Las ecuaciones diferenciales con variables separables pueden resolverse mediante integración. Si la ecuación diferencial puede escribirse como dy/dx = g(x)h(y), donde g(x) es una función de x y h(y) es una función de y, entonces es separable. Para resolverla, se integra cada lado por separado y se igualan las integrales, dando la solución general como H(y)=G(x)+c.

1. Ecuaciones diferenciales. Variables separables ERICK JOSUE RANGEL ALBA. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. Dennis G. Zill

2. Considere la ecuación diferencial de primer orden dy/dx=f(x,y). Cuando f no depende de la variable y, es decir, f(x,y)=g(x), la ecuación diferencial: dy/dx=g(x) se puede resolver por integración. Solución por integración.

3. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos lados de la ecuación se obtiene y= ʃ g(x) dx= G(x)+c, donde g es una anti derivada de g(x). Ejemplo: Si dy/dx = 1 + e(2x), entonces su solución es y = ʃ (1+ e(2x) ) dx o y = x + 1/2 e(2x) + c

4. La ecuación 1 así como su método de solución, no son mas que un caso especial en el que f, en la forma normal dy/dx=f(x,y) se puede factorizar como el producto de una función en x por una función de y. Definición:

5. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy/dx= g(x) h(y) Se dice que es separable o que tiene variables separables. Ecuación separable:

6. Las ecuaciones: dy/dx= y(2x) e(3x+4y) y dy/dx= y + sen x Son respectivamente, separable y no separable. En la primera ecuación podemos factorizar f(x,y)=y(2) x e(3x+4y) como: Por ejemplo.

7. f(x,y)=y(2)x e(3x+4) = (x e(3x) ) ( y(2) e(4y) ) g(x) h(y) Pero en la segunda ecuación no hay forma a y + sen x como un producto de una función de x por una función de y.

8. Observe que al dividir entre la función h(y), podemos escribir una función separable dy/dx=g(x)h(y) como: p(y) dy/dx=g(x) Donde por conveniencia p(y) representa a 1/h(y). Podemos ver inmediatamente que la ecuación 2 se reduce a la ecuación 1 cuando h(y)=1.

9. Ahora si y=ɸ(x) representa una solución de la ecuación 2, se tiene que p(ɸ(x))ɸ’(x)=g(x), por lo tanto: ʃ p(ɸ(x)) ɸ’(x) dx = ʃ g(x) dx Pero dy =ɸ’(x) dx , por lo que la ecuación 3 es la misma que: ʃ p(y) dy = ʃ g(x) o H(y) = G(x) + c, Donde H(y) y G(x) son anti derivadas de p(y)=1/h(y) y g(x), respectivamente.