Este documento presenta el método de Ruffini para dividir polinomios. Explica las reglas y pasos del método, y provee varios ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicarlo. También introduce el Teorema del Resto y cómo puede usarse para determinar si un número es una raíz de un polinomio evaluando el polinomio en ese número. Finalmente, discute cómo encontrar posibles raíces enteras de un polinomio usando los divisores del término independiente.
Modèles d’action collective pour les producteurs et leurs filières de commerc...ILRI
Presentation by Jo Cadilhon at a project planning meeting for the CORAF/WECARD Milk and Market Gardening Project held at Lomé, Togo, 24-26 January 2013.
Modèles d’action collective pour les producteurs et leurs filières de commerc...ILRI
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Écrire pour le web peut, à première vue, paraître simple. Mais avez-‐vous réellement pensé à tout ce que ça implique?
Que ce soit pour votre blogue d’entreprise ou pour vos réseaux sociaux, il est essentiel d’adapter votre façon d’écrire et votre langage en fonction de la clientèle à laquelle vous vous adressez, mais aussi en fonction du message que vous voulez transmettre.
1. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTOR
ALEGRE FREYRE 2013
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METODO RUFFINI
IE . PNP MEB
AULA CRT MEB 2013
2. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTOR
ALEGRE FREYRE 2013
2
TEMA 3.5 * 1º BCS
REGLA DE RUFFINI
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ALEGRE FREYRE 2013
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• Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la
forma (x – a), siendo a un número, la división de puede realizar de
una forma más rápida y precisa:
• 1.‑ Se reduce el dividendo.
• 2.‑ Se ordena el dividendo forma decreciente.
• 3.‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros.
• 4.‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluidos los
ceros.
• 5.- Se coloca a la izquierda el valor del número a.
• 6.- Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini.
• 7.‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo
el último que es el resto de la división.
• 8.- Se puede comprobar el resultado, pues siempre se cumplirá:
• D(x) = d(x).c(x) + r(x).
Regla de Ruffini
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• EJEMPLO 4
• Sea ( x3
+ 5.x - 3 ) : ( 2.x – 1)
• Como el divisor no es de la forma (x – a) se divide todo entre 2:
• Queda ( 0,50.x3
+ 2,50.x – 1,5 ) : ( x – 0,50)
• 0,50 0 2,50 - 1,50
• +
• 0,50 0,25 0,125 1,3125
• 0,50 0,25 2,625 - 0,1875
• C(x) = 0,50.x2
- 0,25.x + 2,625
• R(x) = - 0,1875
• El verdadero resto es: R(x) = 2.(-0,12875)= - 0,2575
• Podemos comprobar la división: D(x) = d(x).C(x) + R(x)
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• EJEMPLO 4
• Sea ( 2.x2
+ 5.x - 3 ) : ( 3.x + 1)
• Como el divisor no es de la forma (x – a) se divide todo entre 3:
• Queda ( 2/3.x3
+ 5/3.x – 1) : ( x + 1/3)
• 2/3 5/3 – 1
• +
• – 1/3 – 2/9 – 13/27
• 2/3 13/9 – 40/27
• C(x) = 2/3.x + 13/9
• R(x) = - 40/27
• El verdadero resto es: R(x) = 3.(-40/27)= - 40 / 9
• Como los decimales no son exactos se deja en fracción.
• Podemos comprobar la división: D(x) = d(x).C(x) + R(x)
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ALEGRE FREYRE 2013
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Método escalonado de Ruffini
• 1 - 3 3 - 1
• +
• 1 1 - 2 1
• 1 - 2 1 0
• 1 1 - 1
• 1 - 1 0
• 1 1
• 1 0
• Si el resto de la división de
P(x) entre (x – a) es cero,
entonces a es una raíz del
polinomio P(x).
• Podemos encontrar las
restantes raíces siguiendo
aplicando la Regla de Ruffini.
• Sea P(x) = x3
- 3 x2
+ 3.x - 1
• Las posibles soluciones o
raíces enteras son:
• PRE = {1, -1} ,
• o sea los divisores de 1.
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ALEGRE FREYRE 2013
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Método escalonado de Ruffini
• 1 3 0 - 4
• +
• 1 1 4 4
• 1 4 4 0
• - 2 - 2 - 4
• 1 2 0
• - 2 - 2
• 1 0
• Sea P(x) = x3
+ 3. x2
- 4
• Tenemos que resolver la
ecuación:
• x3
+ 3 x2
- 4 = 0
• Las posibles soluciones o
raíces enteras son:
• PRE = {1, -1, 2, - 2, 4, - 4} ,
• o sea los divisores de 4.
• Aplicamos el método de
Ruffini sin recurrir al
Teorema del Resto, o tras
encontrar una raíz mediante
sustitución.
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11
MG VICTOR ALEGRE F.
TEOREMA DEL RESTO Y
TEOREMA DEL FACTOR
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12
TEOREMA DEL RESTO
• Recordemos que RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x
que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero.
