suelos

1. Problemas de Deformaciones Planas Típicos.
Muro de
Contención
Terraplén
Cimentación Corrida
z
Y
X
z
Y
X
z
Y
X

2. Relaciones esfuerzo-deformación de materiales ideales a) elástico, b)
plástico rígido, c) elastoplástico, d) elastoplástico con ablandamiento,
e) relación esfuerzo-deformación típica con un material real.
Esfuerzo
Deformación
(a)
F
Esfuerzo
Deformación
(c)
Esfuerzo
Deformación
(e)
Esfuerzo
Deformación
(b)
Esfuerzo
Deformación
(d)
F F
R
F = Significa en la Falla
R = Significa Valor Residual

3. Elemento A
(a)
(b)
( c)
Superficie del terreno
Th
Tu
Nu
Nh
Diagramas para ilustrar la definición de esfuerzo. a) Perfil del
terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.

4. Nivel freático
Nivel del terreno
X X
Z
Area A
Nivel freático
Nivel del terreno
X X
Z
Z
Area A
W
W

5. Z Z
Z
Z
Z
y
y
y
y
y
X
X
X
X
X
X
X
a)
y
X
Z
b)
1
2
3
a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b)
esfuerzos principales

6. N
y
X
Ty
Tx
Huecos (poros)
Selecciones de
las partículas
Punto de contacto entre
partículas situadas por
encima y debajo del
plano de la seccion.
a
a
Definición de los esfuerzos en un sistema de partículas

7. Concepto de Esfuerzos Efectivos
HA
Area de Corte
Transversal = Ā
a
a
Agua de Poro
Partícula Sólida
H
Consideración del esfuerzo efectivo para una columna
de suelo saturado sin infiltración

8. Fuerzas que actúan en los puntos de contacto de las
partículas de suelo en el nivel del punto A.
Area de Corte
Transversal = Ā
a1 a2 a3
a4
P1
P2
P
3
P4
Concepto de Esfuerzos Efectivos

9. Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Entrada
Válvula
(abierta)
H1
Z
B
C
A
H2
h * z
H2
h
Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia arriba

10. Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Variación del (a) esfuerzo total; (b) presión de poro y (c) esfuerzo
efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia
arriba.
Profundidad Profundidad Profundidad
Esfuerzo Total,  Presión de Poros  Esfuerzo Efectivo ’
H1 W
H1W  zsat
H1 W
(H1z + zi)w z(’ – i w)
H1 W  H2 sat (H1 + H2 + h) w H2 ’ - hw
o
o o
H1
H1 + z
H1 + H2
(a) (b) (c)

11. Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Salida
Válvula
(abierta)
H1
Z
B
C
A
H2
h * z
H2
h
Entrada Q
Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo

12. Distribución de Esfuerzos en una masa de suelo
Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo; variación del
(a) esfuerzo total; (b) presión de poros y (d) esfuerzo efectivo con la
profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia abajo.
Profundidad Profundidad Profundidad
Esfuerzo Total,  Presión de Poro  Esfuerzo Efectivo ’
H1 W
H1 W  zsat
H1 W
(H1z - zi)w z(’ + i w)
H1 W  H2 sat (H1 + H2 - h) w H2 ’ + hw
o
o o
H1
H1 + z
H1 + H2
(a) (b) (c)

13. Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una
Carga Puntual.
Z
y
L
X
r
Z
X
P
 y
 z
 x
y
A

14. Esfuerzos causados por un Carga Puntual
Boussinesq (1883) resolvió el problema de los
esfuerzos “producidos en cualquier punto de un
medio homogéneo, elástico e isótropo como
resultado de una carga puntual aplicada sobre la
superficie de un semiespacio infinitamente grande. La
solución de Boussinesq para los esfuerzos normales
en un punto A causado por la carga puntual P es


















