Tema7 ud3 (ii)

Esquema inicial
1 Di t ib ió U if1 Di t ib ió U if1 Di t ib ió U if1. Distribución Uniforme1. Distribución Uniforme1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal2. Distribución Normal2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang4. Distribución Erlang4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma5. Distribución Gamma5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I

3. Distribución Exponencial (1/5)
X  “nº de aviones que aterrizan en 1 hora” P()
1 hora1 hora
T  “tiempo que transcurre hasta que aterriza el primer avión (en horas)”

Tiempo entre dos eventos de Poisson
consecutivos
Distribución exponencial
Número de veces que ocurre un evento de
T
q
Poisson en un periodo dado Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I1 hora

GÉNESIS X  “nº de ocurrencias por unidad de tiempo u” P()
T  “tiempo que transcurre hasta la primera ocurrencia (en la unidad u)”
La probabilidad  0P T t equivale a que a la probabilidad de que en el intervalo  00,t haya
ocurrido 0 sucesos de Poisson, la cual se puede calcular mediante una nueva v.a 0' ( )X P t, p 0( )
como  ' 0P X  .
    0
0 ' 0 t
P T t P X e 
   
   ( ) 1 1 t
F t P T t P T t e 
      

FICHA TÉCNICA ( )X Exp 
) F ió d d id d ( ) 0x
f 
 a) Función de densidad ( ) 0x
f x e x
 
 
b) Función de distribución ( ) 1 0x
F x e x
  ( )
c) Esperanza d) Varianza 
1
E X

   2
1
Var X



EJEMPLO
Si las llamadas que llegan a una centralita siguen una distribución de Poisson
de media 3 llamadas / 5 minutos, calcular la probabilidad de que transcurran
5 i t i i ll d5 minutos sin ninguna llamada.
T “ i ( i ) h l i ll d ” E (3/5)T  “tiempo (en minutos) que transcurre hasta la primera llamada” Exp(3/5)
  3/5 5 3
5 1 (5)TP T F e e  
    

Esquema inicial
3. Distribución Exponencial3. Distribución Exponencial3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang

4. Distribución Erlang (1/4)
Origen de tiempo
T
T  “tiempo que transcurre hasta que aterrizan dos aviones (en horas)”

GÉNESIS X  “nº de ocurrencias por unidad de tiempo u” P()
T  “tiempo que transcurre hasta la ocurrencia k-ésima (en la unidad u)”
La probabilidad  0P T t equivale a que a la probabilidad de que en el intervalo  00,t haya
ocurrido k-1 sucesos de Poisson, la cual se puede calcular mediante una nueva v.a 0' ( )X P t, p 0( )
como  ' 1P X k  .
   
     
1 2 1
0 0 0
k
t t t t   

 
    
     0 0 0 0
0 ' 1 1 ....
1! 2! ( 1)!
t t t t
P T t P X k e
k
   
         
  
     
1 2 1k
 
   
     
1 2 1
( ) 1 1 1 ....
1! 2! ( 1)!
k
t t t t
F t P T t P T t e
k
   


 
           
  

FICHA TÉCNICA ( , )X Erlang k 
) F ió d d id d
1
( ) 0
k k x
x e
f

  
a) Función de densidad ( ) 0
( 1)!
f x x
k
 

b) Función de distribución
 1
0
( ) 1 0
!
i
k
x
i
t
F x e x
i
 

  0 !i i
k
E X

   2
k
Var X



EJEMPLO
En el ejemplo de la centralita, ¿cuál es la probabilidad de que el
tiempo que transcurre hasta recibir 2 llamadas enla centralita sea
i 5 i ?superior a 5 minutos?
T  “tiempo (en minutos) que transcurre hasta la segunda llamada” Erlang(2,3/5)
  3/5 5 3 33/5 5
5 1 (5) 2 0.099
1!
TP T F e e e   
      

Esquema inicial
5. Distribución Gamma

5. Distribución Gamma (1/4)
GÉNESIS
( , )X Erlang k 
Generalización
( , )X k 
0,k k  R
1
( 1)!
( ) 0
k k x
x e
f x x
k

  

 
Generalización 1
(
) 0
)
(
k k x
x e
f x
k
x

  

 

FICHA TÉCNICA ( , )X k 
) F ió d d id d
1
( ) 0
k k x
x e
f x x

  
a) Función de densidad ( ) 0
( )
f x x
k
 

xk

b) Función de distribución 1
0
( ) 0
( )
k
k t
F x t e dt x
k
  
 
 
k
E X

   2
k
Var X



FUNCIÓN GAMMA
1
0
( ) k x
k x e dx

 
   Siendo k un entero positivo
0
(1) 1 a) ( )
( ) ( 1) ( 1)k k k    
)
b)
c)  ( ) 1 !k k   Siendo k un entero positivo
( )k


d) 1
0
( )k x
k
k
x e dx

  


Esquema inicial
6. Distribución Beta6. Distribución Beta

5. Distribución Beta (1/4)
GÉNESIS

FICHA TÉCNICA ( , )X Beta p q
) F ió d d id da) Función de densidad
b) Función de distribución Definición teórica
c) Esperanza d) Varianza

GRÁFICAS

FUNCIÓN BETA

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