definiciones básicas en probabilidad, reglas

1. PROBABILIDAD
ParteIV
MSc Edgar Madrid Cuello
Departamento de Matemática, UNISUCRE
Estadística I
2016
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 1 / 26

2. Espacios de probabilidad1
Denición (Experimento aleatorio)
Un experimento se dice aleatorio si su resultado no puede ser determinado
de antemano.
Denición (Espacio muestral)
El conjunto Ω de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio
se llama espacio muestral. Los elementos ω ∈ Ω son llamados puntos
muéstrales.
Ejemplo
Lanzamiento de un dado corriente 3 veces consecutivas. En este caso, los
posibles resultados son tripletas (a, b, c) con a, b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1
Probabilidad. Blanco, L. Universidad Nacional de Colombia. 2a edición. 2010
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3. Espacios de probabilidad1
Denición (Experimento aleatorio)
Un experimento se dice aleatorio si su resultado no puede ser determinado
de antemano.
Denición (Espacio muestral)
El conjunto Ω de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio
se llama espacio muestral. Los elementos ω ∈ Ω son llamados puntos
muéstrales.
Ejemplo
Lanzamiento de un dado corriente 3 veces consecutivas. En este caso, los
posibles resultados son tripletas (a, b, c) con a, b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1
Probabilidad. Blanco, L. Universidad Nacional de Colombia. 2a edición. 2010
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4. Espacios de probabilidad1
Denición (Experimento aleatorio)
Un experimento se dice aleatorio si su resultado no puede ser determinado
de antemano.
Denición (Espacio muestral)
El conjunto Ω de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio
se llama espacio muestral. Los elementos ω ∈ Ω son llamados puntos
muéstrales.
Ejemplo
Lanzamiento de un dado corriente 3 veces consecutivas. En este caso, los
posibles resultados son tripletas (a, b, c) con a, b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1
Probabilidad. Blanco, L. Universidad Nacional de Colombia. 2a edición. 2010
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5. Ejemplo
Lanzamiento de una moneda corriente
Ejemplo
Experimento: se observa el número de veces que es necesario lanzar una
moneda corriente hasta obtener por primera vez cara.
Denición
El espacio muestral Ω se llama discreto si es nito o numerable. Un
experimento aleatorio se llama nito (discreto) si su espacio muestral es
nito (discreto).
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6. Ejemplo
Lanzamiento de una moneda corriente
Ejemplo
Experimento: se observa el número de veces que es necesario lanzar una
moneda corriente hasta obtener por primera vez cara.
Denición
El espacio muestral Ω se llama discreto si es nito o numerable. Un
experimento aleatorio se llama nito (discreto) si su espacio muestral es
nito (discreto).
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7. Ejemplo
Lanzamiento de una moneda corriente
Ejemplo
Experimento: se observa el número de veces que es necesario lanzar una
moneda corriente hasta obtener por primera vez cara.
Denición
El espacio muestral Ω se llama discreto si es nito o numerable. Un
experimento aleatorio se llama nito (discreto) si su espacio muestral es
nito (discreto).
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 3 / 26

8. Ejemplo
Un experimento habitual en Biología consiste en extraer, por ejemplo,
peces de un río, hasta dar con un pez de una especie que se desea estudiar.
El número de peces que habría que extraer hasta conseguir el ejemplar
deseado de la especie en estudio formaría el espacio muestral,
Ω = {1, 2, 3, . . .}, si es que el investigador desea observar exactamente un
número de peces hasta extraer ese ejemplar deseado.
Obsérvese que se trata de un conjunto no acotado, pero numerable.
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9. Denición (Suceso o evento)
Llamaremos suceso elemental a cualquier subconjunto del espacio muestral.
El mismo espacio muestral es un suceso llamado suceso seguro y el
conjunto vacío, φ, es el suceso imposible.
Decir que un evento A ocurre signica que el resultado obtenido, al
realizar el experimento aleatorio cuyo espacio muestral es Ω, es un
elemento de A.
Por lo tanto si A y B son eventos entonces:
A ∪ B es un evento que ocurre, si y sólo si, A o B o ambos
ocurren.
A ∩ B es un evento que ocurre, si y sólo, si A y B ocurren.
Ac es un evento que ocurre, si y sólo si, A no ocurre
A − B es un evento que ocurre, si y sólo si, A ocurre pero B
no.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 5 / 26

