1) La distribución Erlang describe el tiempo de espera hasta el suceso número k en un proceso de Poisson. 2) Se aplica en modelos de sistemas masivos de servicio como centrales telefónicas y call centers. 3) Las fórmulas Erlang B y C calculan la probabilidad de bloqueo y espera usando esta distribución.

1. DISTRIBUCIÓN DE ERLANG
La Distribución Erlang es una distribución de probabilidad continua con una amplia aplicabilidad
debido principalmente a su relación con la exponencial y la distribución gamma dada por la suma
de un número de variables aleatorias independientes que poseen la misma distribución
exponencial. La distribución Erlang se aplica en modelos de sistemas de servicio masivo, ejemplo:
En situaciones donde el servicio tiene que realizar dos operaciones c/u con tiempo de servicio
exponencial.
La distribución Erlang es el resultado del trabajo realizado por el matemático danés Agner Krarup
Erlang (1878 - 1929) quien fue un pionero en la aplicación de métodos estadísticos para el análisis
de las redes telefónicas. La distribución se deriva del modelo el total de tiempo de espera asociado
con una cola de solicitudes en una central telefónica, por lo cual es de especial interés para nuestro
curso de teoría de colas.
DEFINICIÓN
La distribución Erlang es una distribución continua, que tiene un valor positivo para todos los
números reales mayores que cero, y está dada por dos parámetros: la forma k, que es un entero
no negativo, y la tasa λ, que es un número real no negativo. La distribución a veces se definen
utilizando el inverso del parámetro de tasa, la escala θ. Se utiliza la distribución Erlang para
describir el tiempo de espera hasta el suceso número k en un proceso de Poisson. El parámetro
de escala θ es equivalente a la media de una distribución exponencial, y el parámetro de forma k
es equivalente al número de eventos distribuidos exponencialmente. Cuando el parámetro de
forma k es igual a 1, la distribución se reduce a la distribución exponencial.
La distribución de Gamma generaliza la distribución Erlang permitiendo k ser una real, usando la
función gamma en lugar de la función factorial.
Fig.1 Función de densidad de probabilidad para la Distribución Erlang
Debido a la función factorial en el denominador, la distribución Erlangsólo estádefinida cuando
el parámetro k es un entero positivo. De hecho, esta distribución es a veces llamada distribución
Erlang-k (por ejemplo, una distribución Erlang-2 es una distribución Erlang con k = 2).

2. 1.2Función de Distribución Acumulativa
Fig. 2 Función de atribución acumulativa Erlang
Parámetros
alt.:
Dominio
Función de
densidad
(pdf)
Función de
distribución
(cdf)
Media
Mediana —
Moda for
Varianza
Coeficiente
de simetría

3. Curtosis
Entropía
Función for
generadora
de momentos
(mgf)
Función
característica
2 CASOS DE USO
2.1 Los tiempos de espera
Los eventos que ocurren independientemente con cierta tasa media, son modelados con procesos
de Poisson. Los tiempos de espera entre k ocurrencias del evento son distribuciones de Erlang.
La distribución de Erlang, que mide el tiempo transcurrido entre la recepción de llamadas, se
puede utilizar en conjunción con la duración esperada de las llamadas entrantes para así generar
alguna información sobre la carga de tráfico medido en unidades de Erlang. Esto puede ser usado
para determinar la probabilidad de pérdida de paquetes o el retardo, de acuerdo con diversas
hipótesis formuladas acerca de si las llamadas están bloqueadas son abortadas (fórmula Erlang B)
o hasta que la cola sirva (la fórmula Erlang C). Las fórmulas Erlang B y C están todavía en el uso
diario para la elaboración de modelos de tráfico para aplicaciones tales como el diseño de centros
de llamadas.
Formula Erlang B
La fórmula de Erlang B asume una población infinita de orígenes (como usuarios de telefonía), la
cual ofrece tráfico en conjunto a N servidores (como líneas en un grupo de troncales). La tasa de
llegadas de nuevas llamadas (tasa de nacimiento) es igual a λ y es constante, no depende del
número de recursos activos, porque se asume que el total de recursos es infinito. La tasa de
abandono (tasa de mortandad) es igual al número de llamadas en progreso dividida por h, la
media del tiempo de llamadas en espera. La fórmula calcula la probabilidad de bloqueo en una
pérdida del sistema, si un requerimiento no es atendido inmediatamente cuando trata de utilizar
un recurso, y este es abortado. Por lo tanto no son encolados. El bloqueo ocurre cuando hay un
nuevo requerimiento de recursos, pero todos los servidores ya están ocupados. La fórmula asume
que el tráfico que es bloqueado se libera inmediatamente.
Una forma que es usada para calcular tablas de la fórmula de Erlang B es:

