Este documento describe la distribución gamma, incluyendo su definición, objetivo, origen, función, propiedades y aplicaciones. La distribución gamma modela variables aleatorias no negativas con una forma sesgada hacia la derecha. Se usa comúnmente para modelar procesos como precipitaciones y tiempos de espera.

1. DISTRIBUCION GAMMA

2. DISTRIBUCION GAMMA
 Integrantes:
 Andres Acosta
 Josue Analuisa
 Cristina Gomez
 Jazmin Yambay

3. DISTRIBUCION GAMMA
 Introduccion y Definicion
Este modelo nos lleva a una función de densidad de probabilidad cuyas
variables aleatorias son no negativas y tienen distribuciones sesgadas
hacia la derecha, es decir la mayor parte del área bajo la curva de la
función, se encuentran cerca del origen y los valores de la función de
densidad disminuyen gradualmente cuando x aumenta.

4.  Objetivo
El objetivo fundamental del trabajo a presentar es analizar la
denominada Función Gamma con su respectiva distribución de
probabilidad o función de densidad, así como sus parámetros y las
relaciones que esta función tiene con otras. Sólo así podremos
comprender la verdadera importancia de la función Gamma, que
básicamente es una función teórica
DISTRIBUCION GAMMA

5. DISTRIBUCION GAMMA
 Origen y Autor
La distribución Gamma tiene su origen en la familia de curvas sesgadas
propuestas por Karl Pearson. Uno de los primeros y más importantes
trabajos del profesor Pearson fue su contribución al análisis de curvas
sesgadas. La motivación del profesor Pearson nace al notar que ciertas
medidas biológicas, sociológicas y económicas, existe una desviación
de la forma normal y es importante la dirección y la cantidad de esa
desviación.

6. DISTRIBUCION GAMMA
 Funcion Gamma
Esta dada por:
La integral que define la función se le llama integral euleriana de
segunda especie, siendo α>0
Esta función nos permite generar una constante a través de α.

7. DISTRIBUCION GAMMA
 Propiedades de la funcion gamma
1. Esta función también se la puede representar como:
Demostracion:
Integrando por partes:

8. DISTRIBUCION GAMMA
Volviendo a integrar
Así sucesivamente

9. DISTRIBUCION GAMMA
 Propiedades de la funcion gamma
2. Cuando α es 1, entonces la función gamma también es 1
Demostración
3.
4.

10. DISTRIBUCION GAMMA
 función de distribución gamma
La función de distribución gamma viene dado por:
Sin embargo, esta función no da 1 en la suma total de probabilidades.
Esa es la razon por la cual debemos multiplicarlo por un constante k.

11. DISTRIBUCION GAMMA
 DEMOSTRACION
Sabemos que al integrar esta distribución debe dar 1.
Realizamos un cambio de variable

12. DISTRIBUCION GAMMA
 DEMOSTRACION
La función gamma da la constante que hace que la suma de
probabilidades de la gamma sea 1.

13. DISTRIBUCION GAMMA
 Su funcion de densidad de probabilidad es:
Con parámetros:
β: parámetro de escala, β > 0
α: parámetro de forma, α > 0
Valor esperado (media)
Varianza

14. DISTRIBUCION GAMMA
 Demostración de cómo surge la media y varianza por el
método de momentos.

15. DISTRIBUCION GAMMA
 Función Generadora de Momentos
 Valor Esperado
 Varianza

16. DISTRIBUCION GAMMA
 Propiedades
 La distribución exponencial es una distribución gamma con α =1.
 Si X1 es una gamma (α1,β) y X2 es una gamma (α2,β) entonces Y=X1+X2
es una gamma (α1+ α2,β).
 Si X es una gamma (α,1) entonces βX es una gamma (α1,β), para
cualquier β>0.
Las dos primeras propiedades nos dicen que podemos generar valores
de distribuciones gamma de valores grandes de α mediante
convolución de valores de distribuciones gamma. La tercera propiedad
nos dice que sólo es necesario desarrollar métodos de generación de
variables aleatorias gamma con β=1. Una gamma(1,1) es una
exponencial de media 1.

17. DISTRIBUCION GAMMA
La distribución gama toma una variedad de formas dependiendo del
valor de α. Como se ilustra en la figura. Para β<1 la distribución es muy
asimétrica con f(x) tendiendo a infinito a medida que x tiende a cero.

18. DISTRIBUCION GAMMA
 Usos y Aplicaciones
La distribución gamma se aplica a una gran diversidad de áreas,
permitiéndonos una metodología en el marco de análisis de la biología
y la ingeniería. Es una candidata popular para modelar procesos, dada
su capacidad para asumir una amplia variedad de formas.
Una elección frecuente, especialmente cuando se trata de representar
datos de precipitación es la distribución gama. Muchas de estas
variables atmosféricas son claramente asimétricas.
Es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y
fenómenos de espera

19. DISTRIBUCION GAMMA
 Casos Particulares
1) La función exponencial es un caso particular de la distribución
gamma y tiene aplicaciones de interés práctico. Se obtiene con = 1
en la distribución Gamma
2) Otro caso especial de la distribución gamma se obtiene si hacemos β=2 y
α=n/2, en donde n es un entero positivo. La distribución resultante es la
distribución ji-cuadrado, cuya densidad esta definida por:
x,0
0x,
1
)(
/
otropara
x
e
xf

20. DISTRIBUCION GAMMA
 Ejemplos
Suponga que las llamadas telefonicas que llegan a un conmutador
particular siguen un proceso de Poisson con un promedio de 5 llamadas
entrantes por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurra a lo
mas un minuto hasta que lleguen 2 llamadas al conmutador?
α= 2, β= 1/5, x= 1
xxx
exexexxf 52)5/1/(12
3
/1
25
)2()5/1(
1
)(
1
)(
1
0
5
25)1( dxexxP x xx
exe 55
5
1
0
96.0)1(xP

21. DISTRIBUCION GAMMA
El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para
mantenimiento es una variable aleatoria con distribución gamma con
parámetros =3, =2
a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de
mantenimiento sea mayor a 8 horas
b) Si el costo de mantenimiento en dólares es C = 30X + 2X2, siendo X el
tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de
mantenimiento.
xxx
exexexxf 52)5/1/(12
3
/1
25
)2()5/1(
1
)(
1
)(
8
0
2/2
16
1
-1=8)P(X-1=8)>P(X dxex x
0
8
))e(-22e(-2x4e2x-
16
1
1 x/2-x/2-x/2-2
0.2381)8(xP

22. DISTRIBUCION GAMMA
E[C] = E[30X + 2X2] = 30 E[X] + 2 E[X2]
E[X] = = 3(2) = 6
E[X2] =
sustituya y = x/2 para usar la función Gamma
= 2 (5) = 2(4!) = 48
E[C] = 30(6) + 2(48) = 276 dólares
dxxfx )(2
0
2/22
16
1
dxexx x
0
2/4
16
1
dxex x
0
4
)2()2(
16
1
dyey y
0
4
2 dyey y

23. DISTRIBUCION GAMMA
Conclusiones
Como hemos observado la funcion gamma lo que busca es una
variable aleatoria que nos permite encontrar el tiempo que transcurre
para la realizacion de un evento. Y queda demostrado que esta funcion
da origen a muchas otras distribuciones siendo las mas representativas
la esponencial y la chi-cuadrada.
Esta distribucion trata de predecir eventos poco probables, como las
precipitaciones y probabilidad por tiempos de espera.