Ejercicios P3-2 y P3-8 Libro: chang

1. UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”
VICERRECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
CABUDARE EDO. LARA
Teoría Electromagnética
Integrantes:
Rafael Torres
19.726.035
Cabudare, Marzo 2015

2.  (P3-2)
Tres cargas puntuales de 2µc están situadas en el aire, en los
vértices de un triangulo equilátero de 10cm de lado. Determine
la magnitud y la dirección de la fuerza experimentada por cada
carga.
Solución

3. Datos:
a) q1=q2=q3=2µc =2𝑥10−6
𝐶
b) r12=r23=r31=10cm = 0.1m
c) K=9𝑥109 𝑁.𝑚2
𝐶2
*El de todas las fuerzas son iguales porque todas las cargas tienen
el mismo valor; entonces
|𝐹⃗| = |𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |𝐹23⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |𝐹31⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑘
𝑞2
𝑟2
(9𝑥109
𝑛. 𝑚2
𝑐2
)
(2𝑥10−6
)2
(0,1𝑚)2 = 3,6𝑛
*La direcciones de cada fuerza si varían, ya que dependen de la
ubicación de cada carga.
*Ya que el triangulo es equilátero todos los ángulos interiores son
de 60°, también el modulo de las fuerzas resultantes 𝐹1,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝐹3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se
pueden calcular usando la ley del coseno, ya que se conoce el valor
de dos lados que conforman el triangulo que forman, y el ángulo
que hay entre ellos, veamos:
|𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √|𝐹32|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 +|𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2 − 2|𝐹32⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|. |𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑐𝑜𝑠120°
|𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √(3,6𝑁)2 + (3,6)2−. (3,6𝑁)(3,6𝑁)𝑐𝑜𝑠120°
|𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =
18 √3𝑁
5
= 3,24𝑁; |𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |𝐹3⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 6,24𝑁
Ahora la posición de cada vector, el vector unitario de la fuerza
|𝐹32⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| es 𝑎𝑥⃗⃗⃗⃗⃗; asi 𝐹32⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3.6𝑁𝑎𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝐹23⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3.6(−𝑎𝑥)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

4. Para el vector 𝑭𝟏𝟐⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ será:
(F12x) ⃗= |𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos60= 3.6N cos60°= 9/5 N
𝐹12𝑦⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sen60° = 3.6N sen60° =
9 √3
5
N = 3.12N
𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
9
5
𝑁𝑎𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ − 3.12𝑁𝑎𝑦⃗⃗⃗⃗⃗
Se calcula la dirección de 𝐹2 =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
F2x⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = F32x⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + F12x⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3.6N +
9
5
N = 5.4N
F2y⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = F32y⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + F12y⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∅ − 3.12N = −3.12N
𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗(5.4𝑎𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ − 3.12𝑎𝑦⃗⃗⃗⃗⃗)𝑁
Para el vector:𝑭𝟐𝟑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝟑. 𝟔𝒂𝒙⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑵
Vector 𝐹13⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(3𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒)
𝐹13⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 = |𝐹13⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑐𝑜𝑠60° = 3.6𝑐𝑜𝑠60° =
9
5
𝑁
𝐹13𝑦⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐹13⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑠𝑒𝑛60° = 3.6𝑠𝑒𝑛60° = 3.12𝑁
𝐹13⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−
9
5
𝑎𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ − 3.12𝑎𝑦)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁
Se calcula la dirección de 𝑭𝟑⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 = 𝐹23⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 + 𝐹13⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 = −3.6𝑁 −
9
5
𝑁 = −5.4𝑁
𝐹3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 = 𝐹23⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 + 𝐹13⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 = ∅ − 3.12𝑁 = −3.12𝑁
𝐹3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 = (−5.4𝑎𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ − 3.12𝑎𝑦⃗⃗⃗⃗⃗)𝑁

5. Para 𝑭𝟑⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝟏
𝐹31⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 = |𝐹31⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑐𝑜𝑠60° = 3.6𝑐𝑜𝑠60° =
9
5
𝑁
𝐹31⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 = |𝐹31⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑠𝑒𝑛60° = 3.6𝑠𝑒𝑛60° = 3.12𝑁
𝐹31⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (3.12𝑎𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ +
9
5
𝑎𝑦⃗⃗⃗⃗⃗) 𝑁
Para 𝑭𝟐⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝟏
𝐹21⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 = |𝐹21⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑐𝑜𝑠60° = 3.6𝑐𝑜𝑠60° =
9
5
𝑁
𝐹21⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 = |𝐹21⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑠𝑒𝑛60° = 3.6𝑠𝑒𝑛60° = 3.12𝑁
𝐹21⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−3.12𝑎𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ +
9
5
𝑎𝑦)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁
Se calcula de dirección de 𝑭𝟏⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹1𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹31⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 + 𝐹21⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 = 3.12𝑁 − 3.12 = ∅
𝐹1𝑦⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹31⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 + 𝐹21⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 =
9
5
𝑁 +
9
5
𝑁 =
18
5
𝑁
𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
48
5
𝑎𝑦⃗⃗⃗⃗⃗𝑁

6.  (P3-8)
Una distribución esférica de carga 𝝆 = 𝝆˳ [𝟏 − (
𝑹 𝟐
𝒃 𝟐)]existe en la
región 0≤R≤b. Esta rodeada concéntricamente por una capa
conductora de radio interior Ri(>b) y radio exterior R˳.
determine 𝑬⃗⃗⃗⃗en todos los puntos.
Solución
Se identifica como condición dada que la fuente tiene simetría, por
lo tanto la superficie gaussiana, apropiada deben ser esféricas
concéntricas.

