1. Se calcula el valor presente y futuro de una obligación pagadera en 20 cuotas trimestrales de $500.000, con una tasa de interés del 36% anual. El valor presente es de $4.975.057,39 y el valor futuro es de $27.882.265,20. 2. Se analizan diferentes ejemplos de cálculo de valor presente, futuro y cuotas para obligaciones pagaderas a plazos, considerando tasas de interés anuales y períodos de pago diferentes. 3. Se explican conceptos como anualidad simple

1. 1. Una persona adquiere una obligación que debe pagar en 5 años, con pagos
trimestrales de $500.000, a una tasa del 36% CT. ¿Cuál sería el valor presente y el
valor futuro?
Datos e incógnitas:
ܸܲ =?
ܸ‫ܨ‬ =?
‫ܣ‬ = $500.000
݊ = 5 ∗ 4 = 20
݅ =
0,36
4
= 0,09 = 9% ‫ܶܧ‬
Formula:
ܸܲ = ‫ܣ‬
1 − (1 + ݅)−݊
݅
ܸ‫ܨ‬ = ‫ܣ‬
(1 + ݅)݊
−1
݅

2. Desarrollo:
ܸܲ = $500.000
1 − (1 + 0,09)−20
0,09
= $4.564.272,83
ܸ‫ܨ‬ = $500.000
(1 + 0,09)20
−1
0,09
= $25.580.059,82

3. Desarrollo:
ܸܲ = $500.000
1 − 1 + 0,09 −20
0,09
(1 + 0,09) = $4.975.057,39
ܸ‫ܨ‬ = $500.000
1 + 0,09 20
− 1
0,09
(1 + ݅) = $27.882.265,20
2. Si en el ejemplo anterior las cuotas se cancelan al inicio del periodo.
Formulas:
ܸܲ = ‫ܣ‬
1 − 1 + ݅ −݊
݅
(1 + ݅)
ܸ‫ܨ‬ = ‫ܣ‬
(1 + ݅)݊
−1
݅
(1 + ݅)

4. 3. Para comprar un automóvil que vale $60.000.000; se exige una cuota inicial del 40%, y
el resto se cancela en 36 cuotas mensuales. ¿Cuál sería el valor de las cuotas, si el interés
es del 3,5% EM?
Datos e incógnitas:
ܸܲ = $60.000.000 ∗ 60% = $36.000.000
‫ܣ‬ =?
݊ = 36
݅ = 3,5% ‫ܯܧ‬
Formulas:
ܸܲ = ‫ܣ‬
1 − (1 + ݅)−݊
݅
‫ܣ‬ =
ܸܲ
1 − (1 + ݅)−݊
݅

5. Desarrollo:
‫ܣ‬ =
$36.000.000
1 − (1 + 0,035)ିଷ଺
0,035
= $$1.774.229,86

6. 4. Si en el ejemplo anterior, se dese hacer pagos mensuales de $2.000.000, cuantos
pagos deben hacerse:
Formulas:
ܸܲ = ‫ܣ‬
1 − (1 + ݅)−݊
݅
‫ܥ‬
‫ܣ‬
=
1 − (1 + ݅)−݊
݅
(1 + ݅)−݊
= 1 −
‫ܥ‬
‫ܣ‬
∗ ݅
−݊ ∗ ln(1 + ݅) = ݈݊ 1 −
ܸܲ
‫ܣ‬
∗ ݅
݊ =
−݈݊ 1 −
ܸܲ
‫ܣ‬
∗ ݅
ln 1 + ݅

7. Desarrollo
݊ =
−݈݊ 1 −
$36.000.000
$2.000.000
∗ 0,035
ln 1 + 0,035
=
−ln(0,37)
ln(1,025)
= 28,90

8. 5. Calcular la tasa a la cual una deuda de $800.000, se cancela con 12 pagos mensuales
iguales de $110.000.
Datos e incógnitas:
ܸܲ = $800.000
݊ = 12
݅ =? ‫ܯܧ‬
La solución al problema consiste en encontrar una tasa i, a la cual la serie de 12 pagos
de $110.000, es equivalente a un valor presente de $800.000.
Formula
ܸܲ = ‫ܣ‬
1 − (1 + ݅)−݊
݅
$800.000 = $110.000
1 − (1 + ݅)−12
݅
$800.000 − $110.000
1 − (1 + ݅)−12
݅
= 0

9. La tasa de interés solicitada, se encontrará por el método de tanteo, para lo cual, se le
dará valores arbitrarios a i, buscando valores cercanos, uno positivo y otro negativo, y se
procederá a una interpolación lineal, que permita encontrar la tasa de interés, que se
está solicitando.
La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos
los valores en los extremos.
Teniendo en cuenta que las variaciones en una relación lineal son constantes entonces
podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones:
‫ݔ‬2 − ‫ݔ‬1
‫ݔ‬3 − ‫ݔ‬1
=
‫ݕ‬2
− ‫ݕ‬1
‫ݕ‬3
− ‫ݕ‬1
o lo que es equivalente
‫ݔ‬2 = ‫ݔ‬1 +
(‫ݕ‬2
−‫ݕ‬1
) ∗ (‫ݔ‬3 − ‫ݔ‬1)
‫ݕ‬3
− ‫ݕ‬1

