El documento describe la ecuación de Schrödinger y su aplicación para modelar diferentes situaciones físicas como el escalón de potencial, la caja de potencial y el pozo de potencial. Explica que la solución de la ecuación de Schrödinger para estos sistemas muestra que la energía de las partículas está cuantizada, es decir, puede tomar solo valores discretos. También analiza el efecto túnel cuántico y cómo la probabilidad de encontrar una partícula disminuye exponencialmente en regiones clásicamente prohibidas

1. El escalón de potencial (E>E0)1
Ms. Ing. Jairo E. Márquez D.
La ecuación de Schrödinger fue desarrollada por el físico austríaco Erwin Schrödinger en
1925. Describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Es de
importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa para las
partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica
clásica. Las partículas microscópicas incluyen a las partículas elementales, tales como
electrones, así como sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos.
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una región unidimensional cuya
energía potencial viene descrita por la función Ep(x) es
1
Fuente. El escalón de potencial (E>E0). http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/escalon1/escalon1.htm
[On Line] [consultado el 17 de mayo de 2012]

2. Donde E es la energía total de la partícula de masa m
La solución de la ecuación de Schrödinger Y(x) se denomina función de onda.
La probabilidad de encontrar la partícula descrita por dicha función de onda en el
intervalo x, x+dx es |Ψ(x)|2
·dx. Naturalmente,
En otras palabras, la probabilidad por unidad de longitud (o densidad de probabilidad) de
encontrar la partícula en x es |Ψ(x)|2
.
Si tenemos N partículas idénticas, N·|Ψ(x)|2
, nos dará el número de partículas que hay en la
unidad de longitud. Si todas las partículas se mueven con la misma velocidad v, el flujo de
partículas será N·v|Ψ(x)|2
. Se denomina densidad de corriente de probabilidad a la
cantidad J=v|Ψ(x)|2
que es el producto de la velocidad de las partículas por la densidad de
probabilidad.
Ver simulación http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/escalon1/escalon1.htm
Partícula libre
El caso más simple es el de una partícula
libre. La energía potencial Ep(x)=0.
La ecuación de Schrödinger se escribe
Ecuación diferencial análoga a la de
un movimiento armónico simple, su
solución la expresaremos de otra forma
equivalente

3. Escalón de potencial
El escalón de potencial consiste en una región x<0 en la que la energía potencial es nula,
seguida de una región x>0 en la que la energía potencial es constante y de valor E0.
La función Ep(x) presenta por tanto, una discontinuidad en x=0.
Se pueden presentar dos casos
 Que la energía de la partícula sea mayor que la del escalón E>E0.
 Que la energía de la partícula sea menor que la del escalón E<E0.
En este apartado trataremos el primer caso, dejando el segundo caso, algo más complejo,
para el siguiente.
Planteamos la ecuación de Schrödinger en cada una de las regiones y hallamos su solución
de forma semejante al de la partícula libre. En la siguiente tabla se resumen los resultados.
Región x<0, Ep(x)=0 Región x>0, Ep(x)=E0
En el punto x=0, la función de onda Y debe ser continua y también lo debe ser su derivada
primera.
Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que nos permiten
expresar los coeficientes B y C en función del coeficiente A.

4. Veamos ahora el significado físico de los distintos términos de la solución de la ecuación
de Schrödinger. En la primera región x<0 tenemos partículas incidentes y reflejadas, pero
en la segunda región x>0 solamente tenemos partículas transmitidas. La función de onda
tiene dos términos en la primera región y un solo término en la segunda.
Partículas Función de onda Probabilidad Flujo
incidentes
reflejadas
transmitidas
Se denomina coeficiente de reflexión a la proporción de partículas incidentes que se
reflejan
Se denomina coeficiente de transmisión a la proporción de partículas incidentes que se
transmiten.
Como puede fácilmente comprobarse R+T=1
Podemos ver aquí, una analogía con el movimiento ondulatorio, una onda incidente al
atravesar dos medios de distinta naturaleza (densidad, índice de refracción, etc.,
dependiendo del tipo de onda) da origen a una onda reflejada que se propaga en el primer
medio, y a una onda transmitida que se propaga en el segundo medio.
El escalón de potencial (E<E0)
Cuando se resuelve la ecuación de Schrödinger para el escalón de potencial se presentan
situaciones que contradicen el comportamiento clásico de las partículas.
En esta sección veremos el comportamiento de una partícula cuya energía es menor que la
del escalón de potencial. Este ejemplo nos servirá para introducir el efecto túnel, una de las
consecuencias más sorprendentes de la Mecánica Cuántica, que explica la emisión de

