Este documento presenta un resumen de conceptos y ejercicios relacionados con el cálculo integral. Incluye ejemplos de integrales inmediatas, sumas de Riemann, el segundo teorema fundamental del cálculo y derivadas de funciones integrales definidas. El autor desarrolla varios ejercicios numéricos y gráficos para ilustrar estas ideas fundamentales del cálculo integral.

1. EL CONCEPTO DE INTEGRAL
PRESENTADO POR:
JULIET PAOLA CORREA SANCHEZ
CODIGO: 1052402207
CURSO
100411_151
PRESENTADO A:
TUTOR
FREY RODRIGUEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS
MAYO 2019

2. Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades
matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta
derivando el resultado.
Ejercicio d
∫(
3
√𝑥25
−
2
√ 𝑥
5
) 𝑑𝑥 =
∫
𝑑𝑥
𝑥2/5
3
-∫
𝑑𝑥
𝑥1/5
2
∫ 𝑥−2/5
𝑑𝑥 − ∫ 𝑥−1/5
𝑑𝑥
23
=
3.5𝑥
3
5
3
−
2.5𝑥
4
5
4
+ 𝑐
= 5𝑥
3
5 −
5𝑥
4
5
2
+ 𝑐
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann.
i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del
área bajo la curva de la función 𝑓( 𝑥) = 10 − 𝑥2
en el intervalo [
1
4
,
9
4
], en
donde use una partición de n=6.
Siga los siguientes pasos:
- Graficar la función 𝑓( 𝑥) en Geogebra.
- Tome un pantallazo de la gráfica.
- Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6)
rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la
curva 𝑓( 𝑥).

3. ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área
bajo la curva de la función 𝑓( 𝑥) = 10 − 𝑥2
en el intervalo [
1
4
,
9
4
], en donde use
una partición de n=12
Siga los siguientes pasos:
- Graficar la función 𝑓( 𝑥) en Geogebra.
- Tome un pantallazo de la gráfica.
- Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12)
rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la
curva 𝑓( 𝑥).

4. iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con
respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6
y n=12.
∫ 10 − 𝑥2
𝑑𝑥
9/4
1/4
∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
=
9
4
−
1
4
𝑛
=
2
𝑛
𝑓( 𝑥) = 10 − 𝑥2
𝑓(
1
4
+
2
𝑛
𝑘) = 10 −(
1
4
+
2
𝑛
𝑘)2
= 10 − (
1
16
+
𝑘𝑛
𝑛
+
4𝑘2
𝑛
) = 10 −
1
16
−
𝑘
𝑛
−
4𝑥2
𝑛2
=
159
16
−
𝑘
𝑛
=
4𝑥2
𝑛2
lim
𝑛→∞
[[
159
16
−
𝑘
𝑛
−
4𝑘2
𝑛2
] ∗ [
2
𝑛
]]
∑ [
318
16𝑛
−
2𝑘
𝑛2
−
8𝑘2
𝑛3
]
𝑛
𝑘=1
318
16𝑛
∑(1) −
2
𝑛2
∑ 𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
−
8
𝑛3
∑ 𝑥2
𝑛
𝑘=1
318
16𝑛
∗ (1)( 𝑛) −
2
𝑛2
[
𝑛( 𝑛 + 1)
2
] −
8
𝑛3
[
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
]
318
16
−
2
𝑛2
[
𝑛2
+ 𝑛
2
] −
8
𝑛3
[
2𝑛3
+ 3𝑛2
+ 𝑛
6
]

5. 318
16
−
2
2
[
𝑛2
+ 𝑛
𝑛2
] −
8
6
[
2𝑛3
+ 3𝑛2
+ 𝑛
𝑛3
]
318
16
- [
𝑛2
𝑛2 +
𝑛
𝑛2 ] −
4
3
[
2𝑛3
𝑛3 +
3𝑛2
𝑛3 +
𝑛
𝑛3 ]
318
16
− [1 +
1
𝑛
] −
4
3
[2 +
3
𝑛
+
1
𝑛2
]
318
16
− 1 −
1
𝑛
−
8
3
−
4
𝑛
−
4
3𝑛2
lim
𝑛→∝
[
318
16
− 1 −
1
𝑛
−
8
3
−
4.1
𝑛
−
4
3
∗
1
𝑛2
]
lim
𝑛→∝
[
318
16
− lim
𝑛→∝
1 − lim
𝑛→∝
1
𝑛
− lim
𝑛→∝
8
3
− 4lim
𝑛→∝
1
𝑛
−
4
3
lim
𝑛→∝
1
𝑛
]
318
16
− 1 −
8
3
954 − 48 − 128
48
=
954 − 176
48
=
778
48
=
389
24
Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando 𝐹′( 𝑥) de las siguientes funciones
𝐹( 𝑥) = ∫ 𝑒 𝑡2
𝑑𝑡
𝑥
1/𝑥
𝑒 𝑡
∫ −𝑒 𝑥
𝑥
1
𝑥
− 𝑒
1
𝑥
Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del
cálculo.
Ejercicio d.
Calcular la siguiente integral definida:
∫
1
1+𝑥2 𝑑𝑥
1
0
=

6. 𝑡𝑎𝑛−1
∫
1
0
=
𝜋
𝑦
− 0
=
𝜋
𝑦
Siga los siguientes pasos:
- Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra.
- Tome un pantallazo de la gráfica.
- Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la
cual acaba de hallar el área con la integral definida.