10. Denición (Suceso o evento)
Llamaremos suceso elemental a cualquier subconjunto del espacio muestral.
El mismo espacio muestral es un suceso llamado suceso seguro y el
conjunto vacío, φ, es el suceso imposible.
Decir que un evento A ocurre signica que el resultado obtenido, al
realizar el experimento aleatorio cuyo espacio muestral es Ω, es un
elemento de A.
Por lo tanto si A y B son eventos entonces:
A ∪ B es un evento que ocurre, si y sólo si, A o B o ambos
ocurren.
A ∩ B es un evento que ocurre, si y sólo, si A y B ocurren.
Ac es un evento que ocurre, si y sólo si, A no ocurre
A − B es un evento que ocurre, si y sólo si, A ocurre pero B
no.
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11. Denición (Suceso o evento)
Llamaremos suceso elemental a cualquier subconjunto del espacio muestral.
El mismo espacio muestral es un suceso llamado suceso seguro y el
conjunto vacío, φ, es el suceso imposible.
Decir que un evento A ocurre signica que el resultado obtenido, al
realizar el experimento aleatorio cuyo espacio muestral es Ω, es un
elemento de A.
Por lo tanto si A y B son eventos entonces:
A ∪ B es un evento que ocurre, si y sólo si, A o B o ambos
ocurren.
A ∩ B es un evento que ocurre, si y sólo, si A y B ocurren.
Ac es un evento que ocurre, si y sólo si, A no ocurre
A − B es un evento que ocurre, si y sólo si, A ocurre pero B
no.
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12. Denición (Eventos mutuamente excluyentes)
Dos eventos A y B se dicen mutuamente excluyentes si A ∩ B = φ
Vemos que la teoría de la probabilidad en el fondo sólo es sentido común
reducido a cálculo; nos hace apreciar con exactitud lo que las mentes
razonables toman por un tipo de instinto, incluso sin ser capaces de darse
cuenta[...] Es sorprendente que esta ciencia, que surgió del análisis de
los juegos de azar, llegara a ser el objeto más importante del conocimiento
humano[...] Las principales cuestiones de la vida son, en gran medida,
meros problemas de probabilidad.
Fierre Simón, Marques de Laplace
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 6 / 26

13. Denición (Eventos mutuamente excluyentes)
Dos eventos A y B se dicen mutuamente excluyentes si A ∩ B = φ
Vemos que la teoría de la probabilidad en el fondo sólo es sentido común
reducido a cálculo; nos hace apreciar con exactitud lo que las mentes
razonables toman por un tipo de instinto, incluso sin ser capaces de darse
cuenta[...] Es sorprendente que esta ciencia, que surgió del análisis de
los juegos de azar, llegara a ser el objeto más importante del conocimiento
humano[...] Las principales cuestiones de la vida son, en gran medida,
meros problemas de probabilidad.
Fierre Simón, Marques de Laplace
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 6 / 26

14. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Denición (Probabilidad)
Una probabilidad es una cantidad numérica que expresa la verosimilitud de
un suceso E, La probabilidad de suceso E se expresa como
P(E)
La probabilidad P(E) es siempre un número entre 0 y 1, ambos inclusive.
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15. Ejemplo (Muestreo de moscas de la fruta)
Se mantiene en un laboratorio una población grande de la mosca de la
fruta Drosophila melanogaster. El 30% de los individuos son negros debido
a una mutación. Mientras que el 70% restante tienen el color de cuerpo
gris normal. Supongamos que se escogen aleatoriamente una mosca de la
población. Entonces la probabilidad de que se escoja una mosca negra es
0.3.
La probabilidad de que un individuo escogido
aleatoriamente tenga una cierta característica
es igual a la proporción de los miembros de la
población con dicha característica.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 8 / 26

