examen sustitutorio de la uni calculo diferencial

1. EXAMEN SUSTITUTORIO DE MATEMÁTICA 1 – AA-211
Solucionario 2017-2
1. Dada la siguiente función:
𝑓( 𝑥) = 𝐥𝐨𝐠
( 𝑥−2)
( 𝑥 − 1) + 𝐥𝐨𝐠
( 𝑥−1)
𝑥 + 𝐥𝐨𝐠
𝑥
( 𝑥 + 1) + 𝐥𝐨𝐠
( 𝑥+1)
( 𝑥 − 2)
a) Halle el dominio de 𝑓 1 pto.
b) Determine el dominio restringido de 𝑓 en donde cada uno de sus sumandos siempre es
positivo, luego encuentre el máximo valor 𝒌 ∈ ℕ tal que 𝑓( 𝑥) > 𝒌 3 ptos.
Resolución
a) 𝐷𝑜𝑚𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 − 2 > 0 ∧ 𝑥 − 2 ≠ 1} = 𝑥 ∈ ]2; +∞[ − {3}
b) Si para cada uno de los 4 logaritmos queremos que su valor siempre sea positivo, entonces se
debe cumplir que: 𝑥 − 2 > 1 → 𝑥 > 3 ∴ 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔𝑖𝑑𝑜: 𝑥 ∈ ]3; +∞[
Además, como los 4 logaritmos son diferentes y positivos, entonces:
𝑀𝐴̅̅̅̅̅ > 𝑀𝐺̅̅̅̅̅
𝐥𝐨𝐠
(𝑥−2)
(𝑥 − 1) + 𝐥𝐨𝐠
(𝑥−1)
𝑥 + 𝐥𝐨𝐠
𝑥
(𝑥 + 1) + 𝐥𝐨𝐠
(𝑥+1)
(𝑥 − 2)
4
> √ 𝐥𝐨𝐠
(𝑥−2)
(𝑥 − 1) . 𝐥𝐨𝐠
(𝑥−1)
𝑥 . 𝐥𝐨𝐠
𝑥
(𝑥 + 1) . 𝐥𝐨𝐠
(𝑥+1)
(𝑥 − 2)4
𝐥𝐨𝐠
(𝑥−2)
(𝑥 − 1) + 𝐥𝐨𝐠
(𝑥−1)
𝑥 + 𝐥𝐨𝐠
𝑥
(𝑥 + 1) + 𝐥𝐨𝐠
(𝑥+1)
(𝑥 − 2) > 4
𝑓(𝑥) > 4 → 𝑘 = 4
2. a) La función 𝑦(𝑡) = 𝑃0 𝑒 𝑘𝑡
modela el crecimiento exponencial con constante de crecimiento 𝑘,
donde 𝑃0 es el valor inicial 𝑦(0). Pruebe que 𝑦 satisface la ecuación 𝑦′(𝑡) = 𝑘 𝑦(𝑡). 1 pto.
b) En el laboratorio, el número de bacterias Escherichia coli crece exponencialmente, siendo la
constante de crecimiento 𝑘 = 0,41 (ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠)−1
. Suponga que en 𝑡 = 0 hay 1000 bacterias,
• Escriba una expresión para el número de bacterias 𝑃(𝑡) en el instante 𝑡. 1 pto.
• ¿Cuál es el tamaño de la población de bacterias, pasadas 5 horas? 1 pto.
• Cuándo llegará la población a ser igual a 10 000? (El tiempo en horas y minutos) 1 pto.
Resolución
c) Si 𝑦(𝑡) = 𝑃0 𝑒 𝑘𝑡 entonces 𝑦′(𝑡) = 𝑘 𝑃0 𝑒 𝑘𝑡⏟
𝑦(𝑡)
= 𝑘 𝑦(𝑡)
d) Según los datos, el modelo matemático que expresa el número de bacterias Escherichia coli:
• 𝑃(𝑡) = 1000𝑒0,41 𝑡, 𝑡 ≥ 0
• Pasadas 5 horas la población de bacterias será aproximadamente 7768 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠
𝑃(5) = 1000𝑒2,05 ≈ 7767,9
• La población de bacterias será igual a 10 000 en aproximadamente 5 horas, 36 minutos.
10 000 = 1000𝑒0,41𝑡 →
100
41
𝑙𝑛10 = 𝑡 → 𝑡 ≈ 5,6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠.