 2
3
2
2
2
2
5
2
)
(
)
2
1
(
3
2 r
L
z
y
z
L
Lr
y
x
L
z
x
P
x 



15. Esfuerzos Normales en A causados por
una Carga Puntual


















 2
3
2
2
2
2
5
2
)
(
)
2
1
(
3
2 r
L
z
x
z
L
Lr
x
y
L
z
y
P
y 


y
2
/
5
2
2
3
5
3
)
(
2
3
2
3
z
r
Pz
L
Pz
z







donde:
2
2
2
2
2
2
2
z
r
z
y
x
L
y
x
r







 = relación de poisson

16. z
X
N
Q por metro
x
z
Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una Carga
Lineal Vertical de Longitud Infinita

17. Esfuerzos Causados por una Carga
Lineal Vertical de Longitud Infinita
Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicación de una
carga lineal Q por metro, son
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
)
(
2
)
(
2
)
(
2
z
x
xz
Q
z
x
z
x
Q
z
x
z
Q
xz
x
z
















18. q = carga por área
unitaria
B
X
X - r
z
A

dr
r

x
z
Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una
Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita)

19. Carga Uniformemente Distribuida Sobre
una Franja Infinita
Loa incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una
presión uniforme q que actúa sobre un franja flexible infinitamente
larga de ancho B, son los siguientes:
 
 
)
2
(
)
2
cos(
)
2
cos(




























sen
sen
q
sen
q
sen
q
xz
x
z

20. Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales
Bajo una Carga Flexible de Franja
Carga de
Franja flexible
a a
Planta
q
B 2B 2.5B
B
2B
3B
4B
5B
0.7
0.5
0.3
0.2
0.06
0.08
0.1
0 B 2B

q = 0.9

q =

21. B
2B
3B
4B
5B
6B
=0.1q
V
0.2q
0.3q
0.4q
0.5q
0.6q
0.8q
0.9q
Bajo el centro
V
0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q q
a) b)
Franja infinita con carga uniformemente distribuida: a) líneas de igual incremento de
esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro
Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales
Bajo una Carga Flexible de Franja

22. Z
N


X
X
V
q
B
R1
R2
Carga con Distribución Triangular
sobre una Franja Infinita

23. Carga con Distribución Triangular
sobre una Franja Infinita
Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a través del
ancho de la franja, lo cual conduce a una distribución triangular,
los incrementos de esfuerzo en el punto N están dados por:





























x
B
z
q
sen
R
R
n
B
z
B
x
q
sen
B
x
q
xz
x
v
2
2
cos
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1












24. Carga uniformemente distribuida sobre una
área circular




















2
/
3
2
)
/
(
1
1
1
z
R
q
v

El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad z bajo el
centro de una área circular flexible de radio R cargada con una
presión uniforme q esta dado por
Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el
centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente
complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma
gráfica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962).
En el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo
vertical total como

 qI
v 


25. Factor influencia l σ
Valores del factor de influencia /σ para calcular el incremento de esfuerzo vertical
total σv bajo un área circular uniformemente cargada. (Según Foster y Alhvin,
1954. Reimpresa con la autorización del transportation Research board).
r
V
V
Carga uniforme q
= q/
0.002
0.001 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1 0.2 0.4 0.6 0.8
r
R
=10
9
8
7
6
5
4
3
2.5
2 1.5
1.25
0
0.5
r
R
r
R
=0.75
=1
E
R
R
1
z
R

26. P
Z
Z
=I.P
Z
a b
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0
0.01 2 4 6 6 6
8 8 8
0 0 0
2
1 10
1
2 4 4
b/z=
In
flu
e
n
c
e
Va
lu
e
‘
I
’
a/z
b/z=0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
b/z =1.0
b/z =0.5
1.2
1.4
1.6
1.9
2.0
3.0
Factores de Influence para Esfuerzos Verticales Generados
por una Carga de Terraplén (Obsterberg, 1957).