16. Ejemplo (Muestreo de moscas de la fruta)
Se mantiene en un laboratorio una población grande de la mosca de la
fruta Drosophila melanogaster. El 30% de los individuos son negros debido
a una mutación. Mientras que el 70% restante tienen el color de cuerpo
gris normal. Supongamos que se escogen aleatoriamente una mosca de la
población. Entonces la probabilidad de que se escoja una mosca negra es
0.3.
La probabilidad de que un individuo escogido
aleatoriamente tenga una cierta característica
es igual a la proporción de los miembros de la
población con dicha característica.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 8 / 26

17. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Interpretación de la probabilidad como frecuencia
La probabilidad P(E) se interpreta como la frecuencia relativa de
ocurrencias de E en una serie innitamente larga de repeticiones de la
operación aleatoria.
Concretamente, supongamos que la operación aleatoria se repite un gran
número de veces, y que en cada repetición se anota la incidencia o no
incidencia de E. Entonces podemos expresar
P(E) ←→
# de veces que ocurre E
# de veces que se repite el experimento aleatorio
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 9 / 26

18. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Interpretación de la probabilidad como frecuencia
La probabilidad P(E) se interpreta como la frecuencia relativa de
ocurrencias de E en una serie innitamente larga de repeticiones de la
operación aleatoria.
Concretamente, supongamos que la operación aleatoria se repite un gran
número de veces, y que en cada repetición se anota la incidencia o no
incidencia de E. Entonces podemos expresar
P(E) ←→
# de veces que ocurre E
# de veces que se repite el experimento aleatorio
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 9 / 26

19. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Interpretación de la probabilidad como frecuencia
La probabilidad P(E) se interpreta como la frecuencia relativa de
ocurrencias de E en una serie innitamente larga de repeticiones de la
operación aleatoria.
Concretamente, supongamos que la operación aleatoria se repite un gran
número de veces, y que en cada repetición se anota la incidencia o no
incidencia de E. Entonces podemos expresar
P(E) ←→
# de veces que ocurre E
# de veces que se repite el experimento aleatorio
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 9 / 26

20. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Denición (Reglas básicas)
1 La probabilidad de un suceso E está siempre entre 0 y 1. Es decir,
0 ≤ P(E) ≤ 1.
2 La suma de las probabilidades de todos los posibles sucesos es igual a
1.
3 P(Ec) = 1 − P(E).
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 10 / 26

21. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Denición (Reglas básicas)
1 La probabilidad de un suceso E está siempre entre 0 y 1. Es decir,
0 ≤ P(E) ≤ 1.
2 La suma de las probabilidades de todos los posibles sucesos es igual a
1.
3 P(Ec) = 1 − P(E).
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 10 / 26

22. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Denición (Reglas básicas)
1 La probabilidad de un suceso E está siempre entre 0 y 1. Es decir,
0 ≤ P(E) ≤ 1.
2 La suma de las probabilidades de todos los posibles sucesos es igual a
1.
3 P(Ec) = 1 − P(E).
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 10 / 26

23. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Ejemplo (Grupo sanguíneo)
En Estados Unidos, el 44% de la población tiene grupo sanguíneo O, el
42% tiene grupo A, el 10% tiene grupo B y el 4% tiene grupo AB.
Consideremos que se elige a una persona aleatoriamente y se determina su
grupo sanguíneo. La probabilidad del grupo sanguíneo dado corresponderá
al porcentaje de la población.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 11 / 26

24. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Ejemplo (Grupo sanguíneo)
En Estados Unidos, el 44% de la población tiene grupo sanguíneo O, el
42% tiene grupo A, el 10% tiene grupo B y el 4% tiene grupo AB.
Consideremos que se elige a una persona aleatoriamente y se determina su
grupo sanguíneo. La probabilidad del grupo sanguíneo dado corresponderá
al porcentaje de la población.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 11 / 26

25. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Ejemplo (Grupo sanguíneo)
En Estados Unidos, el 44% de la población tiene grupo sanguíneo O, el
42% tiene grupo A, el 10% tiene grupo B y el 4% tiene grupo AB.
Consideremos que se elige a una persona aleatoriamente y se determina su
grupo sanguíneo. La probabilidad del grupo sanguíneo dado corresponderá
al porcentaje de la población.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 11 / 26

26. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Ejemplo (Grupo sanguíneo)
En Estados Unidos, el 44% de la población tiene grupo sanguíneo O, el
42% tiene grupo A, el 10% tiene grupo B y el 4% tiene grupo AB.
Consideremos que se elige a una persona aleatoriamente y se determina su
grupo sanguíneo. La probabilidad del grupo sanguíneo dado corresponderá
al porcentaje de la población.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 11 / 26

27. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Denición (Reglas de la suma)
1 Si dos sucesos E1 y E2 son disyuntos, entonces
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
2 Para dos sucesos cualesquiera E1, y E2, entonces:
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) − P(E1 ∩ E2)
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 12 / 26

28. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Denición (Reglas de la suma)
1 Si dos sucesos E1 y E2 son disyuntos, entonces
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
2 Para dos sucesos cualesquiera E1, y E2, entonces:
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) − P(E1 ∩ E2)
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29. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Ejemplo (Color de cabello y color de ojos)
La Tabla muestra la relación entre el color del pelo y el color de los ojos de
un grupo de 1.770 hombres alemanes.
Color de cabello
Castaño Negro Rojo Total
Color Castaño 400 300 20 720
de ojos Azules 800
Total 500 1770
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30. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Denición Clásica de la Probabilidad
Denición (Experimentos laplacianos)
Dentro de los experimentos aleatorios los más fáciles de analizar son los
llamados experimentos laplacianos. Estos son experimentos que tienen un
número nito de posibles resultados, cada uno con la misma probabilidad
de ser obtenido.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 14 / 26

31. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Denición (Regla de Laplace o denición clásica)
La probabilidad de un suceso E,en un experimento laplaciano, esta dada
por:
P(E) =
numero de casos favorables
numero casos posibles
Esta denición, es aceptada, cuando se cumplen las siguientes deniciones:
El espacio muestral de todos los resultados posibles Ω es nito
Los resultados del espacio muestral deben ser igualmente probables
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 15 / 26

32. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Denición (Regla de Laplace o denición clásica)
La probabilidad de un suceso E,en un experimento laplaciano, esta dada
por:
P(E) =
numero de casos favorables
numero casos posibles
Esta denición, es aceptada, cuando se cumplen las siguientes deniciones:
El espacio muestral de todos los resultados posibles Ω es nito
Los resultados del espacio muestral deben ser igualmente probables
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 15 / 26

33. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Denición (Regla de Laplace o denición clásica)
La probabilidad de un suceso E,en un experimento laplaciano, esta dada
por:
P(E) =
numero de casos favorables
numero casos posibles
Esta denición, es aceptada, cuando se cumplen las siguientes deniciones:
El espacio muestral de todos los resultados posibles Ω es nito
Los resultados del espacio muestral deben ser igualmente probables
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 15 / 26

34. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Denición (Regla de Laplace o denición clásica)
La probabilidad de un suceso E,en un experimento laplaciano, esta dada
por:
P(E) =
numero de casos favorables
numero casos posibles
Esta denición, es aceptada, cuando se cumplen las siguientes deniciones:
El espacio muestral de todos los resultados posibles Ω es nito
Los resultados del espacio muestral deben ser igualmente probables
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 15 / 26

35. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
En un espacio de probabilidad laplaciano se tiene por lo tanto, que el
cálculo de probabilidades se reduce a contar el número de elementos de un
conjunto nito, es decir, se llega a un problema de análisis combinatorio.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 16 / 26

36. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Se dice que dos sucesos son independientes si el conocimiento de que ha
ocurrido uno de ellos no cambia la probabilidad de que el otro ocurra.
Los sucesos que no son independientes se denominan dependientes.
cuando los sucesos son dependientes es necesario considerar las
probabilidad condicional de un suceso, dado que otro suceso ha ocurrido.
P (E2 | E1)
se lee: Probabilidad de que suceda E2, dado que ha ocurrido E1
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 17 / 26

37. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Se dice que dos sucesos son independientes si el conocimiento de que ha
ocurrido uno de ellos no cambia la probabilidad de que el otro ocurra.
Los sucesos que no son independientes se denominan dependientes.
cuando los sucesos son dependientes es necesario considerar las
probabilidad condicional de un suceso, dado que otro suceso ha ocurrido.
P (E2 | E1)
se lee: Probabilidad de que suceda E2, dado que ha ocurrido E1
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 17 / 26

38. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Se dice que dos sucesos son independientes si el conocimiento de que ha
ocurrido uno de ellos no cambia la probabilidad de que el otro ocurra.
Los sucesos que no son independientes se denominan dependientes.
cuando los sucesos son dependientes es necesario considerar las
probabilidad condicional de un suceso, dado que otro suceso ha ocurrido.
P (E2 | E1)
se lee: Probabilidad de que suceda E2, dado que ha ocurrido E1
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 17 / 26

39. Naturaleza y axiomas de la probabilidad
Las reglas de la probabilidad
Denición
La probabilidad condicional de E2, dado E1 es
P (E2 | E1) =
P(E1 ∩ E2)
P(E1)
con P(E1) = 0
Ejemplo
Se escoge un hombre aleatoriamente del grupo de alemanes. La
probabilidad de que el hombre tenga ojos azules dado que tiene cabello
negro es:
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 18 / 26

40. Color de cabello
Castaño Negro Rojo Total
Color Castaño 400 300 20 720
de ojos Azules 800 200 50 1050
Total 1200 500 70 1770
Denición (Reglas de la multiplicación)
Si dos sucesos E2 y E1 son independientes, entonces
P(E1 ∩ E2) = P(E1) × P(E2)
Denición
Para dos sucesos cualesquiera E1 y E2,
P(E1 ∩ E2) = P(E1) × P(E2 | E1)
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 19 / 26

41. Color de cabello
Castaño Negro Rojo Total
Color Castaño 400 300 20 720
de ojos Azules 800 200 50 1050
Total 1200 500 70 1770
Denición (Reglas de la multiplicación)
Si dos sucesos E2 y E1 son independientes, entonces
P(E1 ∩ E2) = P(E1) × P(E2)
Denición
Para dos sucesos cualesquiera E1 y E2,
P(E1 ∩ E2) = P(E1) × P(E2 | E1)
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 19 / 26

42. Color de cabello
Castaño Negro Rojo Total
Color Castaño 400 300 20 720
de ojos Azules 800 200 50 1050
Total 1200 500 70 1770
Denición (Reglas de la multiplicación)
Si dos sucesos E2 y E1 son independientes, entonces
P(E1 ∩ E2) = P(E1) × P(E2)
Denición
Para dos sucesos cualesquiera E1 y E2,
P(E1 ∩ E2) = P(E1) × P(E2 | E1)
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 19 / 26

43. Ejemplo (Parcial)
Un estudiante contesta dos preguntas de falso y verdadero de forma
aleatoria. La probabilidad de que ambas preguntas le salgan correcta es:
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 20 / 26

44. Ejemplo (Parcial)
Un estudiante contesta dos preguntas de falso y verdadero de forma
aleatoria. La probabilidad de que ambas preguntas le salgan correcta es:
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 20 / 26

45. Ejemplo (Grupo sanguíneo)
El 44% de cierta población tiene grupo sanguíneo O. También es cierto que
el 15% de la población es Rh negativo y que esto es independiente del
grupo sanguíneo. Por tanto, si se escogen aleatoriamente una persona, la
probabilidad de que dicha persona tenga grupo sanguíneo O y Rh negativo
es:
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 21 / 26

