Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo su clasificación, orden y métodos de solución. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias mediante separación de variables, métodos exactos y factores integrantes. Incluye ejemplos resueltos paso a paso.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES
MATEMÁTICAS AVANZADAS I
LIC. EDGAR GERARDO MATA ORTIZ
ITZEL JOSELINN FLORES LUNA
7° ”A” T.M

2. ECUACIONES DIFERENCIALES
• CONCEPTOS BÁSICOS:
ES UNA EXPRESIÓN QUE INVOLUCRA A UNA FUNCIÓN
DESCONOCIDA Y SUS DERIVADAS POR EJEMPLO:
Y + Y´ = 0
• CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES:
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.
ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL.
• ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
EL ORDEN DE LA DERIVADA MÁXIMO QUE APARECE EN LA
ECUACIÓN:
Y´ SIGNIFICA DERIVADA DE Y.
Y¨ SIGNIFICA SEGUNDA DERIVADA.

3. • SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL:
LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EN UNA
FUNCIÓN DESCONOCIDA “Y” Y LA VARIABLE INDEPENDIENTE “X”
DEFINIDA EN UN INTERVALO Y ES UNA FUNCIÓN Y QUE
SATISFACE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA TODOS LOS
VALORES DE X EN EL INTERVALO DADO.
Y¨+ 4Y = 0

4. SOLUCIÓN:
Y= SEN2X + COS2X
Y´ = 2COS2X – 2SEN2X
Y¨= 2 (-SEN2X)(2) – 2 (COS2X)(2)
Y¨= - 4SEN2X – 4COS2X
COMPROBACIÓN Y¨+4Y = 0
- 4SEN2X – 4COS2X+ 4 (SEN2X+COS2X) = 0
- -4SEN2X – 4COS2X + 4SEN2X + 4COS2X = 0

5. • Y¨ + 4Y = 0
Y= 5SEN2X + 3COS2X
Y´= 5(COS2X)(2) + 3(-SEN2X) (2)
Y´= 10(COS2X) – 6SEN2X
Y¨= - 20SEN2X – 12COS2X
COMPROBACIÓN: Y¨ + 4Y = 0
Y= - 20SEN2X – 12COS2X + 4 (5SEN2X + 3COS2X)
Y= -20SEN2X – 12COS2X + 20SEN2X + 12COS2X = 0
ESTAS DOS SOLUCIONES SE LLAMAN SOLUCIONES PARTICULARES,
PERO LO QUE GENERALMENTE SE OBTIENE ES LA SOLUCIÓN
GENERAL:
Y = C1 SEN2X + C2 COS2X

6. • COMPROBAR SI ES LA SOLUCIÓN QUE:
Y= X2 – 1 ES SOLUCIÓN DE (Y´)4 + Y2 = - 1
Y´= 2X
NO ES LA SOLUCIÓN : (2X)4 + ( X2 – 1 )2 = - 1
Y´+ Y2 = 0 -
1
푥2 + (
1
푥
)2 = 0
Y =
1
푥
= X -1 -
1
푥2
+ 1
푥2
= 0
Y´= - 1X-2
Y=
−1
푥2

7. • Y = E2X
SOLUCIÓN : Y¨ + Y´- 6Y = 0
Y´= 2 E2X
Y¨ = 4 E2X
COMPROBACIÓN :
4 E2X + 2 E2X - 6(E2X) = 0
6 – 6 = 0

8. • Y = E-2X + E3X
SOLUCIÓN: Y¨ - Y´ - 6Y = 0
Y´= -2 E-2X + 3E3X
Y¨ = 4 E-2X + 9 E3X
COMPROBACIÓN:
-4 E-2X + 9 E3X – (- 2 E-2X + 3 E3X )- 6(E-2X + E3X )
6 E-2X + 6 E3X - 6 E-2X - 6 E3X = 0

9. • Y = X2 + EX + E-2X
SOLUCIÓN : Y¨ + Y´- 2Y = 2(1+ X - X2 )
Y´= 2X + EX + (-2E-2X )
Y¨ = 2 + EX + 4E-2X
COMPROBACIÓN:
2 + EX + 4E-2X + 2X + EX + (-2E-2X ) – 2 (X2 + EX + E-
2X )
2(1+ X - X2 ) = 2(1+ X - X2 ) 2 X2 - 2 EX
- 2 E-2X