27. B B
Carga uniforme q
=0.5q
V
0.2q
0.1q
0.3q
0.4q
0.6q
0.8q
0.9q
Bajo el
centro
V
0.5B
0.5B
B
B
1.5B
1.5B
2B
2B
2.5B
2.5B
0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0
a) b)
a) líneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremento
del esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata.
Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales
Bajo un Área Cuadrada con Carga Uniforme

28. z
L
n
z
B
m


El incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina
de un área rectangular cargada uniformemente viene
dado por:
Incremento de Presiones Verticales Bajo
un Área Rectangular con Carga Uniforme

 qI
v 

Donde I es función de m y n, parámetros definidos
como:

29. Valores del factor de influencia I para calcular el incremento de esfuerzo
vertical total v bajo la esquina de una área rectangular uniformemente
cargada (Según Fadum, 1948)
0.18 0.18
0.19
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.17
0.16
0.15
0.14
0.13
0.12
0.11
0.10
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.01 0.1 1 2 3 4 5 6 8 10
0.2 0.3 0.4
0.02 0.04 0.06 0.6 0.8
0.00
m=0.0
m=0.1
m=0.2
m=0.3
m=0.4
m=0.5
m=0.6
m=0.7
m=0.8
m=1.0
m=1.8
m=2.
m=2.4
m=3.0 m=
m=1.2
m = 1 . 4
m = 1 . 6
m=0.9
Presion uniforme q
B
L
V
V =ql
N
Nota m n
: y son intercambiables
Factor
de
influencia
I
Z
n

30. Cálculo aproximado del incremento de
esfuerzo vertical
Para áreas circulares o rectangulares uniformemente cargadas,
puede hacerse un cálculo aproximado del incremento de esfuerzo
vertical total suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentro
de un cono truncado o una pirámide truncada formados por lados
con pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemplo,
si el área cargada es un rectángulo de longitud L y ancho B, el
incremento promedio en el esfuerzo vertical total a una
profundidad z estará dado aproximadamente por
)
)(
( z
B
z
L
qLB
v





31. Cualquier área cargada puede considerarse como un número discreto
de subáreas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la
superficie del terreno
1 1
2 2
L x B
(L+z) x (B+z)
Z
q
Método aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzo
vertical total bajo un área uniformemente cargada.

32. Ejercicio
Una cimentación superficial cuadrada de 2m de lado ,
perfectamente flexible, transmite a un depósito de suelo
homogéneo e isotrópico una carga uniforme q = 200 KN/m2.
Comparar la distribución de los incrementos de esfuerzo vertical,
(v) bajo el centro de la zapata considerando una carga
distribuida y una carga puntual equivalente. Estimar a partir de
que profundidad los errores entre estas distribuciones son
inferiores a 0.1q.
a) Carga uniformemente distribuida
C
q =200 kn/m2
B B
A A
D
D
C
2m
4 veces
1m

33. Utilizando el Ábaco de Fadum
Esquina Centro
Z
( m )
(m,n)
(KN/m )
2
(KN/m )
2
O
0.25
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
- -
4
2
1
0.67
0.50
0.40
0.33
0.29
0.25
0,247
0,233
0,177
0.125
0,086
0,062
0,046
0,037
0,027
200 200
49,4
46,6
35,4
25,0
17,2
12,4
9,2
7,4
5,4
197,6
186,4
141,6
100,0
68,8
49,6
36,8
29,6
21,6
,

34. Carga puntual
Expresión de Boussinesq





k
x
x
P
z
P
v
800
200
2
2
2
3
3


Z(m)
V (KN/M2) 6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2 23,9
0,25 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

35. Comparación entre las dos distribuciones de v
A partir de Z>2,20m  error absoluto (`v-) /Dq < 0.1
4
3
2,2
2
1
0 50 100 150 200
V
V
V
(kN/m )
2
CARGA DISTRIBUIDA
CARGA PUNTUAL
z(m)

36. Z
X X
X
Z
Z
Tzx
Tzx
Tzx
Txz
Txz
Txz
0
A
B
c
T Resultantes de
esfuerzos sobre ab
a) b)
ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
CÍRCULO DE MOHR

37. B
A
C
1
3
T
Dirección de 1
Direcci
ón
de
3
(a)
2
2
1
1
3
3
-
+
2
A ( Coordenados , )
T
T
Circulo de Mohr
(b)
REPRESENTACIÓN
DE ESFUERZOS
MEDIANTE EL
CÍRCULO DE MOHR
a) estado de esfuerzos en
un punto.
b) Diagrama de Mohr para
el estado de esfuerzos
en un punto.

38. Representación de los esfuerzos mediante el
círculo de Mohr.




















2
2
cos
)
(
2
cos
2
2
cos
3
1
3
1
3
1
3
1
2
3
2
1
sen
sen
sen










El esfuerzo tangencial máximo en un punto, max es
siempre igual a (1-3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial
máximo equivale al radio del círculo de Mohr. Este esfuerzo
tangencial máximo se produce en planos que forman ± 45°
con la dirección del esfuerzo principal mayor.

39. Ejemplo
Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano B-B.
300
4kg/cm
2
4kg/cm
2
2kg/cm
2
2kg/cm
2
B
B

40. 1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).
2. Se dibuja el círculo, utilizando estos puntos para definir el diámetro.
3. Se traza la línea AA’ por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual
actúa el esfuerzo (2,0).
4. La intersección de A’A’ con el círculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.
5. Se traza la línea B’B’ por Op, paralela a BB.
6. Se leen las coordenadas del punto X donde B’B’ corta al círculo de
Mohr.
1
0
-1
1 2 3 4
C´
A´
A´
X
B´
B´
Op
C´
A’
4
3
2
Op
B’
B’

41. Respuesta
2.5 kg/cm
2
2 kg/cm2
4 kg/cm
2
0.87
Sobre BB
 = 2.5 kg/cm2
 = -0.87 kg/cm2

42. Otra solución. Los pasos 1 y 2 igual que antes.
3. Traza´por el punto (4.0) la línea C’C’ paralela al plano sobre
el que actúa el esfuerzo (4.0). C’C’ es vertical.
4. C’C’ corta al círculo de Mohr solamente en (4.0) de forma
que este punto es el polo Op. Los pasos 5 y 6 análogos al caso
anterior.
Solución por medio de las ecuaciones
2
2
2
3
2
1
/
866
.
0
60
240
2
2
4
/
5
.
2
60
cos
3
240
cos
2
2
4
2
2
4
120
/
2
/
4
cm
kg
sen
sen
cm
kg
cm
kg
cm
kg




























(preguntas para el alumno. ¿Por qué es  =120? ¿El resultado
habria sido diferente si  = 300?)

43. DIAGRAMAS p-q
En muchos problemas conviene representar, sobre un
diagrama único, muchos estados de esfuerzos para una
determinada muestra del suelo. En otros problemas se
representa en un diagrama de este tipo el estado de
esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos
resulta muy pesado trazar los círculos de Mohr, e
incluso mas difícil ver lo que se ha representado en el
diagrama después de dibujar todos los círculos .
Otro método para dibujar el estado de esfuerzos puede
ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos
cuyas coordenadas son

44. 2
3
1 
 

p
2
3
1 
 


q
+ si 1 forma un ángulo igual o
menor de ± 45° con la vertical
- si 1 forma un ángulo menor de
± 45° con la horizontal
En la mayoría de los casos en los que se utiliza la
representación puntual, los esfuerzos principales actúan
sobre planos verticales y horizontales. En este caso, la
ecuación se reduce a
2
,
2
h
h
q
p



 
 




45. Este método equivale a representar un punto único de
un circulo de Mohr: el punto mas alto si q es positivo o
el mas bajo si q es negativo. Numéricamente, q equivale
a la mitad del esfuerzo desviador.
Conociendo los valores de p y q para un cierto estado de
esfuerzos, se posee toda la información necesaria para
dibujar el círculo de Mohr correspondiente. Sin
embargo, el empleo de un diagrama p-q no exime de
utilizar el círculo de Mohr para determinar la magnitud
de los esfuerzos principales a partir de un determinado
estado de esfuerzos.