Este documento describe los conceptos fundamentales de la investigación operativa, incluyendo su definición, historia, métodos y aplicaciones. La investigación operativa se aplica para asignar recursos de forma eficaz mediante el desarrollo de modelos matemáticos. Algunos de los modelos más comunes son la programación lineal, entera y no lineal, los cuales se usan para resolver problemas como el transporte, flujo en redes y asignación.

1. Investigación OperativaDESARROLLO DE MODELOS

2. El problemaLos recursos son escasosLos sistemas son cada vez más complejosCada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz

3. Investigación operativa (I.O.)Es la aplicación del método científico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejosSu objetivo es ayudar a la toma de decisionesRequiere un enfoque interdisciplinario

4. Historia de la I.O.Se aplica por primera vez en 1780Antecedentes:Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20)Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20)El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial

5. Historia de la I.O.Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria, debido a:competitividad industrialprogreso teóricoRAND (Dantzig)Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper)gran desarrollo de los ordenadores

6. Actualidad de la I.O.Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia ArtificialMás información:Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO)www.cica.es/aliens/seioAssociation of European O.R. Societies (EURO)www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.htmlInstitute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS)www.informs.orgInternational Federation of O.R. Societies (IFORS)www.ifors.org

7. El método de la I.O.Definición del problemaFormulación del problema y construcción del modeloResoluciónVerificación, validación, refinamientoInterpretación y análisis de resultadosImplantación y uso extensivoA lo largo de todo el proceso debe haber una interacciónconstante entre el analista y el cliente

8. El modeladoEs una cienciaanálisis de relacionesaplicación de algoritmos de soluciónY a la vez un artevisión de la realidadestilo, elegancia, simplicidaduso creativo de las herramientasexperiencia

9. Definición del problemaConsiste en identificar los elementos de decisiónobjetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer)alternativaslimitaciones del sistemaHay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema)Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles

10. Formulación del problemaModelo: representación simplificada de la realidad, que facilita su comprensión y el estudio de su comportamientoDebe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representaciónModelo matemático: modelo expresado en términos matemáticoshace más claras la estructura y relacionesfacilita el uso de técnicas matemáticas y ordenadoresa veces no es aplicable

11. Construcción del modeloTraducción del problema a términos matemáticosobjetivos: función objetivoalternativas: variables de decisiónlimitaciones del sistema: restriccionesPero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejasheurísticossimulación

12. Tipos de modelosDeterminísticosProgramación matemáticaProgramación linealProgramación enteraProgramación dinámicaProgramación no linealProgramación multiobjetivoModelos de transporteModelos de redesProbabilísticos

13. Programación estocástica

14. Gestión de inventarios

15. Fenómenos de espera (colas)

16. Teoría de juegos

17. SimulaciónResoluciónDeterminar los valores de las variables de decisión de modo que la solución sea óptima (o satisfactoria) sujeta a las restriccionesPuede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos

18. Verificación y validaciónEliminación de erroresComprobación de que el modelo se adapta a la realidad

19. Interpretación y análisisRobustez de la solución óptima obtenida: Análisis de sensibilidadDetección de soluciones cuasi-óptimas atractivas

20. ImplantaciónSistema de ayuda y mantenimientoDocumentaciónFormación de usuarios

21. Ejemplo nº1En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de 50 ptas/l y 30 ptas/l, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de 5.000 y 2.000 ptas de materias primaspor cada 1000 l.La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y10.000 ptas para materias primas, y desea maximizar subeneficio. ¿Cuántos litros debe producir?

22. Formulación

23. El modelo de P.L.

24. El modelo de P.L.z: función objetivoCT (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f.o.XT (x1,...,xn): vector de variables de decisiónA (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicosb (b1,...,bm): vector de demandasMatricialmente, Opt CTX s.a. AX b x  0Forma canónica

25. Propiedades del modelo linealProporcionalidadLa contribución al coste y a las restricciones es directamente proporcional al valor de cada variableAditividadEl coste y las restricciones son la suma directa de las variablesDivisibilidadLas variables pueden dividirse en cualquier tipo de fracción