5. partículas alfa por núcleos radioactivos, el funcionamiento de ciertos transistores, y otros
muchos fenómenos.
Desde el punto de vista clásico,
la partícula tiene una energía
cinética igual a la energía total E,
a la izquierda del origen, ya que
la energía potencial es cero. Sin
embargo, tiene una energía
cinética negativa a la derecha del
origen ya que la energía
potencial es mayor que la energía
total. De acuerdo con la
interpretación de la Mecánica
Clásica, la partícula no podrá
moverse en la región x>0, la
partícula rebotará en el
origen x=0.
La solución de la ecuación de Schrödinger en ambas regiones, indica que toda partícula
incidente se refleja, pero existe una probabilidad no nula de encontrar partículas a la
derecha de origen, en la región clásicamente prohibida, y esta probabilidad disminuye
rápidamente a medida que nos adentramos en la citada región. En concreto, la probabilidad
disminuye exponencialmente con la distancia x al origen.
El fenómeno análogo ondulatorio es la reflexión total, más allá de la superficie de
separación entre los dos medios se puede detectar movimiento ondulatorio. La onda
transmitida se amortigua exponencialmente en la dirección perpendicular a la superficie de
separación. Sin embargo, el flujo medio de energía en la dirección normal es nulo, lo que
quiere decir que toda la intensidad de la onda incidente se refleja.
Descripción
Se plantea la ecuación de Schrödinger en cada una de las regiones y hallamos su solución.
Comparando con la obtenida para el escalón de potencial con E>E0, nos daremos cuenta
que al ser E<E0, k'2
es negativo y por tanto, k' es imaginario, llamaremos a=ik'.

6. La solución de la ecuación de Schrödinger para ambas regiones x<0 y x>0 se escribirá.
Región x<0, Ep(x)=0 Región x>0, Ep(x)=E0
En el punto x=0, la función de onda Y debe ser continua y también lo debe ser su derivada
primera.
Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que nos permiten
expresar los coeficientes B y C en función del coeficiente A.
Veamos ahora el significado físico de los distintos términos de la solución de la ecuación
de Schrödinger. En la primera región x<0, tenemos partículas incidentes y reflejadas, pero
en la segunda región x>0 solamente tenemos la exponencial negativa, ya que la positiva
tiende a infinito cuando cuando x se hace grande. La función de onda tiene por tanto, dos
términos en la primera región y un solo término en la segunda.
Partículas Función de onda Probabilidad
incidentes
reflejadas
transmitidas
El hecho de que Yt(x) sea distinto de cero significa que hay alguna probabilidad de
encontrar la partícula a la derecha del origen. Dicha probabilidad disminuye rápidamente

7. cuando x crece. En general, la partícula no podrá penetrar mucho dentro de la región
clásicamente prohibida.
Como podemos comprobar |A|2
=|B|2
, por tanto, todas las partículas que alcanzan el escalón
de potencial rebotan, incluyendo aquellas que penetran en la región a la derecha del origen.
La caja de potencial
La cuantización de la energía es uno de los conceptos más importantes de la Mecánica
Cuántica, ya que explica las propiedades de los átomos que constituyen los componentes
básicos de la materia.
Para calcular los niveles de energía, es necesario resolver una ecuación diferencial de
segundo orden, la ecuación de Schrödinger para la función potencial especificada, que en
muchos casos carece de solución analítica sencilla. Por simplicidad, elegiremos como
modelos de átomo, primero una caja de potencial y después un pozo de potencial.
Consideremos una partícula obligada a moverse en una región entre x=0 y x=a, tal como
una molécula en una caja, un electrón libre en un trozo de metal, etc. Si la energía cinética
del electrón es pequeña comparada con la altura de la barrera de potencial, el electrón se
podrá mover libremente a través del metal pero no podrá escapar de él.
Podemos representar estas situaciones físicas, por un
potencial rectangular de altura infinita. Tenemos
que Ep(x)=0 para 0<x<a, ya que la partícula se
mueve libremente en esta región, y fuera de esta
región la energía potencial se hace infinita.
Entonces, cualquiera que sea el valor de le
energía E de la partícula, ésta no puede estar a la
izquierda de x=0, ni a la derecha de x=a. La función
de onda en dichas regiones debe de ser nula.
La ecuación de Schrödinger en la región 0<x<a donde Ep(x)=0 se escribe
Su solución ya se ha proporcionado al estudiar el escalón de potencial.

