Este documento presenta 13 ejercicios de ingeniería económica relacionados con anualidades ordinarias, vencidas y anticipadas, y períodos de gracia. Los ejercicios incluyen cálculos de tasas de interés, valores presentes, valores futuros, número de pagos, y valores de contado para una variedad de escenarios financieros como préstamos, ahorros e inversiones. Las soluciones proporcionan los pasos detallados para resolver cada problema.

1. FACULTAD: DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
CURSO: INGENIERÍA ECONÓMICA
PROFESOR: ING. JORGE CÁCERES TRIGOSO
PRACTICA DIRIGIDA N° 7
ANUALIDADES ORDINARIAS, VENCIDAS Y ANTICIPADAS, Y
DE PERIODO DE GRACIA
NOMBRE: JUDITH BRISAYDA URETA LOZA
SECCIÓN: ID8N1
1. Una deuda de $800.000 va a ser cancelada en pagos trimestrales iguales de $78.000 cada
una. Suponiendo una tasa del 30% nominal trimestral, se pide:
a. ¿Cuántos pagos de $78.000 deben hacerse?
b. ¿Con qué pago final hecho 3 meses después del último pago de $78.000 cancelará la
deuda?
Solución:
A=78000
F = 800000
v
i= 30%
a) n=?
800000×0.3
n log 1+
1+i -1 78000
Fv = A n= =5.35
i log 1+0.3
b) Para n=5
5
1+0.3 -1
Fv = 78000 705361.8
0.3
Rpta.: En 5 periodos se pagarán 705’361.8 soles por lo que la diferencia a pagar dentro de
los tres meses siguientes será de (800’000 - 705’361.8) = 94’638.2 soles.
2. Un empleado deposita en una entidad bancaria al final de cada mes, cuando recibe el pago
de su salario, la suma de $250.000. Al cabo de 3 años tiene un saldo disponible de
$13’500.000. ¿Qué tasa de interés le reconocieron?
Solución:

2. A=250000
F = 13500000
v
n=36
i=?
36
1+i -1
13500000= 250000
i
36
54i= 1+i -1
36
1+i -54i=1
Si i1 =0.02 ----- A=0.96
i ------------- B=1
i 2 =0.025---- C=1.08
B-A
i=i1 + i 2 -i1
C-A
1-0.96
i=0.02+ 0.025-0.02
1.08-0.96
i=0.0217=2.17%
Rpta.: La tasa de interés fue del 2.17% mensual.
3. Adriana inicia una cuenta de ahorros en un banco con $300.000 y al mes comienza a hacer
depósitos de $100.000 cada mes vencido. ¿Qué tiempo debe esperar para tener
acumulados $1’460.670,43, si le pagan un interés del 2% mensual?
Solución:
Inicial=300000
A=100000
i= 2%mensual
n
VF=VA 1+i
n n
VF1 =300000 1+0.02 =300000 1.02
n
1+i -1
VF2 = A
i
n
1+0.02 -1 n
VF2 =100000 =5000000 1.02 -1
0.02
Dinero esperado=1460670.43=VF1 +VF2
n n
1460670.43=300000 1.02 +5000000 1.02 -1
n n
1460670.43=300000 1.02 +5000000 1.02 -5000000
n
6460670.43=5300000 1.02
1.218994421=1.02 n
n
log 1.218994421 =log 1.02
log 1.218994421 =nlog 1.02

3. log 1.218994421
n= =10.00
log 1.02
Rpta.: Después de 10 meses tendrá acumulado la cantidad de $1’460.670,43
4. Se debe reunir la suma de $8’500.000 para dentro de dos años, con tal fin se decide hacer
depósitos iguales por mes vencido en una institución que paga el 2.5% mensual. Halle el
valor de los depósitos.
Solución:
FV =8500000
n=2años=24 meses
i= 2.5%mensual
A=?
i 0.025
A= Fv =8500000 =262758.9731
1+i n -1 1+i 24 -1
Rpta.: el valor de los depósitos debe ser de $262’758.97
5. Durante un año se hacen depósitos por mes vencido de $12.000 cada uno, en una
institución que paga un interés del 3% mensual. ¿Qué suma total acumulada se tendrá en la
cuenta al final de ese tiempo?
Solución:
A=12000
n=12meses
i= 3%mensual
n 12
1+i -1 1+0.03 -1
Fv = A =12000 =170'304.35
i 0.03
Rpta.: se tendrá acumulado $170’304.45
6. Una obligación de $2’000.000 se va a cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de
$358.441,75. Si se cobra un interés del 3% mensual de financiación, calcule el número de
pagos necesarios para cancelar la obligación.
Solución:
Pa =2'000'000
A=358'441.75
i= 3%mensual
n=?
1- 1+i -n
Pa = 1+i A
i
i×Pa
= 1- 1+i -n
1+i A