46. Ejemplo (Color de cabello y color de ojos)
Consideremos que se escoge aleatoriamente a un hombre del grupo que se
muestra en la Tabla ¾Cuál es la probabilidad de que el hombre tenga pelo
rojo y ojos marrones?
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 22 / 26

47. Algunas veces un problema de probabilidades se puede dividir en dos
partes condicionales que se resuelven separadamente y se combinan las
respuestas.
Denición (Regla de la probabilidad total)
Para dos sucesos cualesquiera E1 y E2,
P(E1) = P(E2) × P(E1 | E2) + P(EC
2 ) × P(E1 | EC
2 )
Ejemplo (Tamaño de la mano)
Consideremos que se escoge aleatoriamente a una persona de una
población con un 60% de mujeres y un 40% de hombres. Supongamos que
para una mujer la probabilidad de tener un tamaño de mano menor que
100 cm es 0,31. Supongamos que para un hombre la probabilidad de tener
un tamaño de mano menor que 100cm2 es 0,08. ¾Cuál es la probabilidad
de que una persona elegida aleatoriamente tenga un tamaño de mano
menor que 100cm2?
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 23 / 26

48. Algunas veces un problema de probabilidades se puede dividir en dos
partes condicionales que se resuelven separadamente y se combinan las
respuestas.
Denición (Regla de la probabilidad total)
Para dos sucesos cualesquiera E1 y E2,
P(E1) = P(E2) × P(E1 | E2) + P(EC
2 ) × P(E1 | EC
2 )
Ejemplo (Tamaño de la mano)
Consideremos que se escoge aleatoriamente a una persona de una
población con un 60% de mujeres y un 40% de hombres. Supongamos que
para una mujer la probabilidad de tener un tamaño de mano menor que
100 cm es 0,31. Supongamos que para un hombre la probabilidad de tener
un tamaño de mano menor que 100cm2 es 0,08. ¾Cuál es la probabilidad
de que una persona elegida aleatoriamente tenga un tamaño de mano
menor que 100cm2?
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 23 / 26

49. Ejemplo (Tamaño de la mano. Continuación...)
Si la persona es una mujer, entonces la probabilidad de tamaño de mano
pequeño es 0,31, y si la persona es un hombre, entonces la probabilidad
de tamaño de mano pequeño es 0,08.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 24 / 26

50. Denición (Regla de Bayes)
P(E2 | E1) =
P(E2) × P(E1 | E2)
P(E2) × P(E1 | E2) + P(EC
2 ) × P(E1 | EC
2 )
Ejemplo (Tamaño de la mano)
¾Cuál es la probabilidad de que una persona elegida aleatoriamente sea
mujer, si se sabe que el tamaño de la mano es menor que 100cm2?
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 25 / 26

51. Denición (Regla de Bayes)
P(E2 | E1) =
P(E2) × P(E1 | E2)
P(E2) × P(E1 | E2) + P(EC
2 ) × P(E1 | EC
2 )
Ejemplo (Tamaño de la mano)
¾Cuál es la probabilidad de que una persona elegida aleatoriamente sea
mujer, si se sabe que el tamaño de la mano es menor que 100cm2?
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IPROBABILIDAD 2016 25 / 26

52. Ejemplo
Incidencia de una enfermedad rara. Sólo 1 de 1000 adultos padece una
enfermedad rara para la cual se ha creado una prueba de diagnóstico. La
prueba es tal que cuando un individuo que en realidad tiene la enfermedad,
un resultado positivo se presentará en 99% de las veces mientras que en
individuos sin enfermedad el examen será positivo sólo en un 2% de las
veces. Si se somete a prueba un individuo seleccionado al azar y el
resultado es positivo, ¾cuál es la probabilidad de que el individuo tenga la
enfermedad?a
a
Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Séptima ed., Jay L.
Devore
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