El documento explica los determinantes, incluyendo su historia, definiciones y métodos de cálculo. Los determinantes fueron introducidos en el siglo XVI para estudiar sistemas de ecuaciones lineales y aparecieron antes que las matrices. Existen diferentes métodos para calcular determinantes dependiendo de su orden, como el método de cofactores para orden 2 y la regla de Sarrus para orden 3. Los determinantes también se pueden definir para matrices de dimensión infinita.

1. Republica Bolivariana deVenezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Escuela de Ingeniería Eléctrica
forma multilineal alternada de un cuerpo
Profesor:
Ing. Ramón A. Aray L.
Alumno:
Jesús David ArechiderV-20,875,751

2. El determinante de una matriz es un número real, Los determinantes
hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las
matrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando
de dar a entender que era “la madre de los determinantes”. En su sentido
original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de
ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2
por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la
resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Las
Determinantes vienen dadas según su tipo de orden y estructura de ecuación o
matriz, en tales casos esta no permitirá la resolución a los problemas de
incógnitas que se puedan dar en el problema.

3. • Un determinante es un número real o escalar asociado a una matriz, y su
calculo dependerá del orden de la matriz cuadrada en análisis. Llamamos
determinante de A, det A, al número obtenido al sumar todos los
diferentes productos de n elementos que se pueden formar con los
elementos de dicha matriz, de modo que en cada producto figuren un
elemento de cada distinta fila y uno de cada distinta columna, a cada
producto se le asigna el signo (+) si la permutación de los subíndices de filas
es del mismo orden que la permutación de los subíndices de columnas, y
signo (-) si son de distinto orden.

4. • Los determinantes fueron introducidos en Occidente a
partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que
no aparecieron hasta el siglo XIX. Los determinantes
hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo
antes que las matrices. El término matriz fue creado por
James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que
era “la madre de los determinantes”.
• En su sentido original, el determinante determina la
unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones
lineales. Fue introducido para el caso de orden 2
por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado
como una regla para la resolución de sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula
lleva el nombre de regula de modo.
• La aparición de determinantes de órdenes superiores
tardó aún más de cien años en llegar.Curiosamente el
japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los
primeros ejemplos casi simultáneamente.
Kowa Seki introdujo los
determinantes de orden 3 y 4.

5. • Matrices de Orden Inferior.
El caso de matrices de orden inferior
(orden 1, 2 ó 3) es tan sencillo que su
determinante se calcula con sencillas reglas
conocidas. Dichas reglas son también
deducibles del teorema de Laplace.
• Determinantes en dimensión Infinita.
Bajo ciertas condiciones puede definirse el
determinante de aplicaciones lineales de
un espacio vectorial de Banach de dimensión
infinita.
• Determinantes de orden superior
El determinante de orden n, puede calcularse
mediante el teorema de Laplace a partir de una
fila o columna, reduciendo el problema al cálculo
de n determinantes de orden n-1. Para ello se
toma una fila o columna cualquiera, multiplicando
cada elemento por su cofactor (es decir, el
determinante de la matriz que se obtiene
eliminando la fila y columna correspondiente a
dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es
el número de fila y j el número de columna). La
suma de todos los productos es igual al
determinante.

6. • Determinante de Orden uno.
Una matriz de orden uno, es un caso trivial, pero lo trataremos para
completar todos los casos. Una matriz de orden uno puede ser
tratada como un escalar, pero aquí la consideraremos una matriz
cuadrada de orden uno. Los determinantes de orden uno definen
como lo siguiente:

7. • Determinante de Orden dos.
Los determinantes de orden dos se definen como lo siguiente:

8. • Determinante de Orden tres.
Consideremos una matriz 3 * 3. Los determinantes de orden
tres se definen como lo siguiente:

9. • Determinante de Orden Superior.
El determinante de orden n, puede calcularse mediante el teorema de Laplace a partir de una fila o
columna, reduciendo el problema al cálculo de n determinantes de orden n-1. Para ello se toma una fila o
columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su cofactor (es decir, el determinante de la matriz que
se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es
el número de fila y j el número de columna). La suma de todos los productos es igual al determinante.
En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden 3 que
podrán ser calculados por la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por
ejemplo n = 5, al desarrollar los elementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su
vez se deberán desarrollar en por el mismo método, para obtener determinantes de orden 3. Por ejemplo,
para obtener con el método especificado un determinante de orden 4, se deben calcular 4 determinantes de
orden 3. En cambio, si previamente se logran tres ceros en una fila o columna, bastara con calcular solo un
determinante de orden 3 (ya que los demás determinantes estarán multiplicados por 0, lo que los anula).
Para calcular el determinante de una matriz de 4x4 también se puede utilizar directamente la regla de
Villalobos, que es una extensión de la regla de Sarrus.

10. • Determinante en dimensión infinita.
Bajo ciertas condiciones puede definirse el determinante de aplicaciones
lineales de un espacio vectorial de Banach de dimensión infinita. En concreto en
el determinante está definido para los operadores de la clase de
determinante que puede a partir de los operadores de la clase de traza. Un
ejemplo notable fue el determinante de Fredholm que este definió en conexión
con su estudio de la ecuación integral que lleva su nombre:
Donde:
F(x): Función Conocida.
Φ(x): Es una función incognita.
K(x,y): Es una función conocida
llamada Nucleo, que da lugar al
siguiente operador lineal compacto
y de traza finita en el espacio.

11. • Cálculo de la matriz inversa
Dada una matriz cuadradaA, su inversa será igual a la expresión 2.4, la cual es
fácil probarla ya que la suma de los productos de los elementos de una fila por
sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de
los elementos de una fila por los adjuntos d otra fila diferente es 0 (esto sería el
desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de
una de ellas).

12. • Solución de sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l)
Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con
n incógnitas, Donde aj son los coeficientes, xi las incógnitas y bi son los
términos independientes. El anterior sistema se puede expresar en forma
matricial, usando el producto de matrices de la forma:

13. • Regla de Cramer.
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de
incógnitas (n=m) y es compatible determinado. El valor de cada incógnita xi se
obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la matriz de
coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar
la columna i del determinante anterior por la columna de los términos
independientes:

14. • El Jacobiano
Es un determinante especial que sirve para testear la dependencia funcional,
tanto lineal como no lineal. Un determinante jacobiano esta compuesto por
todas las primeras derivadas parciales. Por ejemplo, dadas las siguientes
funciones, El (determinante) Jacobiano será igual a:

15. El determinante fue introducido para estudiar el número de soluciones de
los sistemas de ecuaciones lineales. Las diferentes formas de resolución nos
llevó a un enfoque mucho más amplio en la resolución del determinante, por
ejemplo el método de cofactores se usa mucho en la resolución de el
determinante de 2 x 2, el método de Sarus y el método de la estrella nos
permite trabajar de una manera muy rápida en determinantes de 3x3 y el
método de Gauss que es un proceso muy fácil y conocido nos permite resolver
determinantes de cualquier orden.

16. • Matemáticas Para Economistas (publicación desconocida). Libro PDF Online.Carlos
Orihuela Romero. Disponibilidad en:
https://www.yumpu.com/es/document/view/30503016/capitulo-2-matrices-y-
determinantes/27
• Matrices y Determinantes (28 de agosto de 2017). En líneaWeb. FundaciónWikimedia,
Inc., Disponibilidad en: https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)
• Matrices y Determinantes (publicación desconocida). Web Online. ESCUELATÉCNICA
SUPERIOR DE NÁUTICAY MÁQUINAS NAVALES. Disponible en:
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/T_matrdeter/MatrDeter
• Orden de Determinantes (publicación desconocida). Web Online.
SectorMatematicasWeb. Disponible en:
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/determ.htm