• Cumplen la ecuación: P(x)=0
• TEOREMA DEL RESTO
• El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la
forma (x a) , es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el‑
valor de a.
• Si el binomio es de la forma (x + a) , sustituiremos la x por a.‑
• Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que
es una raíz del polinomio.
• Si un polinomio es de grado n , tendrá como máximo n raíces
reales.
• Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz
real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4 , … raíces reales.
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• EJEMPLO_1
• Ya hemos visto al hacer la división:
• ( x3
+ 4.x2
- 5 ) : ( x - 3 ), que el resto es 58
• Veamos aplicando el Teorema del resto:
• P(a)=P(3)= 33
+ 4.32
- 5 = 27 + 36 – 5 = 58
• EJEMPLO_2
• Ya hemos visto al hacer la división:
• ( x3
+ 4.x2
- 5 ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30
• Veamos aplicando el Teorema del resto:
• P(a)=P(-5)= (-5)3
+ 4.(-5)2
- 5 = -125 + 100 – 5 = - 30
• EJEMPLO_3
• Ya hemos visto al hacer la división:
• ( 4.x3
+ 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45
• Veamos aplicando el Teorema del resto:
• P(a)=P(-2)= 4.(-2)3
+ 5.(-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45
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• RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO
• Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son
divisores del término independiente.
• Sea P(x) = a.x3
+ b.x2
+ c.x + d
• Donde a, b, c y d son números enteros.
• Se debe cumplir, si r es una raíz de P(x):
• a.r3
+ b.r2
+ c.r + d = 0
• r.(a.r2
+ b.r + c) = - d
• Vemos que r es un factor de – d
• O sea, que r es un divisor entero de d.
• Para hallar las raíces de un polinomio de grado igual o superior a 3,
o sea las soluciones de la ecuación P(x)=0, lo primero será
comprobar las posibles soluciones enteras o divisores enteros del
término independiente.
• Si el polinomio P(x) no presenta término independiente, x=0 será
una raíz o solución de la ecuación P(x) = 0
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• EJEMPLO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO
• Sea P(x) = x3
+ 2.x2
- 5.x - 6
• Tenemos que resolver la ecuación: x3
+ 2.x2
- 5.x - 6 = 0
• Las posibles soluciones o raíces enteras son:
• PRE = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6} , o sea los divisores de 6.
• Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto:
• P(1) = 13
+ 2.12
– 5.1 – 6 = – 8 <> 0 No es raíz x =1
• P(-1) = (-1)3
+ 2.(-1)2
- 5.(-1) – 6 = 0 x = -1 es una raíz.
• P(2) = 23
+ 2.22
- 5.2 – 6 = 0 x = 2 es otra raíz.
• P(-2) = (-2)3
+ 2.(-2)2
- 5.(-2) – 6 = 4 <> 0 No es raíz
• P(3) = 33
+ 2.32
- 5.3 – 6 = 24 <> 0 No es raíz x = 3
• P(-3) = (-3)3
+ 2.(-3)2
- 5.(-3) – 6 = 0 x = -3 es otra raíz
• Las soluciones o raíces son: x = -1 , x = 2 y x = -3
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ALEGRE FREYRE 2013
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• OTRO EJEMPLO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO
• Sea P(x) = x3
+ x2
+ 4.x + 4
• Tenemos que resolver la ecuación: x3
+ x2
+ 4.x + 4 = 0
• Las posibles soluciones o raíces enteras son:
• PRE = {1, -1, 2, -2, 4, - 4} , o sea los divisores de 4.
• Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto:
• P(1) = 13
+ 12
+ 4.1 + 4 = 10 <> 0 No es raíz x = 1
• P(-1) = (-1)3
+ (-1)2
+ 4.(-1) + 4 = 0 x = -1 es una raíz.
• P(2) = 23
+ 22
+ 4.2 + 4 = 24 <> 0 No es raíz x = 2
• P(-2) = (-2)3
+ (-2)2
+ 4.(-2) + 4 = – 8 <> 0 No es raíz x = - 2
• P(4) = 43
+ 42
+ 4.4 + 4 = 100 <> 0 No es raíz x = 4
• P(-4) = (-4)3
+ (-4)2
+ 4.(-4) + 4 = - 60 <>0 No es raíz x = -
4
• La única raíz real entera es x = -1
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TEOREMA DEL FACTOR
• RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el
valor numérico del polinomio es cero.
• Cumplen la ecuación: P(x)=0
• Por el Teorema del Resto, si a es una raíz, entonces P(a) = 0
• TEOREMA DEL FACTOR
• Si el resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma
(x a) es 0, entonces la división es exacta y a es una raíz del polinomio.‑
• Se cumple que: P(x) = (x – a).C(x)
• Siendo C(x) el cociente que nos haya dado la división.
• (x – a) será un factor de P(x).
• P(x) se podrá entonces factorizar, convertir en un producto de polinomios.