8. Las condiciones de contorno requieren que Y(x)=0 en x=0, obtenemos
Y(x)=2iA·sen(kx)
y también, que Y(x)=0 en x=a. Como A no puede ser cero, tenemos entonces,
sen(ka)=0 por lo que ka=np donde n es un número entero.
La energía de la partícula será
Si E1 es la energía del primer nivel (n=1) la energía de los sucesivos niveles es 4E1, 9E1,
16E1... Concluimos que la partícula no puede tener una energía arbitraria, sino valores
concretos, decimos que la energía de la partícula está cuantizada.
Las funciones de onda se parecen a los modos de vibración de una cuerda tensa, sujeta por
ambos extremos o también denominadas ondas estacionarias. Observaremos, que el modo
fundamental no tiene nodos (no corta al eje horizontal). El segundo armónico, tiene un
nodo (corta una vez al eje horizontal), el tercero tiene dos nodos, y así sucesivamente.
Podemos saber el orden del nivel de energía contando el número de veces que la función de
onda corta al eje horizontal.
El pozo de potencial
Las soluciones de la ecuación de Schrödinger en las regiones (1) y (2) son respectivamente,
véase el escalón de potencial (E<E0).

9. Y2(x) debe tender a cero cuando x se hace grande, para ello A2 tiene que ser cero.
Las condiciones de continuidad de la función de onda Y(x) y su derivada primera en la
frontera x=a entre las dos regiones de distinto potencial, constituyen un par de ecuaciones
que relacionan A1 y B1 con B2.
Este último parámetro, determina la escala vertical de la función de onda Y(x), y se puede
obtener a partir de la condición de normalización
La simetría de la función potencial Ep(x) hace que los estados de energía de la partícula
puedan ser
 Simétricos si Y(x)=Y(- x)
 Antisimétricos si Y(x)=-Y(-x)
Los niveles de energía para los estados simétricos se determinan haciendo Y(x)=Y(-x).
Operando y simplificando se obtiene la ecuación trascendente de la energía
q·sen(qa)-k·cos(qa)=0
Los niveles de energía para los estados antisimétricos se obtienen haciendo Y(x)=-Y(-x). Se
obtiene la ecuación
k·sen(qa)+q·cos(qa)=0
Las raíces de las dos ecuaciones nos dan los niveles de energía de la partícula en el pozo de
potencial. En el applet que viene a continuación se resuelve numéricamente dichas
ecuaciones, se calcula los niveles de energía y se representa las funciones de onda de un
pozo de potencial de altura y anchura dadas.
Ver simulación http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/pozo/pozo.htm

10. Sistema de pozos de potencial
La cuantización de la energía es el concepto más importante en Mecánica Cuántica, ya que
explica las propiedades de los átomos que constituyen los componentes básicos de la
materia.
Para calcular los niveles de energía, es necesario resolver una ecuación diferencial de
segundo orden, la ecuación de Schrödinger, para la función potencial especificada, que en
muchos casos carece de solución analítica sencilla.
En la sección dedicada a la cuantización de la energía ya se estudiaron dos sistemas
simples: la caja de potencial y el pozo de potencal. La solución de la ecuación de
Schrödinger en un potencial simétrico da lugar a funciones de onda simétricas y
antisimétricas. El estado fundamental está descrito por una función de onda simétrica y a
continuación, le sigue un estado descrito por una función de onda antisimétrica y así
sucesivamente, de forma alternada.
Consideremos un sistema de pozos de potencial iguales separados por barreras de potencial
de la misma anchura y altura.

11. Resolviendo la ecuación de Schrödinger en cada una de las regiones tenemos.
Donde qj es un número complejo real o imaginario dependiendo si la región es un
pozo Vj=0 o una barrera E<Vj.
En las fronteras entre las regiones hemos de aplicar las condiciones de continuidad de la
función de onda y de su derivada primera. Sea la frontera entre las regiones j-1 y j, cuya
abscisa es xj.
Que relaciona coeficientes Aj y Bj con Aj-1 y Bj-1
Tenemos un sistema de 2N ecuaciones con 2N+2 incógnitas. Ahora bien, el número de
incógnitas se reduce teniendo en cuenta la simetría de la función potencial, y la definición
de función de onda:
En la región N, la función de onda YN(x) tiende a cero al hacerse x grande, de modo que al
ser qN imaginario, el coeficiente BN debe de ser cero.
En la primera región de potencial la función de onda es
 Las funciones de onda simétricas son aquellas que