4. i×P
1+i
-n
=1- a
1+i A
i×P
ln 1+i
-n
=ln 1- a
1+i A
i×P
-nln 1+i =ln 1- a
1+i A
i×P
-ln 1- a
1+i A
n=
ln 1+i
0.03×2'000'000
-ln 1-
1+0.03 358'441.75
n=
ln 1+0.03
n=5.999 6
Rpta.: el número de pagos necesarios para cancelar la obligación es de 6.
7. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1’000.000 y 36 cuotas mensuales iguales
de $200.000. Si la agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos, calcule el valor de contado
del vehículo.
Solución:
Inicial=1'000'000
A=200000
i= 2.5%mensual
n=36
-n -36
1- 1+i 1- 1+0.025
Pv = A =200'000 =4'711'250.214
i 0.025
valorvehículo =4'711'250.214+1'000'000=5'711'250.214
8. Solucione el ejercicio anterior, para el caso de anualidad anticipada.
Solución:
Inicial=1'000'000
A=200000
i= 2.5%mensual
n=36
-n 36
1- 1+i 1- 1+0.025
Pv = 1+i A = 1+0.025 200'000 =4'829'031.469
i 0.025
valorvehículo =4'829'031.469+1'000'000=5'829'031.469

5. 9. Una pequeña mina en explotación tiene una producción anual de 600 000 dólares y se
calcula que se agotará en 5 años. ¿Cuál es el valor actual de la producción si el rendimiento
del dinero es de 11% anual?
Solución:
A=600000
i= 11%
n=5
-n -5
1- 1+i 1- 1+0.11
Pv = A =600000 =2217538.211
i 0.11
Rpta: el valor actual de la producción de la mina en los 5 sños de explotación es de
2’217’538.211
10. Calcule el monto y el valor actual de las siguientes anualidades simples, ciertas, vencidas e
inmediatas:
a. $20 000 semestrales durante 4 años y medio a 10% capitalizable semestralmente.
b. $40 000 anuales durante 6 años a una tasa anual de 14%.
c. $500 mensuales durante 7 años y 5 meses, a una tasa anual de 8% capitalizable
mensualmente.
Solución:
a. $20 000 semestrales durante 4 años y medio a 10% capitalizable semestralmente.
A=20000
10%
i= =5%
2
n=4.5=5 semestres
Con pagos vencidos:
-n -5
1- 1+i 1- 1+0.05
Pv = A =20000 =86589.53
i 0.05
n 5
1+i -1 1+0.05 -1
Fv = A =20000 =110512.625
i 0.05
Con pagos adelantados:
-n -5
1- 1+i 1- 1+0.05
Pa = 1+i A = 1+0.05 20000 =90919.01
i 0.05
n 5
1+i -1 1+0.05 -1
Fa = 1+i A = 1+0.05 20000 =116038.26
i 0.05
b. $40 000 anuales durante 6 años a una tasa anual de 14%.
A=40000
i= 14%
n=6
Con pagos vencidos:

