝑥(3𝑥4
𝑦2) + 𝐷 𝑥(3𝑥2
)=𝐷 𝑥( 𝑥𝑦) + 𝐷 𝑥(7)
Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos 3𝑥4
𝑦2
y 𝑥𝑦 se
debe aplicar el teorema de la derivada de un producto.
Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y con respecto
a x.
6𝑥4
𝑦𝑦´ + 12𝑥3
𝑦2
+ 6𝑥 = 𝑥𝑦´ + 𝑦

3. Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a
y´ se agrupan en el primer miembro, factorizando los términos
𝑦′(6𝑥4
𝑦 − 𝑥) = 𝑦 − 12𝑥3
𝑦2
− 6𝑥
Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x.
𝑦′
=
𝑦 − 12𝑥3
𝑦2
− 6𝑥
6𝑥4 𝑦 − 𝑥
Ejemplo 2: En los ejercicios 17 a 32 determine
𝑑𝑦
𝑑𝑥
por medio de diferenciación
implícita.
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦 cos 𝑥 = 1
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦 cos 𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
1
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥) 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑠𝑒𝑛 𝑦) + (
𝑑
𝑑𝑥
𝑦) ∙ cos 𝑥 + 𝑦
𝑑
𝑑𝑥
(cos 𝑥) = 0
1 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 ∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
cos 𝑥 + 𝑦(−sen 𝑥) = 0
( 𝑥 cos 𝑦 + cos 𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 sen 𝑥 − sen 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦 sen 𝑥 − sen 𝑦
𝑥 cos 𝑦 + cos 𝑥

4. Ejemplo 3:
0.2
 YXY
0)1*1*(2  y
dx
dy
x
dx
dy
y
02  y
dx
xdy
dx
dy
y
y
dx
xdy
dx
dy
y 2
yxy
dx
dy
 )2(
xy
y
dx
dy


2