12.  Las funciones de onda antisimétricas son aquellas que
Para los estados simétricos tenemos por tanto, un conjunto de 2N ecuaciones
con 2N incógnitas. Los distintos niveles de energía correspondientes a los estados
simétricos se obtienen haciendo el determinante de los coeficientes del sistema homogéneo
igual a cero. El mismo procedimiento se emplea para hallar los niveles de energía
correspondientes a los estados antisimétricos.
El potencial periódico
Examinemos en esta sección el potencial periódico, formado por infinitos pozos de
potencial iguales. El efecto de la red lineal será el de cambiar la función de onda de
la partícula libre de modo que en lugar de tener una amplitud constante, esta función de
onda tenga una amplitud variable u(x).
Como el potencial es periódico con periodo l=a+b, suma de la anchura a del pozo y de la
separación b entre pozos, se deberá cumplir que
u(x+l)=u(x)
Ambas expresiones constituyen el teorema de Bloch. Podemos obtener la imagen de dichas
funciones de onda considerando que u(x) se asemeja a la función de onda de los átomos
aislados (de un pozo de potencial) y reemplazando exp(ikx) por las funciones de onda de
una partícula libre en una caja de potencial. Esto es lo que hemos observado al visualizar
las funciones de onda de los primeros niveles de energía de un sistema de pozos de
potencial.
Modelo de Kronig-Penney
Consideremos el movimiento de una partícula en un potencial periódico de periodo l=a+b,
formado por un pozo de potencial de anchura a y profundidad E0, y una barrera de
potencial de anchura b. En la figura muestra tres regiones en las que vamos a obtener la
solución de la ecuación de Schrödinger.

13.  En la primera
 En la segunda región
 En la tercera región, la solución se puede obtener a partir de la primera aplicando la
condición de periodicidad.
El punto x en la región 3 se corresponde con el punto x-l en la región 1, de modo
que u(x)=u(x-l).
Despejando u(x) e introduciendo dicha expresión en la función de onda en la tercera región.
Escribiremos ahora las condiciones de continuidad de la función de onda y de su derivada
primera en los puntos x=0, y x=a.
 en x=0
Se obtiene

14.  en x=a
Tenemos un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, el
determinante de los coeficientes debe ser cero. Para el caso en el que E<E0, que es el que
estudiamos en el applet, k1 es una cantidad imaginaria, llamemos k1=ik3.
Ecuación que nos da la relación entre la energía E y el número de onda k, y que
representaremos en la ventana del applet. Ya que el módulo del coseno no puede ser mayor
que la unidad, obtenemos así la condición impuesta a k3 y a k2 y por tanto a la energía E.
Esta condición define las bandas de energía permitidas.
Nota: Un electrón se puede mover libremente por la red cristalina, sin embargo, cualquier
irregularidad en la periodicidad de la red perturba su movimiento. Estas irregularidades en
la red se deben a las imperfecciones en los sólidos, tales como espacios vacantes, átomos
intersticiales y desplazados, dislocaciones e impurezas. Por ejemplo, si se agrega una
cantidad pequeña de átomos de impureza y estos se distribuyen uniformemente por todo el
sólido, la conductividad se modifica.
Un aislante puro es transparente pero si contiene impurezas presenta color. Por ejemplo, el
corindón puro debería ser transparente, pero el rubí que tiene algunas impurezas de cromo
presenta un intenso color rojo. La fosforescencia se explica también en términos de
impurezas, por ejemplo, el sulfuro de zinc ampliamente usado en las pantallas de televisión,
y en los contadores de centelleo.
Barreras de potencial
El hecho de que la función de onda pueda extenderse más allá de los límites clásicos del
movimiento da lugar a un importante fenómeno llamado penetración de la barrera de

15. potencial. Consideremos el potencial representado en la figura que consta de dos escalones
y que se denomina barrera de potencial de altura E0 y anchura a.
El caso más interesante se da, cuando la energía de las partículas sea menor que la de la
barrera. La Mecánica Clásica requiere que una partícula proveniente de la izquierda
con E<E0 se refleje en el origen x=0, ya que en la región (0, a) la energía cinética de la
partícula es negativa.
Las partículas que hayan penetrado una distancia mayor o igual que a, tendrían una energía
cinética igual a su energía total (la energía potencial vuelve a ser cero) y por tanto, se
moverán hacia la derecha con igual velocidad que las incidentes. Estas partículas que han
atravesado la barrera se denominan transmitidas y han pasado de la primera a la tercera
región de potencial a través de la región intermedia, clásicamente prohibida (la energía
cinética de la partícula es negativa).

