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CONTROL I


DISEÑO DE UN CONTROLADOR PID ANALOGO PARA
   LA VELOCIDAD DE UN MOTOR DC MEDIANTE
            MATLAB Y PSPICE
CONTROL I                                                                                  Controlador PID

OBJETIVOS

   ●   Diseñar un compensador PID que modifique la dinámica de la planta para satisfacer 
       condiciones   especificas   de   la   respuesta   transitoria   del   sistema   de   control   en   lazo 
       cerrado.
   ●   Construir un circuito con amplificadores operacionales que simule el comportamiento 
       dinámico del compensador.
   ●   Construir un circuito con amplificadores operacionales que simule el comportamiento 
       dinámico de la planta.
   ●   Realizar   simulaciones   de   la   respuesta   transitoria   del   sistema   de   control   en   lazo 
       cerrado y de la planta en Pspice y  Matlab.
   ●   Construir físicamente el sistema de control y realizar mediciones con el osciloscopio 
       para mostrar la señal de salida controlada.

MARCO TEÓRICO

Definiciones

       Planta. Una planta es cualquier objeto físico que debe controlarse, quizá simplemente 
       un juego de piezas de una máquina, funcionando conjuntamente, cuyo objetivo es  
       realizar una operación determinada.

       Sistema de control en lazo cerrado. Este sistema tiene una señal de error actuante, 
       que es la diferencia entre la señal de entrada y la de retroalimentacion (que puede ser 
       la señal de salida o una funcion de la señal de salida y sus derivadas), la cual entra al 
       controlador para reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor deseado.

       Motor  DC.  Es una  máquina  eléctrica que transforma  energía  eléctrica en  energía  
       mecánica por medio de interacciones electromagnéticas.

       Controlador PID.  Es un mecanismo de control por realimentación que se utiliza en  
       sistemas de control industriales. Un controlador PID corrige el error entre un valor  
       medido y el valor que se quiere obtener calculándolo y luego sacando una acción  
       correctora que puede ajustar al proceso acorde. El algoritmo de cálculo del control PID 
       se da en tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor 
       Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección 
       proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de  
       control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la 
       reacción del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones es 
       usada para ajustar al proceso vía un elemento de control como la velocidad de un  
       motor DC.
CONTROL I                                                                                     Controlador PID

Modelación Matemática de la velocidad de un motor DC

El  motor  se  divide  en dos  partes principales  la  parte  eléctrica  de  la armadura y la  parte 
mecánica tal como aparece en la Figura 1. La armadura se modela como un circuito con 
resistencia R conectada en serie a un inductor L, una fuente de voltaje V y constante Kb de 
fuerza contraelectromotriz  (K=Ki=Kb)  en el armadura, donde Ki es la constante del par. La 
parte mecánica del motor es el rotor el cual al estar en movimiento presenta momento de 
inercia   J,   un   par   torque   T,   un   coeficiente   de   fricción   viscosa   b,   una   posición  y   una 
velocidad angular  b = .   ˙




                        Figura 1. Modelo de un motor DC en forma separada

La   dinámica   de   la   armadura   se   modela   matemáticamente   por   la   siguiente   ecuación 
diferencial:
                                           d 2i          d
                                         L      Ri=V −K
                                            dt           dt

La dinámica del rotor se modela matemáticamente por la siguiente ecuación diferencial:

                                                    2
                                                   d     d
                                               J       b    =K
                                                    dt    dt

La función de transferencia del motor se encuentra dada en terminos de la transformada de 
Laplace y se obtiene juntando las ecuaciones anteriores como un sistema de ecuaciones 
diferenciales y hallar la ecuación solución por medio de la tranformada de Laplace.
La función de transferencia del motor obtenida es la siguiente:

                                        s           K
                                             =
                                        V s JLs  LbRJ  sK 2
                                                 2
CONTROL I                                                                                   Controlador PID

La   función   de   transferencia   se   representa   como   un   diagrama   de   bloques   tal   y   como   se 
muestra en la Figura 2.




                      Figura 2. Diagrama Bloques de un sistema de motor DC

Para   un   motor   con   características   J=0.01,   b=0.1,   K=0.01,   R=1   y   L=   0.56   la   función   de 
transferencia queda de la siguiente manera:

                                                   0.01
                                                  2
                                         0.0056 s 0.066 s0.1001

Mediante Matlab se obtiene la respuesta transitoria del motor dentro de un sistema de lazo 
abierto ante una entrada escalon unitario la cual se muestra en la Figura 3.




           Figura 3. Respuesta Transitoria del motor ante una entrada escalon unitario
CONTROL I                                                                                Controlador PID

DESARROLLO

Con base al diagrama de bloques de la Figura 2, se puede observar que consta de cuatro 
bloques  dos de los cuales corresponde a un sistema de primer orden y dos son bloques de 
igual ganancia, además de un sumador. Para los bloques de ganancia se hace uso de dos 
amplificadores   inversores   y   para   los   bloques   de   primer   orden   se   hace   uso   de   dos 
amplificadores integradores, para que la señal de salida del sistema sea positiva se hace uso 
de   un   sumador   inversor.   El   diagrama   de   circuitos   de   amplificadores   operacionales 
correspondiente al diagrama de bloques de la función de transferencia del motor se muestra 
en la Figura 4.




                Figura 4. Diagram de Circuito simulador de la dinámica del motor


Para obtener los valores de la resistencias y capacitores se sustituyeron las características 
del motor en el diagrama de bloques de la Figura 2 y se calcula el valor correspondiente de 
las resistencias y capacitores de cada bloque de la Figura 4.

Para   demostrar   que   el   Circuito   que   aparece   en   la   Figura   4   tiene   misma   función   de 
transferencia del motor se realiza el analisis del circuito como se muestra a continuación:

                               −1                      −1
 V 1=−V i− KV o  , V 2=          V V =−KV 2, V o=          V
                            0.56s1 1, 3            0.01s0.1 3

sustituyendo obtemos que:
CONTROL I                                                                                       Controlador PID


  V o=         −1
             0.01s0.1 
                        −K     −1
                              0.56s1   
                                      −1V i− KV o 


                  K                         K2
  vo =                        V i−                     V
         0.01s0.10.56s1      0.01s0.10.56s1 o

Despejando V o obtenemos

  Vo            0.01
     =        2
  V i 0.0056 s 0.066 s0.1001

Como se puede observar tiene la misma función de transferencia del motor. Mediante PSpice 
se  obtiene  la   respuesta   transitoria   del   circuito   ante   una   señal   escalon   unitario   la   cual   se 
muestra en la Figura 5.

                         100mV




                           50mV




                             0V
                                  0s                1.0s                2.0s             3.0s
                                       V(out)
                                                              Time

               Figura 5. Respuesta Transitoria del Circuito ante una señal escalon unitario

Como se podra observar en Figura 5 la respuesta transitoria del circuito es identica a la 
respuesta transitoria del motor que aperece en la Figura 3.

Hasta este momento se ha podido diseñar un circuito con amplificadores operacionales que 
simulen la dinámica de la planta a controlar, en este caso un motor DC con características 
J=0.01, b=0.1, K=0.01, R=1 y L= 0.56.
CONTROL I                                                                                      Controlador PID

Sistema de control PID en lazo cerrado

El   controlador   PID   es   un   bloque   que   se   encarga   de   corregir   el   error   que   recibe   de   la 
diferencia de la señal de entrada y la señal de salida del tacometro con ganancia de 0.023, el 
error corregido entra en una etapa de amplificación antes de entrar a la planta, el diagrama 
de bloques de sistema de control en lazo cerrado se muestra en la Figura 6. La respuesta 
transitoria del sistema se desea que responda con una elongacion menor al 30% y frecuencia 
de 50.




                              Figura 6. Sistema de control en lazo cerrado

Localización de los parametros Kp, Kd y Ki del controlador

La función de transferencia del controlador PID esta dada por la siguiente función:

                                                 K d s 2K p sK i
                                                         s

El objetivo es encontrar los valores adecuados de los coeficientes del numedor tal que el 
sistema de control se comporte como se ha definido con sobreelongación menor al 30% y 
frecuencia igual a 50. Para hallar los valores del controlador se utilizará el lugar geométrico 
de las raíces con ayuda de Matlab.

Primeramente hay que colocar en Matlab­rltool las restricciones de nuestro sistema esto es la 
sobreelongación y la frecuencia, esto se puede observar en la Figura 7.
CONTROL I                                                                                     Controlador PID




                    Figura 7. Ventana de restricciones de Matlab para el sistema

Una   vez   introducido   las   dos   restricciones,   se   introduce   la   función   de   transferencia   de   la 
planta, el amplificador con ganancia de dos, el tacometro con ganancia de uno y la función 
de transferencia del motor, con ello Matlab se obtiene el lugar geometrico de las raíces del 
sistema. Realizado el paso anterior se procede a darle valores arbitrarios a los ceros del 
controlador  tal  que  el  lugar de geométrico de las raíces se  intersecte  con la curva de la 
frecuencia y se encuentre acotado por las rectas de la sobreelongación, posteriormente el 
valor de la ganancia del controlador debe ser colocado sobre la curva de la frecuencia  tal y 
como se muestra en la Figura 8.




                                 Figura 8. Lugar geométrico del sistema

Con   los   pasos   anteriores   los   valores   del   controlador   fueron   calculados   por   Matlab,   para 
obtener los valores solo se tiene que exportar la función de transferencia del controlador a la 
consola de Matlab, la cual se muestra a continuación:
CONTROL I                                                                                 Controlador PID

                                       7.891 s 2694.4 s0.0006944
                                                     s

RESULTADOS

Los   valores   del   controlador   son   K d =7.891, K p=694.4, K i =0.0006944 ,   dichos   valores 
generan   la   respuesta   transitoria   que   cumple   con   las   restricciones   dadas,   eso   se   puede 
observar en la Figura 9.




                     Figura 9. Respuesta transitoria del sistema controlado
Dado que ya se conoce la función de tranferencia del controlador, la función de transferencia 
de la planta, las ganancias del amplificador y el tacometro, se procede a calcular la función 
de transferencia del sistema controlado, la cual se muestra a continuación:

                                     0.1578 s 213.89 s1.389e­005
                                0.0056 s 30.2238 s 213.99 s1.389e­005

Analizando la función de transferencia del sistema se demuestra que la sobrelongacion es de 
0.29 y la frecuencia es de 50, por lo tanto el sistema controlado cumple las restricciones 
definidas al inicio.

Para finalizar se procede a diseñar en Pspice el circuito controlador de la planta, con los 
valores   de   las   resistencias   y   capacitores   que   nos   permitan   obtener   los   valores 
  K d , K p , K i . La respuesta transitoria de salida simulada desde Pspice se muestra en la 
Figura 10.
CONTROL I                                                                                      Controlador PID




    Figura 10. Respuesta transitoria, entrada escalon unitario y señal de error del sistema.

Como se podra observar en la Figura 10 la señal de salida converge a la señal de escalon 
unitario   de   entrada   a   los   800ms   y   el   error   de   estado   estacionario   se   aproxima   a   cero 
conforme   la   señal   de   salida   converge   con   la   señal   de   entrada.   Por   lo   tanto   el   circuito 
controlador controla el sistema cumpliendo las restricciones antes vistas.
El   Diagrama   del   circuito   con   amplificadores   operacionales   del   sistema   se   muestra   en   la 
Figura 11 del apéndice del documento.

CONCLUSION

Se concluye con base al desarrollo de la práctica realizada que el implementar un controlador 
PID a una planta, permite modificar satisfactoriamente la respuesta transitoria del sistema tal 
que cumpla con restricciones específicas.
Se   concluye   que   utilizar   Matlab   como   herramienta   de   calculo   de   los   parametros   del 
controlador permite obtener dichos valores de forma rápida,visual y precisa.
Se concluye que los valores del modelo matemático del controlador son valores ideales, por 
lo que al diseñar el circuito en Pspice la respuesta de salida del sistema no es identica a la 
respuesta transitoria graficada con Matlab, sin embargo la señal converge al valor deseado 
cumpliendo con las restricciones del sistema idealizado.

APENDICE
CONTROL I                                                            Controlador PID




            Figura 11.Diagrama de Circuitos del sistema controlado

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Control Pid

  • 1. CONTROL I DISEÑO DE UN CONTROLADOR PID ANALOGO PARA LA VELOCIDAD DE UN MOTOR DC MEDIANTE MATLAB Y PSPICE
  • 2. CONTROL I Controlador PID OBJETIVOS ● Diseñar un compensador PID que modifique la dinámica de la planta para satisfacer  condiciones   especificas   de   la   respuesta   transitoria   del   sistema   de   control   en   lazo  cerrado. ● Construir un circuito con amplificadores operacionales que simule el comportamiento  dinámico del compensador. ● Construir un circuito con amplificadores operacionales que simule el comportamiento  dinámico de la planta. ● Realizar   simulaciones   de   la   respuesta   transitoria   del   sistema   de   control   en   lazo  cerrado y de la planta en Pspice y  Matlab. ● Construir físicamente el sistema de control y realizar mediciones con el osciloscopio  para mostrar la señal de salida controlada. MARCO TEÓRICO Definiciones Planta. Una planta es cualquier objeto físico que debe controlarse, quizá simplemente  un juego de piezas de una máquina, funcionando conjuntamente, cuyo objetivo es   realizar una operación determinada. Sistema de control en lazo cerrado. Este sistema tiene una señal de error actuante,  que es la diferencia entre la señal de entrada y la de retroalimentacion (que puede ser  la señal de salida o una funcion de la señal de salida y sus derivadas), la cual entra al  controlador para reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor deseado. Motor  DC.  Es una  máquina  eléctrica que transforma  energía  eléctrica en  energía   mecánica por medio de interacciones electromagnéticas. Controlador PID.  Es un mecanismo de control por realimentación que se utiliza en   sistemas de control industriales. Un controlador PID corrige el error entre un valor   medido y el valor que se quiere obtener calculándolo y luego sacando una acción   correctora que puede ajustar al proceso acorde. El algoritmo de cálculo del control PID  se da en tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor  Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección  proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de   control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la  reacción del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones es  usada para ajustar al proceso vía un elemento de control como la velocidad de un   motor DC.
  • 3. CONTROL I Controlador PID Modelación Matemática de la velocidad de un motor DC El  motor  se  divide  en dos  partes principales  la  parte  eléctrica  de  la armadura y la  parte  mecánica tal como aparece en la Figura 1. La armadura se modela como un circuito con  resistencia R conectada en serie a un inductor L, una fuente de voltaje V y constante Kb de  fuerza contraelectromotriz  (K=Ki=Kb)  en el armadura, donde Ki es la constante del par. La  parte mecánica del motor es el rotor el cual al estar en movimiento presenta momento de  inercia   J,   un   par   torque   T,   un   coeficiente   de   fricción   viscosa   b,   una   posición  y   una  velocidad angular  b = . ˙ Figura 1. Modelo de un motor DC en forma separada La   dinámica   de   la   armadura   se   modela   matemáticamente   por   la   siguiente   ecuación  diferencial: d 2i d L Ri=V −K dt dt La dinámica del rotor se modela matemáticamente por la siguiente ecuación diferencial: 2 d  d J b =K dt dt La función de transferencia del motor se encuentra dada en terminos de la transformada de  Laplace y se obtiene juntando las ecuaciones anteriores como un sistema de ecuaciones  diferenciales y hallar la ecuación solución por medio de la tranformada de Laplace. La función de transferencia del motor obtenida es la siguiente: s K = V s JLs  LbRJ  sK 2 2
  • 4. CONTROL I Controlador PID La   función   de   transferencia   se   representa   como   un   diagrama   de   bloques   tal   y   como   se  muestra en la Figura 2. Figura 2. Diagrama Bloques de un sistema de motor DC Para   un   motor   con   características   J=0.01,   b=0.1,   K=0.01,   R=1   y   L=   0.56   la   función   de  transferencia queda de la siguiente manera: 0.01 2 0.0056 s 0.066 s0.1001 Mediante Matlab se obtiene la respuesta transitoria del motor dentro de un sistema de lazo  abierto ante una entrada escalon unitario la cual se muestra en la Figura 3. Figura 3. Respuesta Transitoria del motor ante una entrada escalon unitario
  • 5. CONTROL I Controlador PID DESARROLLO Con base al diagrama de bloques de la Figura 2, se puede observar que consta de cuatro  bloques  dos de los cuales corresponde a un sistema de primer orden y dos son bloques de  igual ganancia, además de un sumador. Para los bloques de ganancia se hace uso de dos  amplificadores   inversores   y   para   los   bloques   de   primer   orden   se   hace   uso   de   dos  amplificadores integradores, para que la señal de salida del sistema sea positiva se hace uso  de   un   sumador   inversor.   El   diagrama   de   circuitos   de   amplificadores   operacionales  correspondiente al diagrama de bloques de la función de transferencia del motor se muestra  en la Figura 4. Figura 4. Diagram de Circuito simulador de la dinámica del motor Para obtener los valores de la resistencias y capacitores se sustituyeron las características  del motor en el diagrama de bloques de la Figura 2 y se calcula el valor correspondiente de  las resistencias y capacitores de cada bloque de la Figura 4. Para   demostrar   que   el   Circuito   que   aparece   en   la   Figura   4   tiene   misma   función   de  transferencia del motor se realiza el analisis del circuito como se muestra a continuación: −1 −1 V 1=−V i− KV o  , V 2= V V =−KV 2, V o= V 0.56s1 1, 3 0.01s0.1 3 sustituyendo obtemos que:
  • 6. CONTROL I Controlador PID V o=  −1 0.01s0.1   −K  −1 0.56s1  −1V i− KV o  K K2 vo = V i− V 0.01s0.10.56s1 0.01s0.10.56s1 o Despejando V o obtenemos Vo 0.01 = 2 V i 0.0056 s 0.066 s0.1001 Como se puede observar tiene la misma función de transferencia del motor. Mediante PSpice  se  obtiene  la   respuesta   transitoria   del   circuito   ante   una   señal   escalon   unitario   la   cual   se  muestra en la Figura 5. 100mV 50mV 0V 0s 1.0s 2.0s 3.0s V(out) Time Figura 5. Respuesta Transitoria del Circuito ante una señal escalon unitario Como se podra observar en Figura 5 la respuesta transitoria del circuito es identica a la  respuesta transitoria del motor que aperece en la Figura 3. Hasta este momento se ha podido diseñar un circuito con amplificadores operacionales que  simulen la dinámica de la planta a controlar, en este caso un motor DC con características  J=0.01, b=0.1, K=0.01, R=1 y L= 0.56.
  • 7. CONTROL I Controlador PID Sistema de control PID en lazo cerrado El   controlador   PID   es   un   bloque   que   se   encarga   de   corregir   el   error   que   recibe   de   la  diferencia de la señal de entrada y la señal de salida del tacometro con ganancia de 0.023, el  error corregido entra en una etapa de amplificación antes de entrar a la planta, el diagrama  de bloques de sistema de control en lazo cerrado se muestra en la Figura 6. La respuesta  transitoria del sistema se desea que responda con una elongacion menor al 30% y frecuencia  de 50. Figura 6. Sistema de control en lazo cerrado Localización de los parametros Kp, Kd y Ki del controlador La función de transferencia del controlador PID esta dada por la siguiente función: K d s 2K p sK i s El objetivo es encontrar los valores adecuados de los coeficientes del numedor tal que el  sistema de control se comporte como se ha definido con sobreelongación menor al 30% y  frecuencia igual a 50. Para hallar los valores del controlador se utilizará el lugar geométrico  de las raíces con ayuda de Matlab. Primeramente hay que colocar en Matlab­rltool las restricciones de nuestro sistema esto es la  sobreelongación y la frecuencia, esto se puede observar en la Figura 7.
  • 8. CONTROL I Controlador PID Figura 7. Ventana de restricciones de Matlab para el sistema Una   vez   introducido   las   dos   restricciones,   se   introduce   la   función   de   transferencia   de   la  planta, el amplificador con ganancia de dos, el tacometro con ganancia de uno y la función  de transferencia del motor, con ello Matlab se obtiene el lugar geometrico de las raíces del  sistema. Realizado el paso anterior se procede a darle valores arbitrarios a los ceros del  controlador  tal  que  el  lugar de geométrico de las raíces se  intersecte  con la curva de la  frecuencia y se encuentre acotado por las rectas de la sobreelongación, posteriormente el  valor de la ganancia del controlador debe ser colocado sobre la curva de la frecuencia  tal y  como se muestra en la Figura 8. Figura 8. Lugar geométrico del sistema Con   los   pasos   anteriores   los   valores   del   controlador   fueron   calculados   por   Matlab,   para  obtener los valores solo se tiene que exportar la función de transferencia del controlador a la  consola de Matlab, la cual se muestra a continuación:
  • 9. CONTROL I Controlador PID 7.891 s 2694.4 s0.0006944 s RESULTADOS Los   valores   del   controlador   son   K d =7.891, K p=694.4, K i =0.0006944 ,   dichos   valores  generan   la   respuesta   transitoria   que   cumple   con   las   restricciones   dadas,   eso   se   puede  observar en la Figura 9.  Figura 9. Respuesta transitoria del sistema controlado Dado que ya se conoce la función de tranferencia del controlador, la función de transferencia  de la planta, las ganancias del amplificador y el tacometro, se procede a calcular la función  de transferencia del sistema controlado, la cual se muestra a continuación: 0.1578 s 213.89 s1.389e­005 0.0056 s 30.2238 s 213.99 s1.389e­005 Analizando la función de transferencia del sistema se demuestra que la sobrelongacion es de  0.29 y la frecuencia es de 50, por lo tanto el sistema controlado cumple las restricciones  definidas al inicio. Para finalizar se procede a diseñar en Pspice el circuito controlador de la planta, con los  valores   de   las   resistencias   y   capacitores   que   nos   permitan   obtener   los   valores  K d , K p , K i . La respuesta transitoria de salida simulada desde Pspice se muestra en la  Figura 10.
  • 10. CONTROL I Controlador PID Figura 10. Respuesta transitoria, entrada escalon unitario y señal de error del sistema. Como se podra observar en la Figura 10 la señal de salida converge a la señal de escalon  unitario   de   entrada   a   los   800ms   y   el   error   de   estado   estacionario   se   aproxima   a   cero  conforme   la   señal   de   salida   converge   con   la   señal   de   entrada.   Por   lo   tanto   el   circuito  controlador controla el sistema cumpliendo las restricciones antes vistas. El   Diagrama   del   circuito   con   amplificadores   operacionales   del   sistema   se   muestra   en   la  Figura 11 del apéndice del documento. CONCLUSION Se concluye con base al desarrollo de la práctica realizada que el implementar un controlador  PID a una planta, permite modificar satisfactoriamente la respuesta transitoria del sistema tal  que cumpla con restricciones específicas. Se   concluye   que   utilizar   Matlab   como   herramienta   de   calculo   de   los   parametros   del  controlador permite obtener dichos valores de forma rápida,visual y precisa. Se concluye que los valores del modelo matemático del controlador son valores ideales, por  lo que al diseñar el circuito en Pspice la respuesta de salida del sistema no es identica a la  respuesta transitoria graficada con Matlab, sin embargo la señal converge al valor deseado  cumpliendo con las restricciones del sistema idealizado. APENDICE
  • 11. CONTROL I Controlador PID Figura 11.Diagrama de Circuitos del sistema controlado