El documento explica el uso de ecuaciones de valor para resolver problemas financieros que involucran pagos futuros. Las ecuaciones de valor establecen la igualdad del valor presente de todos los pagos en una fecha focal común. El documento presenta tres ejemplos numéricos que ilustran cómo se usan las ecuaciones de valor para calcular pagos futuros desconocidos.

1. Ecuaciones de valor
Es muy frecuente el hecho de cambiar una o varias obligaciones por otra u
otras nuevas obligaciones. La solución de este tipo de problemas se plantea
en términos de una ecuación de valor que es una igualdad de valores ubicados
en una sola fecha denominada fecha focal. Su cálculo se hace exactamente
igual a lo que acabamos de plantear en el ejercicio anterior. En la fecha focal
debe plantearse entonces la igualdad entre las diferentes alternativas para que
la suma algebraica sea cero como se establece en el principio de equivalencia
financiera.
Ejemplo 1: Una persona se comprometió a pagar $1.000.000 dentro de seis
meses, $1.500.000 dentro de doce meses y $2.000.000 dentro de diez y ocho
meses. La persona manifiesta ciertas dificultades para pagar y solicita el
siguiente sistema de pagos: $1.200.000 hoy, $1.200.000 dentro de 10 meses y
el resto dentro de 20 meses. Cuánto deberá pagar en el mes 20? Suponga
que la tasa mensual es 1,5%.
Las ecuaciones de valor permiten calcular en cualquier instante del tiempo
( fecha focal) el valor de todas las cuotas de tal manera que la suma de las
cuotas positivas sea igual a la suma de las cuotas negativas. Planteemos como
fecha focal el instante cero:
1.000.000/1,0156
+ 1.500.000/1,01512
+ 2.000,000/1,01518
= 1.200.000 + 1.200.000/1,01510
+ X/1,01520
3.698.946,50 = 2.234.000,68 + X / 1,01520
1.500.000
0
6
0
1.200.00
0
12 18
1.200.000
1.000.000
2.000.00
0
X
10 20

2. X= 1.973.069,61
Realmente cualquier fecha se puede considerar como fecha focal y el resultado
es el mismo. Consideremos ahora el mes 12 como fecha focal. La ecuación de
valor es la siguiente:
1.000.000*1,0156
+ 1.500.000 + 2.000.000/1,0156
= 1.200.000 x 1,01512
+
1.200.000*1,0152
+ X/1,0158
4.422.527,65 = 2.671.011,81 + X/1,0158
X= 1.973.069,61
Como podemos observar el resultado es exactamente el mismo a pesar de
haber cambiado la fecha focal para plantear la ecuación de valor.
Ejemplo 2: Una persona debe pagar $1.000.000 dentro de tres meses,
$1.500.000 dentro de diez meses y $2.000.000 dentro de un año. La persona
desea efectuar un solo pago de $4.500.000 para cancelar las tres
obligaciones. Si la tasa de interés es del 18% anual nominal liquidada
mensualmente, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago.
La tasa de periódica es: i = 0,18 / 12 = 0,015 = 1,5%
Miremos el diagrama del flujo de caja para este caso:
Tomemos como fecha focal el instante cero:
n
3
1.000.000
10
1.500.000
4.500.000
12
2.000.000
0

3. 1.000.000/1,0153
+1.500.000/1,01510
+2' 000.000/1,01512
= 4'
500,000 / 1,015n
3.921.592,69 = 4.500.000 / 1,015n
1,015n
= 4.500.000 / 3.921.592,69
1,015n
= 1,14749296
log(1,015)n
= 1,14749296
n x log 1,015 = log(1,14749296)
n = 9,240587619
Dentro de 9,24 meses se dará la equivalencia financiera de los pagos. Si
reducimos este tiempo a días considerando que un mes tiene 30 días, 0,24 x
30 = 7,2 días, es decir, el pago de los $4.500,000 debe hacerse dentro de
nueve meses y siete días.
Ejemplo 3: Planteemos por último una ecuación de naturaleza muy diferente.
Una persona debe pagar $1.500.000 dentro de 4 meses, $1.500.000 dentro de
6 meses y $2.000.000 dentro de un año. La persona le plantea al acreeedor la
posibilidad de efectuar un solo pago de $4.800.000 en el mes cinco. Si se
aceptan estas condiciones, que tasa de interés rendiría la deuda?
La ecuación de valor que se plantea con el instante cero como fecha focal es
la siguiente:
1.500.000/( 1 + i )4
+ 1.500.000/( 1 + i )6
+ 2.000.000/( 1+i )12
= 4.800.000/( 1 +
i )5
6
1.500.00
2.000.000
4 12
5
1.500.00
0
4.800.000
0

4. Si igualamos a cero y ordenamos los exponentes, la ecuación queda :
2.000.000/( 1+i )12
+ 1.500.000/( 1 + i )6
– 4.800.000/( 1 + i )5
+ 1.500.000/( 1 +
i )4
= 0
Para resolver esta ecuación polinómica de octavo grado, debemos utilizar un
método iterativo de prueba y error. Para cada valor supuesto de la tasa
periódica i calculamos el valor del polinomio. Vale la pena anotar que los
valores supuestos para i están dentro de un rango acorde a los valores
utilizados en el sistema financiero. Si los valores iniciales de i son muy
distantes de los buscados, el número iteraciones necesario puede ser muy alto.
Ya que buscamos que el valor del polinomio sea cero, debemos encontrar
inicialmente dos valores de i que hagan que el polinomio tenga signos
contrarios.
i P( i )
0,00% 200.000
0,50% 128.180
1,00% 62.402
1,50% 2.215
2,00% -52.796
2,50% -103.018
3,00% -148.805
3,50% -190.490
4,00% -228.378
4,50% -262.752
5,00% -293.874
Vamos inicialmente a elaborar un gráfico del polinomio con el fin de establecer
los valores iniciales de i para el método de prueba y error. Para el gráfico,
partimos de valores de i entre 0 y 0,05 con incrementos de 0,005.

5. GRÁFICO DEL POLINOMIO DE LA ECUACIÓN DE
VALOR
-400.000
-300.000
-200.000
-100.000
0
100.000
200.000
300.000
0,0% 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0%
i
P(i)
Observe los signos diferentes del polinomio entre los valores 0,01 y 0,02. Ya
que buscamos que el valor del polinomio sea cero, el valor buscado de i está
entre estos dos valores.
La siguiente tabla nos muestra el procedimiento de prueba y error que ya
mencionamos. El tercer valor que le damos a i es 0,015. El valor obtenido
para P( i ) es positivo, lo que indica que el valor buscado está entre 0,015 y
0,02. Con este criterio vamos cerrando el intervalo en el cual buscamos la
solución hasta llegar al nivel de aproximación que se quiera.
i P ( i )
0,0200000 -52.796,3237
0,0100000 62.401,5196
0,0150000 2.214,9161
0,0160000 -9.188,5988
0,0152000 -82,2378
0,0151900 32,4238
0,0151930 -1,9769
0,0151928 0,3165
Podemos aceptar como una aproximación muy razonable una tasa de
0,0151928 = 1,51928% mensual ya que el valor del polinomio es
supremamente pequeño. Sin embargo, si desea mejorar el nivel de exactitud
podría continuarse con el procedimiento.

6. GRÁFICO DEL POLINOMIO DE LA ECUACIÓN DE
VALOR
-400.000
-300.000
-200.000
-100.000
0
100.000
200.000
300.000
0,0% 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0%
i
P(i)
Observe los signos diferentes del polinomio entre los valores 0,01 y 0,02. Ya
que buscamos que el valor del polinomio sea cero, el valor buscado de i está
entre estos dos valores.
La siguiente tabla nos muestra el procedimiento de prueba y error que ya
mencionamos. El tercer valor que le damos a i es 0,015. El valor obtenido
para P( i ) es positivo, lo que indica que el valor buscado está entre 0,015 y
0,02. Con este criterio vamos cerrando el intervalo en el cual buscamos la
solución hasta llegar al nivel de aproximación que se quiera.
i P ( i )
0,0200000 -52.796,3237
0,0100000 62.401,5196
0,0150000 2.214,9161
0,0160000 -9.188,5988
0,0152000 -82,2378
0,0151900 32,4238
0,0151930 -1,9769
0,0151928 0,3165
Podemos aceptar como una aproximación muy razonable una tasa de
0,0151928 = 1,51928% mensual ya que el valor del polinomio es
supremamente pequeño. Sin embargo, si desea mejorar el nivel de exactitud
podría continuarse con el procedimiento.