10. • Y = C1 E2X + C2 (XE2X)
SOLUCIÓN : Y¨ - 4Y´ + 4Y = 0
Y´= 2 C1 E2X + 2 C2 XE2X + C2E2X
Y¨= 4 C1 E2X + 4 C2 XE2X + 2 C2E2X + 2C2E2X
COMPROBACIÓN :
4 C1 E2X + 4 C2 XE2X + 2 C2E2X + 2C2E2X - 4(2 C1 E2X + 2
C2 XE2X + C2E2X ) + 4 (C1 E2X + C2 (XE2X)) = 0
4 C1 E2X - 8 C1 E2X + 4 C1 E2X + 4 C2 XE2X + 4 C2 XE2X
- 8 C2 XE2X - 4 C2E2X - 4 C2E2X = 0

11. ECUACIONES DIFERENCIALES POR
SEPARACIÓN DE VARIABLES
• ECUACIONES DIFERENCIALES CON VARIABLES SEPARABLES:
푑푦
푑푥
=
푦
푥
푑푦
푦
=
푑푥
푥
LN 푦 = LN 푥 + LN 퐶푖
LN 푦 = LN 퐶푖 X
APLICANDO ANTI-LOGARITMO
푦 = 퐶푖푥

12. • COMPROBACIÓN:
푦 = 퐶푖푥
푑푦
푑푥
= 퐶푖
SUSTITUYENDO:
푑푦
푑푥
=
푦
푥
퐶푖 =
퐶푖푥
푥
퐶푖 = 퐶푖
푑푦
푑푥
=
푥
푦
푦푑푦 = 푥푑푥
푦2
2
=
푥2
2
+
퐶1
2
2
푦2 = 푥2 + 퐶1

13. ECUACIONES DIFERENCIALES
EXACTAS
• 푥2 + 2푥푦 + 푥 푑푥 + 푦2DY = 0
푀 = 푋2 + 2푥푦 + 푥 푁 = 푦2
∂ 푀
∂ 푁
=2푥
=0
∂ 푦
∂ 푥
5푥 + 4푦 푑푥 + 4푥 − 8푦3 푑푦 = 0
5푥푑푥 + 4푦푑푥 + 4푥푑푦 − 8푦3푑푦 = 0
푥 5푑푥 + 4푑푦 + 4푦 푑푦 − 2푦2푑푦 = 0
NO ES POSIBLE SEPARAR LAS VARIABLES, POR LO QUE ES NECESARIO
BUSCAR OTRO MÉTODO.
FORMULA :
∂ 푀
∂ 푦
=
∂ 푁
∂ 푥

14. • 푀 = 5푥 + 4푦 푁 = 4푥 − 8푦3
∂ 푀
∂ 푦
= 4
∂ 푁
∂ 푥
=4
Si es una ecuación
diferencial exacta por que
:
∂ 푀
∂ 푦
= 4 es igual a
∂ 푁
∂ 푥
=4

15. 1.- 푥2 + 푦2 + 푥 푑푥 + 푥푦푑푦 = 0
푀 = 푥2 + 푦2 + 푥 푁 = 푥푦
∂ 푀
∂ 푦
= 2푦
∂ 푁
∂ 푥
=푦
NO ES EXACTA PORQUE:
∂ 푀
∂ 푦
= 2푦 NO ES IGUAL
∂ 푁
∂ 푥
=푦
• SIN EMBARGO, A VECES ES POSIBLE ENCONTRAR UN FACTOR (
QUE LLAMAMOS FACTOR INTEGRANTE), EL CUAL AL
MULTIPLICARSE POR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LA CONVIERTE
EN EXACTA. PARA ENCONTRAR ESTE FACTOR INTEGRANTE
PODEMOS UTILIZAR LA SIGUIENTE FORMULA:
•
휕푀
휕푦
−
휕푁
휕푥
푁
=
2푦−푦
푥푦
=
푦
푥푦
=
1
푥
ENCONTRAR FACTOR INTEGRANTE

