Este documento explica los conceptos de integrales dobles y sus propiedades. Una integral doble consiste en realizar dos integrales simultáneas, primero en función de x considerando y como constante, y luego en función de y. Las integrales dobles pueden realizarse sobre rectángulos u otras regiones y cumplen propiedades como linealidad y monotonía. También se explican integrales dobles en coordenadas polares.

1. INTEGRALES DOBLES
Sea f(x,y) una función continua para los valores de x,y que pertenecen a R. Para
un y fijo obtenemos la función F(x)=f(x,y) que también es continua y por tanto
integrable en [a,b], por tanto:
La función obtenida, G(y), es continua y por tanto integrable en [c,d] de tal forma
que podemos definir la integral doble de la función f(x,y) el rectángulo R=[a,b]x[c,d]
como:
Es decir, realizar una integral doble consiste en realizar dos integrales
simultáneas, una en primer lugar en función de x, considerando que la y es una
constante; y en segundo lugar en función de y (en este caso ya no habrá ningún
termino con x).
PROPIEDADES:
1. Se cumple la propiedad de linealidad:
– Si hay un escalar multiplicando dentro de la integral se puede sacar factor
común:
– La integral de la suma de dos funciones dobles f(x,y) + g(x,y) es igual a la suma
de la integral doble de cada una de ellas:
2. Cumplen la propiedad de la monotonía:
Si f(x,y)≤g(x,y) para todos los valores de (x,y) pertenecientes a R, entonces

2. ∫∫f(x,y)dxdy ≤ ∫∫g(x,y)dxdy.
3. Si el recinto R se puede dividir en dos recintos disjuntos R1 y R2, es decir, tal
que R1 U R2 = R y cuya intersección sea vacía o lo que es lo mismo que R1∩R2
no tenga área, entonces:
4. El área del recinto R=[a,b]x[c,d] se puede calcular mediante la siguiente integral:
5. Podemos intercambiar los límites de integración siempre y cuando cambiamos
también el orden de las variables respecto a las que estamos integrando:
6. La función del valor absoluto, |f(x,y)| también es integrable y verifica que:
Recordemos que también podemos realizar integrales dobles sobre recintos que
no sean rectángulos, estas integrales se estudian más a fondo en carreras de
ciencias como las ingenierías, por tanto, por ahora, este ha sido un buen
comienzo.
EJEMPLO

3. 1) INTEGRAL DOBLE EN UN RECTÁNGULO
La integral doble de una función de dos variables f, sobre el rectángulo R es
Si este lımite existe.
Si f es una función continua en R, se puede demostrar que el lımite de la definición
anterior existe y el resultado es un número real.
Notemos que la definición anterior es aplicable a cualquier función de dos
variables, sin importar su signo. Ahora bien, cuando f(x, y) ≥ 0 en R, la integral
doble ∫∫R f(x, y) dA, representa el volumen V del solido que se encuentra arriba del
rectángulo R y debajo de la superficie z = f(x, y), y puede escribirse:
TEORIA
Si una función f es continua en un rectángulo R = [a, b] × [c, d] entonces f es
Integrable en R. además el valor de la integral puede obtenerse por integración
sucesiva Demostración. Para Y0 fija en [c, d] la integral ∫∫ab dx existe ya que el

4. integrando es continuo en R
Sea
Vamos a demostrar que A(Y) es continua en [c,d]. Sean Y,Y1 E [c,d] entonces
Como f es continua y Y está cercana a Y1 entonces |f(X,Y) – f(X,Y1)|< por
lo tanto
Si y está cercana a Y1
A(Y) es continua y por tanto integrable en [c,d] y su integral es
Con un razonamiento análogo se puede concluir que
EJEMPLO
(a) f(x, y) = 1 /(x + y)^2 , R = [3, 4] × [1, 2].

5. 2) INTEGRAL DOBLE EN REGIONES DE TIPO I:
Sea f: DI ⊂ R^2 → R una función continua en una región DI de tipo I,
DI = {(x, y): a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
Donde g1 y g2 son funciones continuas en [a, b], entonces
3) INTEGRAL DOBLE EN REGIONES DE TIPO II:
Sea f: DII ⊂ R^2 → R una función continua en una región DII de tipo II,
DII = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}
Donde h1 y h2 son funciones continuas en [c, d], entonces
EJERCICIO.
Observemos que el triángulo D es una región de tipo I:

6. Notar que en el cálculo anterior, necesitamos aplicar “integración por partes” para
hallar una primitiva para xcosx.
Y también es una región de tipo II:
Como era de esperar, considerando a D de tipo I ´o de tipo II, llegamos al mismo
resultado. En cuanto al grado de dificultad de los cálculos, si bien fue semejante
en ambos casos, notemos que cuando consideramos D = DI fue necesario aplicar
“integración por partes”.
4) INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES
Ahora veremos las integrales dobles las cuales se van a evaluar en regiones
circulares o regiones comprendidas entre dos círculos o una parte de estos
círculos. Por ejemplo:

7. Si nos piden la integral doble del circulo sombreado en marrón entonces
tendremos que hallar los límites de integración los cuales como vemos en la figura
van de -a≤x≤a. Hallando los limites de integración y formulándolos en la integral
nos quedaría:
Nos encontramos con una integral la cual no resulta tan sencilla de integrar, para
facilitar esta integral podemos recurrir a una región polar reduciéndonos la
dificultad del cálculo.
Para ello se tiene que tener en cuenta que la región circular se obtiene al hacer
rotar un segmento de recta en torno al origen del sistema.
Para poder realizar la conversión a coordenadas polares deberemos recordar:

8. Entonces, tomando pequeños diferenciales los cuales se aproximan a una región
rectangular nos quedaría la siguiente integral:
Por lo tanto para encontrar una integral en coordenadas polares se debe:
1. Expresar la región en el sistema polar, y determinar los límites de integración.
2. Sustituir en la función integrando las coordenadas polares por su equivalente en
coordenadas polares.
3. Reemplazar el diferencial de área por su equivalente en coordenadas polares
4. Evaluar la integral resultante.
EJEMPLO.
1. Dibujamos la región comprendida entre los círculos dados.

9. Los límites de integración en coordenadas polares son:
Realizando los cambios en la integral se tiene que:
Al tratar de evaluarlaintegral en
coordenadasrectangularesestase
tiene que dividirendoscuyos
límitesde integraciónson

10. Referencias:
http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/c4/fubini.pdf
http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_1.pdf
https://matematica.laguia2000.com/general/integrales-dobles
https://sites.google.com/site/pesqueriagrupocal/5-calculo-de-varias-
variables/integrales-dobles-en-coordenadas-polares
http://www.mate.unlp.edu.ar/practicas/114_6_13052015231314.pdf
AUTORES
Paula Andrea Cardona Lizcano
Faiber Manuel Ortiz Lasso
Santiago Losada Rincon