4. Donde:
B es la probabilidad de bloqueo
N es el número de recursos como servidores o circuitos en un grupo
A = λh es la cantidad de tráfico entrante expresado en Erlangs
La fórmula Erlang B se aplica a los sistemas con pérdidas, tales como sistemas telefónicos tanto
fijos como móviles, que no ofrecen almacenamiento de llamadas (es decir, no permiten dejar la
llamada "en espera"), y no se pretende que lo hagan. Se asume que las llegadas de llamadas pueden
ser modeladas por un proceso de Poisson, pero es válida para cualquier distribución estadística de
tiempos entre llamadas.
Erlang B también es una herramienta para dimensionar tráfico entre centrales de conmutación de
voz.
La cantidad B(N, A), como se expresó arriba, involucra algún trabajo de cálculos numéricos y,
consecuentemente, se necesitan tablas.
Formula Erlang C
La Formula de Erlang C también asume una infinita población de fuentes, las cuales ofrecen en
conjunto, un trafico de A Erlang hacia N servidores. Sin embargo, si todos los servidores están
ocupados cuando una petición llega de una fuente, la petición es introducida en la cola. Un sin fin
de números de peticiones podrían ir a la cola en este modo simultáneamente. Esta formula calcula
la probabilidad de la cola ofrecido en el trafico, asumiendo que las llamadas que fueron
bloqueadas se quedaran en el sistema hasta que se pueda atender. Esta formula es usada para
determinar la cantidad de agentes o representantes de clientes, que necesitará en un [Call Center']
para después saber la probabilidad en la cola.
Donde:
A es la intensidad total del trafico ofrecido en unidades de Erlangs.
N es la cantidad de servidores [numero de troncales].
PW es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar para ser atendido.
Se asume que las llamadas entrantes pueden ser modeladas usando una distribución de Poisson y
que el tiempo de espera de las llamadas son descriptas por una distribución exponencial negativa.
2.2 Compartimiento de modelos
La distribución Erlang también se produce como una descripción de la tasa de transición de los
elementos a través de un sistema de compartimentos. Estos sistemas son ampliamente utilizados
en la biología y la ecología. Por ejemplo, en matemáticas, epidemiología, una persona puede
progresar a un ritmo exponencial de saludable a portador y de nuevo de forma exponencial de
portador a infeccioso. La probabilidad de que un individuo infeccioso en el momento t sería dada

5. por la distribución Erlang con k = 2. Estos modelos tienen la propiedad útil que la varianza en los
compartimientos infecciosos es grande. En un modelo exponencial puro la varianza es 1 / λ2 que a
menudo es demasiado pequeña.
EJEMPLOS ERLANG
1. Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos
ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas.
Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo
ciclo.
a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.
b. A más de dos desviaciones por encima de la media.
Solución:
X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo, en horas.
k=2
l=2 ciclos/100 horas →l=0.02
a-) P (m-s <>m+s) = P (29.29
b-) P(X > m+2s) = P(X > 241.42) = 1 – P(X £ 241.42) =
2. Encuentre el número de dispositivos n requeridos para A = 60 Erlang y la probabilidad de pérdida de
0.001.
Solución
Para E = 0.001, en las tablas puede verse que n = 83 corresponde al valor A de 60.403 Erlang, y n = 82
al de A= 59.537. Por tanto n=83.
n Probabilidad de pérdida (E) n
0.000 0.0000 0.000 0.000
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
01 5 1 5
48.71 59.72 60.95 61.89 62.66 63.33 8
80 51.397 52.687 56.101 57.810
0 0 5 5 8 0 0
49.49 60.60 61.84 62.79 63.57 64.24 8
81 52.204 53.506 56.949 58.673
2 0 5 4 3 1 1
50.27 61.48 62.73 63.69 64.47 65.15 8
82 53.012 54.325 57.798 59.537
7 0 7 3 9 3 2
51.06 62.36
83 53.822 55.146 58.649 60.403 63
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