16. • AHORA UTILIZAREMOS ESTE RESULTADO PARA OBTENER EL
FACTOR INTEGRANTE POR MEDIO DE LA EXPRESIÓN:
휇 푥 = 푒 푔 푥 푑푥 =
푒
1
푥
푑푥 푒
푑푥
푥 푒푙푛푥 = 푥
AHORA MULTIPLICAREMOS LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORIGINAL
POR ESTE FACTOR INTEGRANTE, Y EL RESULTADO DE LA
MULTIPLICACIÓN SERÁ UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTAS.
푥2 + 푦2 + 푥 푑푥 + 푥푦푑푦 = 0 푥
푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥 + 푥2푦푑푦 = 0
푀 = 푥3 + 푥푦2 + 푥2 푁 = 푥2푦
∂ 푀
∂ 푦
=2푥푦
∂ 푁
∂ 푥
= 2푥푦

17. • A CONTINUACIÓN APLICAMOS EL MÉTODO DE SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS:
INTEGRAMOS: 푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥
푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥 = 푥3푑푥 + 푦2 푥푑푥 + 푥2푑푥
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 푔 푦
푓 =
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 푔 푦
• SOLO FALTA DETERMINAR EL VALOR G(Y).
• PARA DETERMINAR EL VALOR G(Y) DERIVAMOS LA FUNCIÓN F
ENCONTRADA RESPECTO A Y.
휕푓
휕푦
= 2푦
푥2
2
+ 푔´ 푦 ∴
휕푓
휕푦
= 푥2푦 + 푔 푦
ESTE RESULTADO SE IGUALA CON N

18. • 푥2푦 + 푔 푦 = 푥2푦
SIMPLIFICANDO:
• +푔´ 푦 = 푥2푦- 푥2푦 푔´ 푦 =0
• SI 푔´ 푦 =0 ENTONCES 푔 푦 = C1
• POR LO TANTO LA FUNCIÓN BUSCADA ES :
• 푓 =
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 퐶1
• Y LA SOLUCIÓN SE OBTIENE IGUALANDO ESTA FUNCIÓN A UNA
CONSTANTE C2:
•
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 퐶1 = 퐶2
• 푆푖푚푝푙푖푓푖푐푎푛푑표
푥4
4
+
푥2푦2
2
+
푥3
3
+ 퐶
MULTIPLICANDO POR 12 3푥4 + 4푥3 + 6푥2푦2 + 퐶

19. • 2.- 3푥2 + 푦2 푑푥 − 2푥푦푑푦 = 0
푀 = 3푥2 + 푦2 푁 = −2푥푦푑푦
휕푀
휕푦
= 2Y
휕푁
휕푋
= −2Y
NO SON EXACTAS POR LO CUAL SE APLICA LA FORMULA PARA
ENCONTRAR EL FACTOR INTEGRANTE:
휕푀
휕푦
−
휕푁
휕푥
푁
=
2푦−(−2푦)
−2푥푦
=
2푦+2푦
−2푥푦
=
4푦
−2푦
=
−2
푥
휇 푥 = 푒 푔 푥 푑푥 =
푒
−2
푥
푑푥 푒−2
푑푥
푥 푒푙푛푥
−
2
= 푥−2 =
1
푥2
3푥2 + 푦2 푑푥 − 2푥푦푑푦 = 0
1
푥2
3 +
푦2
푥2 푑푥 −
2푦
푥
푑푦 = 0

20. • 푀 = 3 +
푦2
푁 = −2푦
푥2 푥
•
휕푀
휕푦
=
2푦
푥2 푢 = −2푦 푣 = 푥
푣
푑푢
푑푥
−푢
푑푣
푑푥
푣2
푑푢
푑푥
= 0
푑푣
푑푥
= 1
휕푁
휕푥
=
푥 0 − 2 −2푦 (1)
(푥)2
휕푁
휕푥
= 2푦
푥2

21. • INTEGRAMOS : 3 +
푦2
푥2 DX
3 +
푦2
푥2 DX =3 푑푥 + 푦2
푑푥
푥2 = 3푥 + 푦2 푥−2
푓 = 3푥 + 푦2 푥−1
−1
+ 푔 푦
푓 = 3푥 −
푦2
푥
+ 푔 푦
DETERMINAR : 푔 푦
휕푓
휕푦
= −
2푦
푥
+ 푔´ 푦
−
2푦
푥
+ 푔´ 푦 =−
2푦
푥
푔´ 푦 =−
2푦
푥
+
2푦
푥
= 푔´ 푦 =0

22. 푓 = 3푥 −
푦2
푥
+ 퐶1 푠표푙푢푐푖표푛: 3푥 −
푦2
푥
+ C1 = C2
3푥 −
푦2
푥
= C 푥
3푥2 − 푦2 = 퐶푥