7. 1) superficie gaussiana hipotética S1 con R<b(0<R<b) dentro de la
esfera, sobre esta superficie 𝐸⃗⃗⃗⃗ es radial y tiene magnitud
constante:
𝐸⃗⃗ = 𝑎𝑟⃗⃗⃗⃗⃗𝐸𝑟; 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗
Aplicando la ley de gauss, el flujo total de salida es:
∮ 𝐸⃗⃗. 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑟 ∫ 𝑑𝑠
𝑠1𝑠1
= 𝐸𝑟4𝜋2
; ∫ 𝑑𝑠
𝑠1
𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑅
La carga tortal encerrada por la superficie gaussiana es:
𝑄 = ∫ 𝜌𝑣𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ 𝜌˳
𝑅
0
[1 − (
𝑅2
𝑏2
)]
𝜋
0
2𝜋
0𝑣
𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑∅
𝑄 = 𝜌˳ ∫ ∫ ∫ (R −
R 𝟑
b 𝟐
)
𝑹
𝟎
𝝅
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
𝑑𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑∅
𝑄 = 𝜌˳ ∫ ∫ [
𝑅2
2
−
R4
4𝑏2
]
𝜋
0
2𝜋
0
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑∅
0
𝑅
𝑄 = 𝜌˳ 𝑅 𝟐
4𝜋 (
1
2
−
𝑅2
4𝑏2
) (−𝑐𝑜𝑠𝜃)
0
𝜋
(2𝜋)
= 𝜌˳𝑅2
(
1
2
−
𝑅2
4𝑏2
) (−𝑐𝑜𝑠𝜋 + 𝑐𝑜𝑠0)(2𝜋)
𝑄 = 𝜌˳ 𝑅 𝟐
4𝜋 (
1
2
−
𝑅2
4𝑏2
) => 𝑄 = 4𝜋 𝑅 𝟐
𝜌˳ (
1
2
−
𝑅2
4𝑏2
) 0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑏

8. 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝐸𝑟4𝜋 𝑅 𝟐
= 4𝜋 𝑅 𝟐
𝜌˳
𝜺˳
(
1
2
−
𝑅2
4𝑏2
)
𝐸𝑟 =
𝜌˳
𝜺˳
(
1
2
−
𝑅2
4𝑏2
) 𝑎𝑟⃗⃗⃗⃗⃗0 ≤ 𝑅 ≤ 𝑏
2)Para una superficie gaussiana S2, b≤R≤Ri
∮ 𝐸.⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑟4𝜋𝑅2
𝑆2
La carga total encerrada es (toda la carga está encerrada por
Ri):
𝑄 = 𝜌˳ [1 −
𝑅2
𝑏1
]
4𝜋
3
𝑏3
Igualando nuevamente
𝐸𝑟4𝜋𝑅2
=
𝜌˳
𝜺˳
[1 −
𝑅2
𝑏2
]
4𝜋
3
𝑏3
𝐸𝑟 =
𝜌˳
𝜺˳𝑹 𝟐
[1 −
𝑅2
𝑏2
]
𝑏3
3
=> 𝐸𝑟 =
𝜌˳𝒃 𝟑
𝜺˳𝟑𝑹 𝟐
(1 −
𝑅2
22
) 𝑎𝑟⃗⃗⃗⃗⃗𝑏 ≤ 𝑅 ≤ 𝑅𝑖
3) Para una superficie gaussiana Se; Ri ≤ R ≤ R˳
∮ 𝐸.⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑟4𝜋𝑅2
𝑆3
La carga toral dentro de la capa conductora es de cero; ya que las
cargas se desplazan a la superficie, luego Q=∅ entonces
𝐸𝑟4𝜋𝑅2
= ∅ => Er=∅ 𝑠𝑖 𝑅𝑖 ≤ 𝑅 ≤ 𝑅˳

9. 4) Para una superficie gaussiana S4; R ≥ R˳
∮ 𝐸.⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑟4𝜋𝑅2
𝑆4
La carga total Q, es la que esta sobre la superficie de R˳, asi que:
∮
𝑄
𝜺˳𝐸
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝐸𝑟4𝜋𝑅2
=
𝑄
𝜺˳
=> 𝐸𝑟
𝑄
4𝜋𝜺˳R˳2
𝑎𝑟⃗⃗⃗⃗⃗; 𝑅 ≥ R˳