Este documento presenta un resumen de diferentes tipos de igualdades, ecuaciones y desigualdades matemáticas. Comienza explicando las propiedades de las igualdades y luego describe ecuaciones y desigualdades de primer y segundo grado, incluyendo cómo resolverlas. También cubre inecuaciones racionales e inecuaciones de primer grado con dos variables.

1. IGUALDADES
PROPIEDADES DE LA IGUALDADES
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
DESIGUALDADES
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
INECUACIONES RACIONALES
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

2. IGUALDADES
Una igualdad es una comparación matemática entre dos cantidades, separadas por el símbolo “=” una igualdad está compuesta por:
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Las igualdades cumplen con las siguientes propiedades.
Idéntica o reflexiva: Toda expresión es iguala a sí misma.
2푎=2푎 2+5= 2+5 푦=푦
Simétrica: El orden de los miembros se puede cambiar y la igualdad no se altera.
3+5=8 8=3+5
Transitiva: si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembros también son iguales.
3+5=8 (4)(2)=8
Entonces:
Miembro izquierdo
Miembro derecho
=
Símbolo de igualdad

3. (4)(2)=3+5
Uniforme: Si se aumenta o disminuye, si se multiplica o se divide la misma cantidad a ambos miembros se conserva la igualdad. 푎=푏
Se puede sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación 푎+푐=푏+푐
Se puede restar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación 푎−푐=푏−푐
Se puede multiplicar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación (푎)(푐)=(푏)(푐)
Se puede dividir la misma cantidad a ambos lados de la ecuación 푎 푐 = 푏 푐
Cancelativa: Se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la igualdad se conserva. 푎+푐=푏+푐 푎−푐=푏−푐 (푎)(푐)=(푏)(푐) 푎 푐 = 푏 푐
Estas propiedades son de mucha utilidad a la hora de resolver ecuaciones.

4. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Es una igualdad que involucra sumas y restas de “1” o más que tienen grado “1”, variables, y no involucra productos entre variables.
Ecuaciones lineales con una incógnita: La solución es única o puede que no tenga solución, para resolverlas se deben tener en cuenta las propiedades de las igualdades.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación lineal. 3푥+2푥−3=5+4푥+2

5. En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la variable y en el miembro derecho los términos independientes. 3푥+2푥−4푥=5+3+2
Se reducen términos semejantes. 푥=10
Ecuaciones con signos de agrupación: Cuando presentan signos de agrupación como ( ), [ ] y { }, se resuelven según el siguiente orden.
1. Los paréntesis ( ).
2. Los corchetes [ ].
3. Las llaves { }.
Se tiene en cuenta si el signo de agrupación está precedido por el signo menos (-), si es así, se alteran los signos de cada uno de los términos que están dentro de ese signo de agrupación.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación. 2푥−[푥+(2푥+3)]=푥−(80−3푥)
Se eliminan los paréntesis. 2푥−[푥+2푥+3]=푥−80+3푥
Se eliminan los corchetes. 2푥−푥−2푥−3=푥−80+3푥
En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la variable y en el miembro derecho los términos independientes. 2푥−푥−2푥−푥−3푥=−80+3
Se reducen términos semejantes.

6. −5푥=−77 5푥=77 푥= 775
Ecuaciones con productos incluidos: Se resuelven los productos al eliminar los signos de agrupación en el orden establecido.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación. 3(푥−2)−4(푥+5)=3(푥+3)−2
Se resuelven los productos. (3푥−6)−(4푥+20)=(3푥+9)−2
Se eliminan los paréntesis. 3푥−6−4푥−20=3푥+9−2
En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la variable y en el miembro derecho los términos independientes. 3푥−4푥−3푥=6+20+9−2
Se reducen los términos semejantes. −4푥=33 푥=− 334

7. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Es una ecuación que se puede expresar como un polinomio cuadrático de la forma: 푎푥2+푏푥+푐, 푎≠0
Estas ecuaciones pueden presentar máximo hasta dos soluciones o también no tener, para solucionarlas se debe utilizar los casos de factorización o la ecuación general cuadrática. 푥= −푏±√푏2−4푎푐 2푎
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación de segundo grado 2푥2+3푥−4=푥2−2푥−10

8. Se organizan todos los términos en el miembro izquierdo. 2푥2+3푥−4−푥2+2푥+10=0
Se reducen términos semejantes. 푥2+5푥+6=0
Se factoriza o se utiliza la ecuación cuadrática.
Por factorización
Por la formula cuadrática.
푥2+5푥+6=0
Es un trinomio de la forma
푥2+푏푥+푐=0
Factorizando queda:
(푥+3)(푥+2)=0
Se iguala cada factor a cero.
푥+3=0 푥=−3
푥+2=0 푥=−2
푥2+5푥+6=0
Se organizan los valores de
a, b y c.
푎=1 푏=5 푐=6
Se reemplaza en la ecuación cuadrática.
푥= −푏±√푏2−4푎푐 2푎 푥= −5±√52−4.(1).(6) 2.(1) 푥= −5±√25−242= −5±12
Tiene dos respuestas.
푥1= −5+12= −42=−2 푥2= −5−12= −62=−3

9. DESIGUALDADES
Es una relación entre dos cantidades para determinar el orden.
< (Menor que),≤(menor igual que), ≪ (mucho menor que).
> (Mayor que), ≥ (mayor igual que), ≫ (mucho mayor que).
Sus componentes son:
Miembro izquierdo < miembro derecho

10. Las desigualdades tienen las propiedades siendo a, b y c pertenecen R.
Transitiva:
푎>푏 y 푏>푐 entonces 푎>푐 .
푎<푏 y 푏<푐 entonces 푎<푐 .
푎>푏 y 푏=푐 entonces 푎>푐 .
푎<푏 y 푏=푐 entonces 푎<푐 .
Adición y sustracción:
푎<푏 Entonces 푎+푐<푏+푐 .
푎>푏 Entonces 푎+푐>푏+푐 .
Multiplicación y división:
푎<푏, 푐>0 Entonces 푎푐<푏푐 .
푎>푏, 푐>0 Entonces 푎푐>푏푐 .
푎<푏, 푐<0 Entonces 푎푐>푏푐 .
푎>푏, 푐<0 Entonces 푎푐<푏푐 .
Opuesto:
푎<푏 Entonces −푎>−푏 .
푎>푏, Entonces −푎<−푏 .

11. Recíproco:
푎>푏, Entonces 1 푎 < 1 푏 .
푎<푏, Entonces 1 푎 > 1 푏 .
Si tienen los signos diferentes es mayor el positivo.

12. INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita en alguna de los miembros o en ambos.
La solución de una inecuación son intervalos, los intervalos pueden clasificarse en:
Intervalo abierto: son aquellos que representa el conjunto de números sin tomar los extremos y se representan de la siguiente manera:
Forma de inecuación
Forma de intervalo
Forma gráfica.
푥<푎
(−∞,푎)
푥>푎
(푎,∞)
푎<푥<푏
(푎,푏)
Intervalo cerrado: son aquellos que representa el conjunto de números tomando los extremos y se representan de la siguiente manera:

13. Forma de inecuación
Forma de intervalo
Forma gráfica.
푎≤푥≤푏
[푎,푏]
Intervalo semi-abierto: son aquellos que representa el conjunto de números tomando solo uno de los extremos y se representan de la siguiente manera:
Forma de inecuación
Forma de intervalo
Forma gráfica.
푎≤푥<푏
[푎,푏)
푎<푥≤푏
(푎,푏]
푥≤푏
(−∞,푏]
푥≥푎
[푎,∞)
Para solucionar las inecuaciones de primer grado se tienen en cuenta las propiedades de las desigualdades y ecuaciones de primer grado.
Ejemplo: encontrar el conjunto solución de: 7푥−3<8푥+2−3푥
En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la variable y en el miembro derecho los términos independientes.

14. 7푥−8푥+3푥<2+3
Se simplifican términos semejantes. 2푥<5
Se despeja la variable. 푥< 52
El conjunto solución en forma de intervalo es: (−∞, 52)

15. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES
Una inecuación lineal con dos variables tiene infinitas soluciones y estas se representan en el plano cartesiano.
Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de 2푦−3<10푥+1
En el miembro izquierdo se colocan los términos que tengan la variable “y” y en el miembro derecho los que tengan la variable “x” y los términos independientes. 2푦≤10푥+1+3
Se simplifican términos semejantes. 2푦≤10푥+4
Se despeja la variable “y”. 푦≤ 10푥+42 푦≤ 10푥 2+ 42 푦≤5푥+2
Y se representa la función lineal en el plano cartesiano.

16. Las soluciones son todos los puntos coordenados que están por debajo de la función lineal.

17. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una inecuación de segundo grado es aquella que tiene forma de polinomio cuadrático.
푎푥2+푏푥+푐<0
푎푥2+푏푥+푐>0
푎푥2+푏푥+푐≤0
푎푥2+푏푥+푐≥0
Para resolverlos se utilizan los casos de factorización o ecuación cuadrática y el método del cementerio para identificar la variación del signo de la función en su dominio.
EJEMPLO: Hallar el conjunto solución de: 15푥2−8푥−12≤0
Se resuelve como una ecuación de segundo grado, por factorización o por la formula general de las cuadráticas.
(5푥−6)(3푥+2)≤0
Se hallan las raíces.
5푥−6=0 5푥=6 푥= 65
3푥+2=0 3푥=−2 푥=− 23
Se utiliza el método del cementerio que consiste en determinar cada factor donde es positivo o negativo y así determinar el comportamiento de la inecuación.

18. Se ubican los factores, se hacen dos rectas numéricas y se ubican las raíces teniendo en cuenta que como es “≤” va cerrado.
Se determina cómo se comporta cada factor cuando se toman valores a la derecha y la izquierda.
Se hace ley de los signos en forma vertical.

19. Y como la ecuación especifica que son los menores o iguales se toma el intervalo donde esta negativo.
[− 23,65]

20. INECUACIONES RACIONALES
Una inecuación racional es aquella que tiene la forma:
푃(푥) 푄(푥) <0,푄(푥)≠0
푃(푥) 푄(푥) >0,푄(푥)≠0
푃(푥) 푄(푥) ≤0,푄(푥)≠0
푃(푥) 푄(푥) ≥0,푄(푥)≠0
Para encontrar el conjunto solución se utilizan los casos de factorización y el método del cementerio para determinar el donde cada factor es positivo y negativo y así determinar el conjunto solución de la inecuación.
Ejemplo: encontrar el conjunto solución de:
푥2−1 푥2+5푥+6≤0
Se factorizan los polinomios si es posible.
(푥+1)(푥−1) (푥+3)(푥−2) ≤0

21. Se ubican los factores, se hacen dos rectas numéricas y se ubican las raíces teniendo en cuenta que las raíces de arriba van cerradas como es “≤” va cerrado y las de abajo siempre van abiertas por que son diferentes de “0”.

22. Se determina cómo se comporta cada factor cuando se toman valores a la derecha y la izquierda y se hace ley de los signos en forma vertical.
El conjunto solución como son “≤”.
(−3,−2)∪[−1,1]

23. BIBLIOGRAFÍA  Richard Stallman. Enciclopedia universal. 1999. disponible en: www.wikipedia.com  Juan Carlos Fernández Gordillo. Matemáticas. Valencia España. Edifesa, Disponible en: www.vitutor.com  Chad Hurley. Steve Chen. Jawed Karim. Reproductor de video online. 15 de febrero de 2005. Disponible en http://www.youtube.com
 Vladimir Moreno Gutiérrez. Mauricio Restrepo López. Delta 8. Ed Norma. 2008
 William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix Aleida Garavito Ramírez. Con lógica 8. Ed Educar. 2012.
 William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix Aleida Garavito Ramírez. Con lógica 9. Ed Educar. 2012.
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 Aurelio Baldor. Álgebra de Baldor. Publicaciones cultural Mexico.1997
SOFTWARE  Kvisoft Inc. FlipBook Maker Pro. 2014. Disponible en: www.kvisoft.com/flipbook-maker-pro  Diego Uscanga. aTube Catcher.2011. Disponible en: www.atubecatcher.es

24. VIDEOS
 Eduardo silva. Propiedades de la igualdad. 2014. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=lCwpqj0ROxI
 Julio Alberto Ríos Gallego. Ecuación de primer grado con una incógnita. 2010. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=LD2VeoX0J4A
 Julio Alberto Ríos Gallego. Ecuación de segundo grado por completación de cuadrados. 2010. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=F51pLctp69c
 Iván de Jesús Cruz Rojas . propiedades de las desigualdades. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=S2Z5JdL1vC4
 Danny Perich C. Inecuaciones de primer grado 01. 2010. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=7J- buWhv1d4
 Pedro Valverde Martínez. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=FmMnrL-MNvo
 Danny Perich C. Inecuaciones de segundo grado 03. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=hy0HBcN47-U
 Julio Alberto Ríos Gallego. Inecuación racional. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=dZjv7mgnD28