26. Modelos de prog. enteraEl modelo matemático es el modelo de P.L., pero con algunas variables enterasProgramación entera mixta (MIP) x  R+, y  Z+Programación entera pura (IP)x  Z+Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP)x  {0,1}: variables de asignación, lógicasSon problemas más complicados de resolver que los de P.L.El primer algoritmo de resolución se planteó en el año 1958 (Gomory)

27. Problemas típicosProblema del transporteProblema de flujo con coste mínimo en redProblema de asignaciónProblema de la mochila (knapsack)Problema del emparejamiento (matching)Problema del recubrimiento (set-covering)Problema del empaquetado (set-packing)Problema de partición (set-partitioning)Problema del coste fijo (fixed-charge)Problema del viajante (TSP)Problema de rutas óptimas

28. Problema del transporteMinimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la ofertaxij: unidades a enviar de origen i a destino jcij: coste unitario de transporte de i a jai: unidades de oferta en el punto origen ibj: unidades de demanda en el punto destino jSe supone oferta total igual a demanda total

29. Flujo con coste mínimo en redEmbarcar los recursos disponibles a través de la redpara satisfacer la demanda a coste mínimoxij: unidades enviadas de i a j (flujo)cij: coste unitario de transporte de i a jbi:recursos disponibles en un nodo i oferta: bi>0 demanda: bi<0 transbordo: bi=0Se supone oferta total igual a demanda total

30. Problema de asignaciónMinimizar el coste total de operación de modo que: - cada tarea se asigne a una y sólo una máquina - cada máquina realice una y sólo una tareaxij: 1 si la tarea i se hace con la máquina jcij: coste de realizar la tarea i con máquina jn tareasm máquinasSi hay más máquinas que tareas se formulacon desigualdades, y se resuelve con tareasficticias

31. Problema de la mochilaEscoger un grupo de productos que maximice el valortotal sin exceder el espacio disponiblen objetosaj: espacio que ocupa el objeto jcj: valor del objeto jb: volumen de la mochilaxj: 1 si se escoge el objeto j

32. Problema de emparejamientoDistribuir un conjunto por parejas de tal forma que el valor sea máximo. Si hay elementos sin pareja: emparejamiento imperfecto. Si están en dos conjuntos, emparejamiento bipartito.xij=1 si los elementos i y j son parejacij: valor de la pareja i-j i<j

33. Problema de recubrimientoMinimizar el coste de las actividades que en su conjunto cubren todas las características al menos una vez m característicasn actividadesxj=1 si la actividad j se realizacj: coste unitario de la actividad jaij=1 si la característica i está en la actividad jA: matriz de incidencia

34. Problema de empaquetadoMaximizar el beneficio total de forma que hay que elegir conjuntos completos de actividades, y que no se realice una actividad dos veces m actividadesn conjuntos de actividadesxj=1 si se elige el subconjunto jcj: beneficio por realizar el conjunto jaij=1 si el conjunto j incluye la actividad iA: matriz de incidencia

35. Problema de particiónSi en el problema de recubrimiento o en el de empaquetado las desigualdades se cambian por igualdadesm actividadesn conjuntos de actividadesxj=1 si se elige el subconjunto jcj: beneficio por realizar el conjunto jaij=1 si el conjunto j incluye la actividad iA: matriz de incidencia

36. Problema del coste fijoDecidir la cantidad de cada producto de modo que se minimicen los costes de producción y se satisfaga la demandaxij: unidades del producto jcj: coste unitario de producción de jyk=1 si se usa la instalación kfk: coste de arranque de la instalación kakj=1 si el producto j usa la instalación kbj: demanda del producto jM: número lo suficientemente grande

37. Problema del viajanteEncontrar un circuito que visite exactamente una vez cada ciudad empezando en la primera y que tenga longitud mínimaxij=1 si de i va directamente a jcij: distancia entre i y jA: conjunto de arcosV: conjunto de nodos

39. Problema de rutasMinimizar el coste total, visitando todos los clientesN: clientesM: vehículosxijk=1 si el vehículo k visita j después de icij: coste unitario de transporte de i a jdij: distancia de i a jtij: tiempo de i a jqi: demandasi: tiempo de descargai: prioridadQk: capacidadrok, dok: período tiempo disponibleck: coste fijo por uso

40. Formulación con var. binariasRestricciones disyuntivasK de N alternativas deben darseRestricciones condicionalesequiv. aDecisiones contingentesx  yy  x