10. X1 8% Y1 -28.968.58
X2 ? Y2 0
X3 9% Y3 12.302.22
De forma arbitraria aplicamos las tasas 8% y 9% , y encontramos el valor de la
ecuación:
$800.000 − $110.000
1 − (1 + 0,08)−12
0,08
= −$28.968,58
$800.000 − $110.000
1 − (1 + 0,09)−12
0,09
= $12.320,22
‫ݔ‬2 = 0,08 +
(0 − (−28.968,58) ∗ (0,09 − 0,08)
12.302.22 − (−28.968,58)
= 0,0869 = 8,70%

11. En los ejemplos analizados anteriormente, se observa que la serie de pagos inicia en
el periodo uno, lo que indica que son anualidades inmediatas, el siguiente ejemplo la
serie de pagos inicia después de un periodo de gracia de un año, lo que indica que es
una anualidad diferida.
6. Un crédito de fomento, es otorgado por la suma de $8.000.000, para ser cancelado
en 20 pagos trimestrales, con un periodo de gracia de un año. ¿Calcular el valor de las
cuotas con una tasa de interés del 36% CT.?
Datos e incógnitas:
ܸܲ = $8.000.000
݊ = 20
݅ =
0,36
4
= 0,09 ‫ܶܧ‬
Desde el momento en que se contrae la obligación, el valor del crédito comienza a
generar interés, por tanto es preciso encontrar el valor futuro del crédito durante un
año.
VF=$8.000.000*(1+0,09)^4=$11.292.652,88

12. Conociendo el valor del monto del crédito a un año, calculamos el valor de los 20 pagos,
los cuales inicia una vez cumplido el año, es decir al final del cuarto trimestre, lo que
indica que la primera cuota se pagaría al inicio del primer periodo de la anualidad, por
tanto es anticipada.
Formula:
ܸܲ = ‫ܣ‬
1 − (1 + ݅)−݊
݅
∗ (1 + ݅)
‫ܣ‬ =
ܸܲ
1 − 1 + ݅ −݊
݅
∗ 1 + ݅
Desarrollo
‫ܣ‬ =
$11.292.652,88
1 − 1 + 0,09 −20
0,09
∗ 1 + 0,09
= $1.134.926,90

13. En las anualidades vistas hasta el momento, el periodo de interés coincide con los
pedidos de pago, lo que se denomina anualidad simple, en el ejemplo siguiente vemos
que los pagos son trimestrales y la tasa es capitalizable mensualmente, por tanto no
coinciden.
Hay dos formas como podemos solucionar el ejercicio:
• Calcular el valor de pagos mensuales equivalentes a los pagos trimestrales, para
hacerlos coincidentes con el periodo de interés.
• Calcular una tasa trimestral equivalente a la tasa dada
Con cualquier de las dos formas, se haría que coincidan los periodos de interés y de
pago.

14. ¿Cuál sería el valor futuro de 30 pagos trimestrales de 300.000, suponiendo una tasa
del 24% CM.?
Al solucionar el ejercicio bajo la primera forma, convertiríamos los pagos trimestrales
de $300.000 en pagos mensuales equivalente, así:
Datos e incógnitas:
ܸ‫ܨ‬ = $300.000
‫ܣ‬ =?
݊ = 3
݅ =
0,24
12
= 0,02 = 2% ‫ܯܧ‬
‫ܣ‬ =
$300.000
1 + 0,02 3 − 1
0,02
= $98.026,40
Desarrollo

15. Tenemos que una serie de pagos mensuales de $98.026,40 es equivalente a una serie de
pagos trimestrales de $ 300.000, ya hemos encontrado que coincidan los periodos de
interés y de pago, se ha reducido una anualidad general a una anualidad simple,
procedemos entonces a calcular el valor futuro pedido:
Calculamos el valor futuro a partir de los siguientes datos e incógnitas:
ܸ‫ܨ‬ =?
‫ܣ‬ = $98.026,40
݊ = 30 ‫ݏ݈݁ܽݎݐݏ݁݉݅ݎݐ ݏ݋݃݃ܽ݌‬ = 90 ‫ݏ݈݁ܽݑݏ݊݁݉ ݏ݋݃ܽ݌‬
݅ =
0,24
12
= 0,02 = 2% ‫ܯܧ‬
ܸ‫ܨ‬ = $98.026,40
(1 + 0,02)90
−1
0,02
= $24.227.877,69

16. La segunda forma implica encontrar la tasa trimestral efectiva equivalente al 24%
CM.
Usaremos el procedimiento de Nominal a Efectiva:
1 + ݅1
݉1 = 1 +
݆
݉2
݉2
݅1 = 1 +
0,24
12
12
4
− 1 = 0,0612 = 6,12% ET
ܸ‫ܨ‬ = $300.000
(1 + 0,0612)30
−1
0,0612
= $24.227.877,69
Calculamos el valor futuro a partir de la tasa del 6,12% trimestral: