La derivada de un vector es la tasa de cambio de ese vector con respecto al tiempo. Se expresa como la derivada de cada componente del vector en la base cartesiana. Por ejemplo, la derivada de la posición de un objeto que se mueve en el tiempo es su velocidad instantánea en ese momento.

1. Derivada de un Vector
Suma y resta de funciones vectoriales

2. • Un vector puede ser función de una
variable (típicamente el tiempo).
• La derivada de un vector es expresado en
una base cartesiana como:

3. • Es decir, sea A una función vectorial que
depende de un escalar t (tiempo).
Entonces:
• Y su derivada sería, como ya se vio antes:

4. • Por ejemplo, A puede ser la posición de
un objeto y t, puede ser el tiempo que le
tome en moverse a otro punto
(desplazamiento).
Instante Posición
t = t 0
t’= t F A’(t)

5. • En un intervalo de tiempo como:
• Se interpreta como el cambio efectuado
sobre t (tiempo), es igual a la diferencia
entre el tiempo final (derivada) y el tiempo
inicial (función vectorial original).

6. • El objeto se ha movido desde A(t) hasta
A(t ’) Desplazamiento

7. • Sea r = (f1, ….., fn) función vectorial. La
derivada de r en t es:

8. • Derivada de la suma de dos funciones
vectoriales:
• Derivada de la resta de dos funciones
vectoriales:

9. • r(t) = 4t² i + 3t j + 2 k
• r(t’) = 8t i + 3 j + 0 k

10. r(t) = 4t² i + 3t j + 2 k

11. r(t’) = 8t i + 3 j + 0 k

12. • Calcular la velocidad instantánea de un
móvil.
• Sea un cuerpo que se mueve con
velocidad variable en la dirección del eje X
según la ecuación y deseamos
saber cuál será su velocidad en un
instante dado, por ej. t = 4s.

13. • Se define velocidad instantánea V, como
el límite de la velocidad media
cuando el intervalo de tiempo se hace casi
cero:
¿Pero cómo calcular ese límite para
conocer la velocidad instantánea?

14. • Esos resultados indican que la velocidad media en el límite cuando
tiende a cero se va acercando a 43 m/s.
Tomamos un incremento de tiempo muy pequeño,
por ej. , y calculamos la posición del
móvil en los instantes t = 4s y t = 4 + 0,001s.

15. • Que para el instante t = 4s da un valor de velocidad instantánea de
43 m/s.
10 (4) +3 = 40 + 3 = 43 m/s
• El vector velocidad instantánea de un móvil cuya posición en
función del tiempo viene dada por , se expresa como la
derivada del vector de posición con respecto al tiempo:
Pero ese laborioso método para calcular la
velocidad instantánea se simplifica con el uso de la
derivada, escribiendo: