El documento describe los diseños de bloques incompletos balanceados (BIB), cuadrados latinos y greco latinos. El BIB permite estudiar varios tratamientos aplicados en bloques incompletos. El modelo estadístico incluye efectos de tratamiento, bloque y error. Los cuadrados latinos y greco latinos permiten estudiar un factor principal controlando varias fuentes de variación local mediante bloques. En los cuadrados latinos hay dos bloques y en los greco latinos hay tres bloques, lo que permite estudiar más factores con el mismo número de observaciones.

1. Diseño de Bloques Incompletos Balanceados (BIB)
Modelo estadístico
respuesta al iesimo tratamiento en el j –esimo bloque,
i=1,2,...k, j= 1,2,...,b
Los tratamientos no ocurren en todos los bloque
Media global ,
: efecto del tratamiento,
efecto de bloque
: error aleatorio N(0,σ2
),
,
denotamos
si el tratamiento i ocurre en el bloque j
, en caso contrario.

2. Luego , , ,
Además: , si p=i y n2
pj =npj
= λ,
λ el número de veces que cada par de tratamiento ocurre en el diseño.
Tratamiento 1 en el bloque 2 y 3
Tratamiento 2 en el bloque 1 y 2
Tratamiento 3 en el bloque 1 y 3
λ= 2, veces que cada par de tratamiento
ocurre en el diseño

3. Luego, el modelo estadístico para el modelo BIB, expresado como un modelo lineal
general es:
Y = Xβ + ε
n11=0, n12=1, n13=1, n21=1, n22=1, n23=0, n31=1, n32=0, n33=1

4. las ecuaciones normales

5. En general tenemos, N=6, r=2, k=2, (
( 1)
(I) ( i=1,2,..,k ) ; k ecuaciones
(II) (j=1,2,..,b) ; b ecuaciones
k+b+1, ecuaciones con k+b+1 incógnitas, dos ecuaciones linealmente dependientes, si
sumamos las k ecuaciones obtenemos (1), asimismo si sumamos las b ecuaciones.
Incluyendo las restricciones: ,
Obtenemos solución al sistema de ecuaciones.

6. (2)
Para obtener el efecto del i-esimo tratamiento multiplicamos la i-esima ecuación de (I)
por a y retiramos el efecto de los bloques, obtenemos

7. como , si p=i , n2
pj =npj
luego si , entonces

8. ,
luego
,
entonces , efecto del i–esimo tratamiento ajustado por los bloques.
Qi es el iesimo total de tratamiento corregido por la media de los totales de los bloques
en los que se aplica el iesimo tratamiento.

9. Luego tenemos que la variabilidad total se puede descomponer en
SCT = SCtrat(ajustados) + SCbloque + SCerror
(N-1) = (k -1) + (b-1) + ( n - k - b +1)
donde
,

10. Ejemplo
Un ingeniero estudia las características del rendimiento de combustible de cinco tipos de
aditivos de gasolina. En la prueba de carretera el ingeniero desea usar los automóviles como
bloques, sin embargo , debido a una restricción de tiempo, debe utilizar un diseño de
bloques incompletos, Realiza el diseño balanceado con los cinco bloques. Analizar los datos
de este experimento y sacar conclusiones . Utilice α=0.05
Auto Aditivo Total
1 2 3 4 5
1 - 17 14 13 12 56
2 14 14 - 13 10 51
3 12 - 13 12 9 46
4 13 11 11 12 - 47
5 11 12 10 - 8 41
Total 50 54 48 50 39 241
Yi. prom bloque Qi Qi*Qi
50 46.25 3.75 14.0625
54 48.75 5.25 27.5625
48 47.5 0.5 0.25
50 50.0 0.0 0.0
39 48.5 -9.5 90.25
Total 132.125

11. Y.j Y2
.j
56 3136
51 2601
46 2116
47 2209
41 1681
Total 11743
23.35
5*3
125.132*41
2
)( ===
∑=
k
Qa
SC
k
i
i
ajustadotrat
λ
y.. Y2
../N Σy2
ij
241 2904.05 2981
F.V Gl. SC CM F
Trat(ajustado) 4 35.23 8.807 9.68
Bloque 4 31.70 7.92
Error 11 10.02 0.91
Total 19 76.95
Existe diferencias en los aditivos. El rendimiento de combustible depende del tipo de
aditivos de gasolina.

13. Diseño cuadrados latinos

14. Cuadrados latinos
En un diseño de bloques completamente aleatorizados se
desea controlar una sola fuente de variación local.
Generalmente es necesario controlar más de una fuente de
variación.
Un diseño de Cuadrados Latinos es muy similar a un diseño de
bloques completamente aleatorizados, pero con una fuente de
variación adicional.
El adjetivo “latino” proviene de las letras usadas para los
niveles del factor a estudiar.

15. Diseño de bloques aleatorizados, se considera un factor
principal y una variable de bloque con el objeto de
eliminar su influencia en la variable respuesta y así reducir
el error experimental.
Diseños de cuadrado latinos utilizan dos bloques para
reducir el error experimental. (existen dos fuentes de
variabilidad.
Al considerar simultáneamente dos variables de bloque,
se tiene que forman bloques con cada combinación de
niveles de los bloques y después aplicar todos los
tratamientos en los bloques.

16. Supongamos un experimento en el que se quiere estudiar el efecto
de distintos tipos de semilla en el rendimiento del trigo y se
considera que en dicho rendimiento también influyen los tipos de
abonos e insecticidas empleados.
Para realizar dicho estudio, es posible utilizar un diseño cuadrado
latino donde el factor principal es el tipo de semilla y las variables
de bloque los tipos de abono e insecticida.
Bloque B
b1 b2 b3 b4
Bloque C
c1 c2 c3 c4
combinación de los bloques
b1c1 b1c2 b1c3 b1c4
b2c1 b2c2 b2c3 b2c4
b3c1 b3c2 b3c3 b3c4
b4c1 b4c2 b4c3 b4c4

17. En dichos diseños el número de niveles del factor principal tiene
que coincidir con el número de niveles de las dos variables de
bloque y además suponer que no existe interacción entre
ninguna pareja de factores.
Supongamos que el número de niveles del factor es K. El diseño en
cuadrado latino utiliza K2
bloques, cada uno de estos bloques
corresponde a una de las posibles combinaciones de niveles de las
fuentes de variabilidad. En cada bloque se aplica
un solo tratamiento de manera que cada tratamiento debe
aparecer con cada uno de los niveles de los dos factores de
control.
Si consideramos una tabla de doble entrada donde las filas y las
columnas representan cada uno de los bloque y las celdillas los
niveles del factor principal o tratamientos, el requerimiento
anterior supone que cada tratamiento debe aparecer una
vez y sólo una en cada fila y en cada columna.

18. B A D C
C D A B
A B C D
D C B A
C D B A
B A C D
D C A B
A B D C
ijlljiijly εγβτµ ++++=
donde
yijl: representa la observación correspondiente al i-ésimo
tratamiento , j-ésima columna del bloque B y l-ésima fila del bloque
C.
µ es la media global.
τi es el efecto producido por el i-ésimo nivel del factor. Dichos
efectos están sujetos a la restricción
i=1,2,..,k
J=1,2,…,k
l=1,2,…,k

19. Βj: es el efecto producido por el j-
ésimo nivel del bloque B Dichos sujetos
están
sujetos a la restricción j
γl : es el efecto producido por el l-
ésimo bloque C. Dichos efectos están
sujetos a
la restricción.
ε ijl son v.a. iid. con distribución N(0, σ2
)

20. H0τ : τi = 0, i H∀ 1τ : τi = 0, i∀
H0β : βj = 0, j H∀ 1β : βj = 0, j∀
H0γ : γl = 0, l H∀ 1γ : γl = 0, l∀

22. Ejemplo: cuadrados latinosSupongamos que un experimentador está estudiando el efecto
de cinco fórmulas diferentes de la mezcla de dinamita sobre la
fuerza explosiva observada. Cada fórmula se prepara usando un
lote de materia prima, lo suficientemente grande para que sólo
se hagan cinco mezclas. Mas aún, las mezclas las preparan cinco
operarios, pudiendo existir una diferencia sustancial en la
habilidad y experiencia entre ellos. El diseño apropiado para
este problema consiste en probar cada fórmula exactamente
una vez, utilizando cada lote de materia prima, y en que cada
fórmula sea preparada exactamente una vez por cada uno de los
cinco operarios.

23. Factores: Materiales y los Operarios, con cinco niveles y las cinco
fórmulas representan las letras latinas A, B, C, D y E.
Entonces i= 5, j = 5 y l = 5
Ejemplo: cuadrados latinos

24. Diseño greco latino

25. Cuadrados greco-latinos
Se puede considerar una extensión del diseño de
cuadrados latinos que permite estudiar un factor y 3 variables
bloque con sólo k2
observaciones (siempre que el factor y las
variables bloque tengan todos k niveles).
Se considera un cuadrado latino de dimensión (k × k) y se
superpone sobre él otro cuadrado con los tratamientos
denotados por letras griegas.
Se dice que son ortogonales cuando cada letra griega
aparece combinada con una letra latina una y sólo una vez en
cada fila y columna.

26. Cuadrados greco-latinos
Cuadrado latino 1 Cuadrado latino 2

27. Modelo
Se obtiene una tabla ANOVA semejante al modelo de cuadrados
latinos, considerando también el término δh.
Grados de libertad de tratamiento , bloque 1, bloque2, bloque3 son
(k-1)
Los grados de libertad de la SCE son igual a (k− 1)(k − 3).
Los grados de libertad del total son k2
-1
El contraste de la F es el mismo que en el caso de los cuadrados
latinos.
ijlhhljiijlhy εδγβτµ +++++=
Modelo estadístico
i=1,2,…,k
j=1,2,…,k
l=1,2,…,k
h=1,2,…,k

28. Deducir los estimadores, suma de cuadrados, pruebas de hipótesis,
estadísticas de prueba, esperanza de cuadrados medios en el diseño
greco latino