El documento explica el método de la regla del trapecio para segmentos múltiples para aproximar integrales numéricamente. Divide el intervalo de integración en segmentos iguales y aplica la fórmula del trapecio en cada segmento, sumando las áreas parciales para obtener el área total. Cuanto mayor es el número de segmentos, mayor es la precisión de la aproximación. El error total se calcula sumando los errores de cada segmento.

1. Regla del Trapecio para
Segmentos Múltiples
CLASE 12
16-JULIO-2014

2. Integración Numérica en Excel
 Una manera de mejorar la exactitud de la regla del trapecio es la dividir el
intervalo de integración [𝑎, 𝑏] en un conjunto de segmentos (figura 1) y aplicar el
método a cada uno de ellos. Se suman las áreas de los segmentos individuales y
se obtiene la integral en el intervalo completo. A las ecuaciones resultantes se les
conoce como formulas de integración de segmentos múltiples o formulas de
integración compuestas.

3. Integración Numérica en Excel
Figura 1. Esquema de la regla del trapecio con segmentos múltiples
← ℎ →← ℎ →

4. Integración Numérica en Excel
 Si hay 𝑛 + 1 puntos igualmente espaciados, habrá 𝑛 segmentos de igual anchura
(ℎ)
La integral total se puede representar como la suma de las integrales parciales:
h =
𝑏 − 𝑎
𝑛
… … … … … … … (1)
𝐼 =
𝑥0
𝑥1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑥1
𝑥2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ⋯ +
𝑥 𝑛−1
𝑥 𝑛
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 … … … … . (2)

5. Integración Numérica en Excel
 Sustituyendo la regla del trapecio para cada una de las integrales:
Mediante la agrupación de términos se obtiene la fórmula general del método del
trapecio:
I = ℎ
𝑓(𝑥1) − 𝑓 𝑥0
2
+ ℎ
𝑓(𝑥2) − 𝑓 𝑥1
2
+ ⋯ ℎ
𝑓(𝑥 𝑛) − 𝑓 𝑥 𝑛−1
2
… … … … … … (3)
𝐼 =
ℎ
2
𝑓 𝑥 𝑜 + 2
𝑖=1
𝑛−1
𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓 𝑥 𝑛 … … … … … … … … … … (4)

6. Integración Numérica en Excel
 El error global del método del trapecio se obtiene al sumar los errores individuales
de cada segmento
En donde 𝑓"(𝜀𝑖) es la segunda derivada de la función evaluada en el punto 𝑒 𝑥
localizada dentro del segmento 𝑖, que se puede estimar con la expresión:
𝐸𝑡 =
− 𝑏 − 𝑎 3
12𝑛3
𝑖=1
𝑛−1
𝑓" 𝜀𝑖 … … … … … … (5)
𝑓" =
𝑖=1
𝑛
𝑓"(𝜀𝑖)
𝑛
… … … … … … … … … … (6)

7. Integración Numérica en Excel
 Por tanto 𝑓"(𝜀𝑖) = 𝑛𝑓" y la ecuación se reescribe como:
𝐸𝑡 =
− 𝑏 − 𝑎 3
12𝑛2
𝑓" … … … … … … (7)

8. Código alternativo en Matlab.
 Ejemplo
 Evalué la siguiente integral −3
5
1 − 𝑥 − 4𝑥3
+ 3𝑥5
𝑑𝑥
a. Analíticamente
b. Con la regla del trapecio de segmentos múltiples, utilizar solo 6 trapecios.
c. Con el uso de la herramienta Excel

9. Código alternativo en Matlab.
 Solución
a. En forma analística
𝐼 =
−3
5
1 − 𝑥 − 4𝑥3
+ 3𝑥5
𝑑𝑥 = 𝑥 −
𝑥2
2
− 𝑥4
+
1
2
𝑥6
−3
5
𝐼 = 5 −
25
2
− 625 +
1
2
15625 − −3 −
9
2
− 81 +
1
2
729 = 7180 − 276 = 6904

10. Código alternativo en Matlab.
 Solución
b. Con la formula para segmentos múltiples. Para 𝑛 = 6
𝐼 =
𝑏 − 𝑎
2𝑛
𝑓 𝑥0 + 2
𝑖=1
5
𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓 𝑥6 … … … … . (8)

11. Código alternativo en Matlab.
 Solución
Donde ℎ =
5−(−3)
6
= 1.3333, y las correspondientes funciones evaluadas en los puntos
de 𝑥0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥6:
𝑓 𝑥0 = 𝑓 −3 = −617
𝑓 𝑥1 = 𝑓 −1.6666 = −17.3977
𝑓 𝑥2 = 𝑓 −0,3334 = 1.4693
𝑓 𝑥3 = 𝑓 0.9999 = −1.0002
𝑓 𝑥4 = 𝑓 2.3332 = 155.2952
𝑓 𝑥5 = 𝑓 3.6666 = 1788.0073
𝑓 𝑥6 = 𝑓 5 = 8871

12. Código alternativo en Matlab.
 Solución
Al sustituir los valores anteriores en (8) se tiene:
𝐼 = 5 − (3)
−617 + 2 −17.3977 + 1.4693 − 1.002 + 155.2952 + 1788.0073 + 8871
2(6)
𝐼 = 8071.1652, con un error porcentual real:
𝐸 𝑉 =
6904 − 8071.1652
6904
100 = 16.9%

13. Código alternativo en Matlab.
 Solución
c. Con el usos de la herramienta de Excel se obtienen los siguientes resultados

14. Código alternativo en Matlab.