Este documento describe el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales. Explica que si una ecuación diferencial puede escribirse como g(x)dx = h(y)dy, entonces se pueden integrar las variables por separado para obtener la solución general en la forma G(x) = H(y) + C. Como ejemplo, resuelve la ecuación dy/dx = x(y+1) - 2(y+1) usando este método y obtiene la solución ln(y+1) = 1/2(x-2)^2 + c.

1. Ecuaciones Diferencialesvariables separables José Antonio Poo Ramos No. 10310333 Salón. B212

2. Variables separadas. Si tenemos la E. D. g(x) = h(y)y, formalmente, podemos poner g(x) dx = h(y) dy; si suponemos que G es una primitiva de g y H una de h, tendremos G′ (x) dx = H′ (y) dy e, integrando, G(x) = H(y) + C, que es la solución general de la ecuación.

3. EJEMPLO: y 0= xy + x − 2y − 2; y(0) = 2 dy/dx= x(y + 1) − 2(y + 1) = (y + 1)(x − 2) En este paso se pasa los diferencial “dy con las y” y el diferencial “dx con las x” dy/(y + 1)= (x − 2) dx ⇒

4. En este paso comienza la integración por variables separables. ∫dy/(y + 1)=∫(x − 2) dx ⇒ ln(y + 1) =1/2(x − 2)ˆ2+ c; c constante Considerando la condicioninicial y(0) = 2 ln 3 =1/2(−2)ˆ2+ c ⇒ c = ln 3 − 2 Por lo que: ln(y + 1) =1/2(x − 2)ˆ2+ ln 3 − 2