6. -n -6
1- 1+i 1- 1+0.14
Pv = A =40000 =155546.7
i 0.14
n 6
1+i -1 1+0.14 -1
Fv = A =40000 =341420.75
i 0.14
Con pagos adelantados:
-n -6
1- 1+i 1- 1+0.14
Pa = 1+i A = 1+0.14 40000 =177323.24
i 0.14
n 6
1+i -1 1+0.14 -1
Fa = 1+i A = 1+0.14 40000 =389219.65
i 0.14
c. $500 mensuales durante 7 años y 5 meses, a una tasa anual de 8% capitalizable
mensualmente.
A=500
8%
i= =0.67%
12
n=89 meses
Con pagos vencidos:
-n -89
1- 1+i 1- 1+0.0067
Pv = A =500 =33437.12
i 0.0067
n 89
1+i -1 1+0.0067 -1
Fv = A =500 =60580.80
i 0.0067
Con pagos adelantados:
-n -5
1- 1+i 1- 1+0.05
Pa = 1+i A = 1+0.05 20000 =90919.01
i 0.05
n 5
1+i -1 1+0.05 -1
Fa = 1+i A = 1+0.05 20000 =116038.26
i 0.05
11. El señor Martínez deposita $150 000 cada fin de año en una cuenta de ahorros del Banco
de Crédito que abona 4% nominal anual de interés. ¿Cuánto habrá ahorrado al hacer el
cuarto depósito?
Solución:
A=150000
i= 4%
n=4
n 4
1+i -1 1+0.04 -1
Fv = A =150000 =636'969.6
i 0.04
Rpta.: Habrá ahorrado 636’969.6 dólares.
12. Calcule el valor actual de un terreno, con un interés de 15% con capitalización mensual, si
se vendió con las siguientes condiciones:

7. a. $40 000 de enganche
b. mensualidades vencidas por $ 2 250 durante 4.25 años
c. un pago final de $25 000 un mes después de la última mensualidad
Solución:
a)40000
b)i= 0.15/12=0.0125
A=2250
n=4.25 años =51 meses
-n -51
1- 1+i 1- 1+0.0125
Pv = A =2250 =84473.06
i 0.0125
c)i= 0.0125
VF=25000
n=52 meses
-n -52
VP=VF 1+i =25000 1+0.0125 =13103.83
Valoractual =40000+84473.06+13103.83=137576.893
Rpta.: El valor actual del terreno es de 137’576.893 dólares.
13. En la adquisición de un coche nuevo que cuesta $145 000 al licenciado Alcatraz le
reciben su automóvil usado en $55 000. ¿Le convendría pagar el resto en 36 mensualidades
vencidas de $3 500 si lo más que se desea pagar de interés es 2% mensual?
Solución:
Valor del coche=145000
Inicial=55000
A=3500
n=36
i=0.02
-n -36
1- 1+i 1- 1+0.02
Pv = A =3500 =89210.95
i 0.02
TOTAL=55000+89210.95=144210.95
Rpta.: Si le convendría pagarlo con 36 cuotas, solo pagaría 144’210.95 dólares y se
ahorraría la diferencia 789.05 dólares
14. La empresa EFM Representaciones SRL contrata una deuda de $100 000 con un banco. Si
éste Banco carga a este tipo de préstamos 22% nominal anual convertible mensualmente,
¿cuánto tendría que pagar mensualmente la empresa para saldar su deuda dentro de 15
meses?
Solución:
Pv =100000
0.22
i= =0.0183
12
n=15

8. A=?
-n
1- 1+i Pvi 100000 0.0183
Pv =A A= -n
= -15
=7683.91
i 1- 1+i 1- 1+0.0183
Rpta.: Tendría que pagar 7’683.91 dólares.
15. El señor Quispe Flores, adquirió un Departamento en condominio y acordó pagar, aparte
de cierta cantidad mensual, anualidades de $95 000. Si acaba de realizar el trato hoy
mismo, de manera que debe liquidar la primera anualidad exactamente dentro de un año, y
decide hacer depósitos trimestrales en un fondo de inversión que paga 1% trimestral, ¿de
cuánto tendrían que ser sus depósitos para poder acumular a fin de año la cantidad que
necesita?
Solución:
Fv =95000
A=?
i= 1%
n=4
n
1+i -1 Fv i 95000 0.01
Fv = A A= n
= 4
=23396.70
i 1+i -1 1+0.01 -1
Rpta.: Tendrían que ser de 23’396.70 dólares.
16. Para saldar un préstamo de $785 000 contratado hoy, el señor Juan Castillo acuerda hacer
5 pagos semestrales iguales y vencidos y, finalmente, un pago único de $300 000, 2 años
después de realizado el último pago semestral. ¿De cuánto deberá ser cada uno de los pagos
iguales, si el interés es de 25%capitalizable semestralmente?
Solución:
VF=300000
0.25
i= =0.125
2
n1 =9
-n1 -9
VP=VF 1+i =300000 1+0.125 =103931.8248
VPT =300000-103931.8248=681068.1752
-n 2
1- 1+i Pv i 681068.1752 0.125
Pv =A A= -n 2
= -5
=191280.75
i 1- 1+i 1- 1+0.125
Rpta.: Tendría que pagar 191’280.75 dólares en cada semestre.
17. ¿Natalia olivera, desea saber cuál es la renta semestral adelantada equivalente a una renta
mensual adelantada de $660, si el interés es de 22.52% anual convertible mensualmente?
Solución:

9. A=660 (anticipados
0.2252
i= =0.01877
12
n=6
-n -6
1- 1+i 1- 1+0.01877
Pa = 1+i A = 1+0.01877 660 =3782.02
i 0.01877
Rpta.: la renta semestral adelantada equivalente es de $3 782.05
18. El Ingeniero Francisco Castillo desea ahorrar $4 000 mensuales durante 5 años. Si sus
ahorros ganan 5.4% convertible mensualmente, ¿cuánto habrá acumulado al mes siguiente
del último depósito?
Solución:
A=4000
0.054
i= =0.0045
12
n=60 meses
n 60
1+i -1 1+0.0045 -1
Fa = 1+i A = 1+0.0045 4000 =276055.59
i 0.0045
Rpta.: La cantidad acumulada es de 276055.59 dólares.
19. La empresa JC Constructores debe cubrir el 23 de octubre un pagaré que emitió. Para
cumplir con su obligación, se depositaron $8 716.52 los días 23 de los meses de enero a
septiembre en una cuenta que paga 0.6% mensual de interés. Si con lo acumulado en la
cuenta se liquidó el pagaré, ¿cuál era el valor de éste en su fecha de vencimiento?
Solución:
A=8716.52
i= 0.006
n=9 meses
n 9
1+i -1 1+0.006 -1
Fv = A =8716.52 =80840.19
i 0.006
Rpta.: El valor del pagaré en su fecha de vencimiento fue de 80840.19 dólares.
20. La Srta. Vanesa Tello, piensa adquirir un automóvil a crédito, para lo cual se deben
pagar 48 abonos mensuales de $4 900 comenzando en el momento de la entrega del
vehículo. Si los intereses que se cobran son a razón de 15% convertible cada mes, ¿cuál es
el valor al contado de los pagos?
Solución:

10. n=48
A=4900
0.15
i= =0.0125
12
-n -48
1- 1+i 1- 1+0.0125
Pv = 1+i A 1+0.0125 4900 178265.06
i 0.0125
Rpta.: El valor al contado de los pagos es de 178265.06 dólares.
21. ¿Qué conviene más para quien cobra:
a. Recibir 14 pagos mensuales vencidos de $1 026.44, o
b. Recibir 14 pagos mensuales anticipados de $1 000 si el interés es de 1.5%
Solución:
a)Recibir 14 pagos mensuales vencidos de $1 026.44
A=1026.44
i= 0.015
n=14 meses
n 14
1+i -1 1+0.015 -1
Fv = A = 1026.44 =15858.89
i 0.015
b)Recibir 14 pagos mensuales anticipados de $1 000 si el interés es de 1.5%
A=1000
i= 0.015
n=14 meses
n 14
1+i -1 1+0.015 -1
Fa = 1+i A = 1+0.015 1000 =15682.14
i 0.015
Rpta: Conviene más la alternativa a, ya que ofrece una mayor cantidad acumulada.
22. Fiorella Hernández, una joven profesional de la U Wiener, desea reunir $300 000 en 5
años para dedicarse a viajar un tiempo. Si puede depositar cierta cantidad a 13.2%
capitalizable al mes, y bajo el supuesto de que en todo ese tiempo no cambia la tasa de
interés, ¿cuánto deberá depositar cada mes con el objeto de reunir la cantidad que desea
exactamente antes de realizar el último depósito?
Solución:
Fa 300000
0.132
i= 0.011
12
n=59 meses
A=?
n
1+i -1 Fa i 300000 0.011
Fa = 1+i A A n 59
3599.35
i 1+i 1+i -1 1+0.011 1+0.011 -1
Rpta.: se deberá depositar cada mes 3599.35 dólares.

11. 23. Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran
que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima que los
yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2.400.000. suponiendo que la
tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos
de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse.
Solución:
A=2400000
i= 0.08
n=15 meses
n 15
1+i -1 1+0.08 -1
Fv = A =2400000 65165073.43
i 0.08
Rpta: VF = 6.516.503,43 dólares