16. Se discute ahora el problema desde el punto de vista de la Mecánica Cuántica, resolviendo
la ecuación de Schrödinger en las tres regiones y aplicando las condiciones de continuidad
de la función de onda y de su derivada primera en los puntos x=0, y x=a.
Resolveremos primero, el caso en el que la energía de las partículas E es menor que la del
escalón E0, el caso más interesante desde el punto de vista físico. Posteriormente,
estudiamos el caso en el que la energía de la partícula E es mayor que la del escalón E0.
E<E0.
 Región x<0
 Región 0<x<a, aquí E<E0
 Región x>a
La función de onda Y1(x) contiene las partículas incidentes y reflejadas, Y2(x) decrece
exponencialmente, la exponencial positiva no está excluida ya que la región clásicamente
prohibida no es indefinida como en el caso del escalón de potencial. Debido a que Y2(x) no
ha alcanzado el valor cero en x=a, la función de onda continúa a la derecha de dicho punto,
con amplitud A'. La función de onda Y3(x) representa las partículas transmitidas.
Desde el punto de vista de la Mecánica Cuántica, es posible que una partícula atraviese la
barrera de potencial aun cuando su energía cinética sea menor que la altura de la barrera.

17. Aplicando las condiciones de continuidad de la función de onda y de su derivada primera
en los puntos x=0, y x=a, obtenemos las siguientes ecuaciones que relacionan los
coeficientes B, C, D, y A' en función de A.
Se obtiene
se obtiene
Se denomina coeficiente de transmisión a la proporción de partículas incidentes que son
transmitidas
El coeficiente de transmisión disminuye rápidamente a medida que se incrementa la
anchura de la barrera de potencial.
E>E0
Para E<E0, T es menor que la unidad. Sin embargo, para E>E0, T alcanza el valor máximo,
para valores concretos del cociente E/E0.
Resolviendo de nuevo, la ecuación de Schrödinger en las tres regiones
 Región x<0

18.  Región 0<x<a, ahora E>E0.
 Región x>a
Las ecuaciones de continuidad de la función de onda y de su derivada primera en x=a,
relacionan C y D con A', y en x=0, relacionan A y B con C y D, y por tanto, con A'
Finalmente, obtenemos la siguiente expresión para el coeficiente de transmisión
Como podemos apreciar T toma el valor máximo 1, cuando k'a=np, siendo n un número
entero. Como k' es el número de onda, k'=2p /l', se obtiene que
que relaciona la longitud de onda l' de la partícula en la barrera de potencial con la
anchura a de la misma, para que se obtenga el máximo en el coeficiente de transmisión. Los
valores de la energía E, o mejor del cociente E/E0, para los cuales hay un máximo del
coeficiente de transmisión se denominan resonancias.
N barreras de potencial
Estudiaremos ahora el caso en el que hay N barreras de potencial de la misma anchura a y
separadas unas de otras la misma cantidad b tal como se aprecia en la figura. Observaremos
que se producen picos de resonancia adicionales, dando lugar a un comportamiento
complejo del coeficiente de transmisión.

19. Resolvemos la ecuación de Schrödinger para cada una de las distintas regiones
Donde qj es un número complejo real o imaginario dependiendo de que E>Vj o E<Vj.
En las fronteras entre las regiones, aplicamos las condiciones de continuidad. Sea la
frontera entre las regiones j-1 y j, cuya abscisa es xj.
que relaciona los coeficientes Aj y Bj con Aj-1 y Bj-1
Teniendo en cuenta que solamente hay partículas trasmitidas en la región 2N, resulta
que B2N=0. Obtenemos los valores de todos los coeficientes Aj y Bj en términos de A2N que
actúa como factor de escala.
El coeficiente de transmisión se define como la proporción de partículas incidentes que se
trasmiten y se obtiene mediante el cociente.
Ver simulación http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/tunel/tunel.htm
El oscilador armónico cuántico
El estudio del oscilador armónico es un capítulo fundamental de la Mecánica Clásica, es
también un sistema físico de especial importancia en el estudio de las vibraciones de las
moléculas y también tiene interés desde el punto de vista matemático.

20. Descripción
La ecuación de Schrödinger unidimensional e independiente del tiempo es
La energía potencial de un oscilador armónico es Ep=kx2
/2, donde k es la constante elástica
y m la masa de la partícula.
Tomando una escala de energías y distancias de la forma
La ecuación de Schrödinger se transforma en otra más simple
Los niveles de energía vienen dados por e =1,3,5,7... (2n+1)
Y las funciones de onda F (u)=N H(u)exp(-u2
/2)
Siendo H(u) los polinomios de Hermite.
Un oscilador armónico de constante k y masa m, tiene una frecuencia propia de
oscilación w0
Deshaciendo el cambio de variable los niveles de energía E de un oscilador armónico serán,
por tanto
Ver simulación http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/armonico/armonico.html