2. 3. Un foco de luz se acerca con una velocidad de 0,8 m/s a un
hombre que está situado a 4 𝑚 de una pared (figura). El foco
se encuentra a 1 𝑚 por encima del suelo. ¿Con qué rapidez
se moverá el extremo superior P de la sombra de ese hombre,
cuando el foco se halle a 7 𝑚 de la pared? 4 ptos.
Resolución
Definición de variables:
𝑥 : Distancia entre el hombre y el foco
𝑦 : Distancia entre el punto 𝑃 y el punto sobre la pared a 1 𝑚 por encima del suelo.
Datos en el siguiente esquema:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −0,8 𝑚/𝑠 ; 𝑠𝑒 𝑝𝑖𝑑𝑒
𝑑𝑦
𝑑𝑡
|
𝑥=3
= ?
Relación entre las variables 𝑥 e 𝑦
𝑦
4 + 𝑥
=
0,8
𝑥
𝑦 =
0,8 (4 + 𝑥)
𝑥
𝑜 𝑦 =
3,2
𝑥
+ 0,8
El cambio de la sombra con respecto a la distancia entre el hombre y el foco:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
3,2
𝑥2
Rapidez con que se mueve el extremo superior de la sombra cuando el foco se halle a 7 𝑚 de la
pared:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
|
𝑥=3
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
|
𝑥=3
= −
3,2
𝑥2
(−0,8)|
𝑥=3
=
2,56
𝑥2
|
𝑥=3
=
2,56
9
𝑚/𝑠
∴ Cuando el foco se halla a 7 𝑚 de la pared, el extremo superior de la sombra aproximadamente
a razón de 0,284 𝑚/𝑠.
4. Los lados de un triángulo equilátero miden 6 unidades. Se construye otro triángulo equilátero
dibujando segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados del primer triangulo. Si
este proceso puede repetirse un número ilimitado de veces, ¿Cuál es el perímetro total de todos
los triángulos que se forman? 4 ptos.
Resolución
El perímetro es la suma de las longitudes de los tres lados del triángulo.
Sp=6.3+3.3+(3/2).3+(3/4).3+….
Sp=3(6+3+(3/2)+(3/4)+….)
Para serie geométrica: S=a/(1-r)
Con: a=6, r=1/2 ; r < 1
𝑆𝑝 = 3. (
6
1 −
1
2
) = 36 𝑢.
Rpta.: El perímetro total de todos los triángulos que se forman: 36u.
𝑥
𝑦
0,8 𝑚
𝑃
4 𝑚
1 𝑚
…

3. 5. Hallar la relación que existe entre la altura y el radio de la base de un cilindro recto circular de
volumen dado V para que su superficie sea mínimo. 4 ptos.
Resolución
r : radio de la base
h : altura del cilindro
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛: 𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ → ℎ =
𝑉
𝜋𝑟2
… (1)
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒: 𝑆 = 2𝜋𝑟2
+ 2𝜋𝑟ℎ … (2)
Reemplazando (2) en (1) obtenemos:
𝑆(𝑟) = 2𝜋𝑟2
+
2𝑉
𝑟
Hallando los números críticos: S´(r) =0 → 𝑟 = √
𝑉
2𝜋
3
En (1): h = 2r
Rpta.: Esto muestra que la altura debe ser el doble del radio.
UNI, 12 de diciembre del 2017
Lic. Adriana Valverde Calderón
Lic. Héctor Alexis Herrera Vega
Ing. Javier Gonzalo Quinto