1) El documento describe las características de una distribución normal, incluyendo que la media, mediana y moda son iguales, es simétrica y teóricamente se extiende hasta el infinito. 2) Presenta ejemplos para calcular valores z y probabilidades asociadas a distribuciones normales. 3) Explica cómo usar una aproximación normal para distribuciones binomiales cuando n y p(1-p) son mayores que 5.

1. Unidad 4 Estadística Inferencial Material de Apoyo didáctico para la materia a distancia. Sociología Facultad de Ciencias Políticas y Sociales. UNAM.

2. Características de la distribución probabilística normal La curva normal tiene forma de campana con un solo pico justo en el centro de la distribución. La media, mediana y moda de la distribución aritmética son iguales y se localizan en el pico. La mitad del área bajo la curva está a la derecha del pico, y la otra mitad está a la izquierda. 7-3

3. Características de la distribución probabilística normal La distribución normal es simétrica respecto a su media. La distribución normal es asintótica - la curva se acerca cada vez más al eje x pero en realidad nunca llega a tocarlo. 7-4

4. Características de una distribución normal La media, mediana y moda son iguales La curva normal es simétrica En teoría, la curva se extiende hasta infinito a © 2001 Alfaomega Grupo Editor - 5 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 1 . 0 x f ( x r a l i t r b u i o n :  = 0 ,   = 1

5. Distribución normal estándar Una distribución normal que tiene media igual a 0 y desvición estándar igual a 1 se denomina distribución normal estándar. Valor z : la distancia entre un valor seleccionado, designado como X , y la población media  , dividida entre la desviación estándar de la población  , 7-6

6. EJEMPLO 1 El ingreso mensual que una corporación grande ofrece a los graduados en IPN tiene una distribución normal con media de $2000 y desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor z para un ingreso de $2200? y ¿cuál para uno de $1700? Para X = $2200, z = (2200 - 2000) /200 = 1. 7-7

7. EJEMPLO 1 continuación Para X = $1700, z = (1700 - 2000) /200 = - 1.5 Un valor z igual a 1 indica que el valor de $2200 es mayor que la desviación estándar de la media de $2000, así como el valor z igual a -1.5 indica que el valor de $1700 es menor que la desviciación estándar de la media de $2000. 7-8

8. Áreas bajo la curva normal Cerca de 68% del área bajo la curva normal está a menos de una desviación estándar respecto a la media. Alrededor de 95% está a menos de dos desviaciones estándar de la media. 99.74% está a menos de tres desviaciones estándar de la media. 7-9

9. Áreas bajo la curva normal Entre: 1.68.26% 2.95.44% 3.99.74% © 2001 Alfaomega Grupo Editor - 5 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 1 . 0 x f ( x r a l i t r b u i o n :  = 0 ,   = 1

10. EJEMPLO 2 El consumo de agua diario por persona en el Distrito Federal tiene una distribución normal con media de 20 galones y desviación estándar de 5 galones. Cerca de 68% del consumo de agua diario por persona en New Providence está entre cuáles dos valores. . Esto es, cerca de 68% del consumo diario de agua está entre 15 y 25 galones. 7-11

11. EJEMPLO 3 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de en el D.F. seleccionada al azar use menos de 20 galones por día? El valor z asociado es z = (20 - 20) /5 = 0. Así, P( X <20) = P( z <0) = .5 ¿Qué porcentaje usan entre 20 y 24 galones? El valor z asociado con X = 20 es z = 0 y con X = 24, z = (24 - 20) /5 = .8. Así, P(20<X<24) = P(0< z <.8) = 28.81% 7-12

12. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 P(0 < z < .8) = .2881 EJEMPLO 3 0 < X < .8 © 2001 Alfaomega Grupo Editor - 5 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 1 . 0 x f ( x r a l i t r b u i o n :  = 0 ,

13. EJEMPLO 3 continuación ¿Qué porcentaje de la población utiliza entre 18 y 26 galones? El valor z asociado con X = 18 es z = (18 -20) /5 = -.4, y para X = 26, z = (26 - 20) /5 = 1.2. Así, P(18<X<26) = P(-.4< z <1.2) = .1554 + .3849 = .5403 7-14

14. EJEMPLO 4 La profesora Aura determinó que el promedio final en su curso de estadística tiene una distribución normal con media de 72 y desviación estándar de 5. Decidió asignar las calificaciones del curso de manera que 15% de los alumnos reciban una calificación de A. ¿Cuál es el promedio más bajo que un alumno puede tener para obtener una A? Sea X el promedio más bajo. Encuentre X de manera que P( X > X ) = .15. El valor z correspondiente es 1.04. Así se tiene ( X - 72) / 5 = 1.04, o X = 77.2 7-15

15. EJEMPLO 4 0 1 2 3 4 Z=1.04 15% © 2001 Alfaomega Grupo Editor - 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 1 . 0 f ( x r a l i t r b u i o n :  = 0 ,   = 1

16. EJEMPLO 5 La cantidad de propina que un mesero recibe por turno en un restaurante exclusivo tiene una distribución normal con media de $80 y desviación estándar de $10. Shelli siente que ha dado un mal srvicio si el total de sus propinas del turno es menor que $65. ¿Cuál es la probabilidad de que ella haya dado un mal servicio? Sea X la cantidad de propina. El valor z asociado con X = 65 es z = (65 - 80) /10 = -1.5. Así P( X <65) = P( z <-1.5) =.5 - .4332 = .0668. 7-17

17. Aproximación normal a la binomial Utilizar la distribución normal (una distribución continua) como sustituto de una distribución binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n , parece razonable porque conforme n aumenta, una distribución binomial se acerca más a una distribución normal. La distribución de probabilidad normal, en general, se considera una buena aproximación a la binomial cuando n y n (1 - ) son ambos mayores que 5. 7-18

18. Aproximación normal continuación Recuerde el experimento binomial : existen sólo dos resultados mutualmente excluyentes (éxito o fracaso) en cada ensayo. una distribución binomial es el resultado de contar el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos. cada ensayo es independiente. la probabilidad es fija de un ensayo a otro, y el número de ensayos n también es fijo. 7-19

19. Distribución binomial para n igual a 3 y 20, donde  =.50 7-20

20. Factor de corrección por continuidad El valor .5 se resta o se suma, dependiendo del problema, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad binomial (una distribución discreta) se aproxima por una distribución de probabilidad continua (la distribución normal). 7-21

21. EJEMPLO 6 Un estudio reciente de una compañía de investigación de mercados mostró que 15% de las casas en la Delegación Benito Juárez, D.F. poseen una cámara de video. Se obtuvo una muestra de 200 casas. De las 200 casas en la muestra ¿cuántas se espera que tengan una cámara de video? 7-22

22. EJEMPLO 6 ¿Cuál es la variancia? ¿Cuál es la desviación estándar? ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 casas de la muestra tengan cámara de video? Se necesita P( X <40) = P( X < 39) . Así, Al usar la aproximación normal, P( X <39.5) P[ z (39.5-30)/5.0498] = P( z 1.8812) P( z <1.88)=.5+.4699 +.9699 7-23

23. EJEMPLO 6 0 1 2 3 4 P( z = 1.88) .5 + .4699 = .9699 z = 1.88 © 2001 Alfaomega Grupo Editor - 5 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 1 . 0 f ( x r a l i t r b u i o n :  = 0 ,   = 1