1. Tema 2.
EL LENGUAJE DE LA
LÓGICA PROPOSICIONAL
a) La construcción de fórmulas bien formadas

2. Cuando el lenguaje falla…
Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:
1. SINTÁCTICO
A esta oración del castellano les falla algo
A este otra oración le fallar todavía más cosa
Última es esta galimatías un oración puro

3. Cuando el lenguaje falla…
Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:
2. SEMÁNTICO
Esta pitufa del castellano tiene una palabra un poco rara
Las ideas verdes incoloras duermen furiosamente
Confucio es impar
La existencia es el devenir del karma cuántico

4. Cuando el lenguaje falla…
Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:
3. PRAGMÁTICO
Él ha dicho que le dé la medicina
“Declaro abierta la sesión” (dicho por un conserje del Parlamento)
¿Me da un libro sobre cómo hacer amigos, carahuevo?

5. 3 niveles de análisis del lenguaje
1. SINTAXIS: Centrada en la estructura
formal de las oraciones
2. SEMÁNTICA: Centrada en las
condiciones de verdad de las oraciones
3. PRAGMÁTICA: Centrada en los efectos
del contexto sobre las oraciones

6. 3 niveles de análisis del lenguaje
En lógica sólo nos va a interesar la sintaxis y
la semántica.
Dentro de la semántica sólo nos va a interesar
la parte formal: el modo en que la
disposición formal de los elementos afecta
a los valores de verdad

7. El alfabeto lógico
• Todo lenguaje necesita de:
1. Un alfabeto, i.e., un conjunto de
elementos primitivos desde los que
construimos sus expresiones
• El alfabeto latino no resulta ser el mismo
que el ruso

8. El alfabeto lógico
• Todo lenguaje necesita de:
2. Reglas de combinación de los elementos
primitivos
• Inglés y español comparten alfabeto, pero
no admiten las mismas combinaciones:
THR no es una combinación de letras
admisible en español

9. Alfabeto de la lógica proposicional
• El lenguaje de la lógica proposicional (L0)
necesita tres tipos distintos de símbolos:
1. CONSTANTES PROPOSICIONALES
2. CONECTIVAS LÓGICAS
3. SÍMBOLOS AUXILIARES

10. Alfabeto de la lógica proposicional
1. CONSTANTES PROPOSICIONALES
- Simbolizan oraciones o proposiciones,
i.e., unidades que tienen un valor de
verdad
- Son los equivalentes lógicos de ‘llueve’,
‘yo soy Pepe’, ‘mañana es viernes,
‘el universo es una sucesión infinita de
transmigraciones cósmicas

11. Alfabeto de la lógica proposicional
1. CONSTANTES PROPOSICIONALES
- Utilizaremos las siguientes letras minúsculas:
p, q, r, s, t, u
- Si necesitamos simbolizar más oraciones (un
número infinito de ellas), recurrimos a
subíndices numéricos:
p1, p2, p3, p4, p5…

12. Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS
- Las oraciones pueden conectarse entre sí por
medio de partículas con valor lógico
- Las principales partículas son cinco, que
equivalen a las siguientes:
Y, O, SI…(ENTONCES), SI Y SÓLO SI, NO

13. Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS
- Estas partículas caen en dos grupos:
a) Binarias: Las que conectan dos oraciones:
‘Hume canta Y Kant humea
‘Platón tiene razón O la tiene Aristóteles’
‘SI Dios no existe, todo está permitido’
‘Aprobaré lógica SI Y SÓLO SI estudio’

14. Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS
- Estas partículas caen en dos grupos:
b) Monarias: Las que se aplican a una sola
oración:
‘NO hay vida más allá de Marte’
‘NO todos los filósofos están locos’
‘Los filosófos NO están locos’

15. Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS
- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
No = NEGADOR
¬

16. Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS
- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
Y = CONYUNTOR
∧

17. Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS
- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
O = DISYUNTOR
∨

18. Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS
- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
SI…(ENTONCES) = CONDICIONAL
→

19. Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS
- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
SI Y SÓLO SI = BICONDICIONAL
↔

20. Alfabeto de la lógica proposicional
3. SÍMBOLOS AUXILIARES
- Son paréntesis y corchetes, que sirven para
agrupar los otros símbolos de manera que se
puedan evitar ambigüedades:
( ) [ ]

21. Alfabeto de la lógica proposicional
He aquí todo de una vez:
CONSTANTES: p, q, r, s, t, u, p1,p2,p3…
CONECTIVAS: ¬, ∧, ∨, →, ↔
AUXILIARES: (, ), [, ]

22. Recursividad
• La mayoría de los lenguajes son recursivos:
empleando un número finito de elementos
es posible construir un número infinito de
oraciones.
La mosca a la que persigue la araña a la que
persigue el ratón al que persigue el gato al
que persigue el perro es de color negro.

23. Recursividad
• Una fuente de recursividad es la posibilidad
de unir oraciones simples para formar
compuestas.
• Las partículas lógicas desempeñan en esto
un papel fundamental.

24. Recursividad
• La recursividad comienza por tomar algunos elementos
básicos y definir cómo se construyen los elementos
complejos a partir de ellos:
- Dadas las oraciones ‘Hume canta’, ‘Kant baila’, también
son oraciones las siguientes:
Hume canta y Kant baila
Hume canta o Kant baila
Si Hume canta, Kant baila
Hume no canta
Kant no baila
Hume canta si y sólo si Kant baila ETC.

25. Recursividad
• Podemos seguir aplicando esto en general: dadas
las oraciones O y O’, son también oraciones las
siguientes:
O y O’, O o O’, Si O entonces O’, no O, etc.
• Podemos aplicar la regla cuantas veces queramos:
dado que ‘Hume canta y Kant baila’ y ‘Hegel da
palmas’ son oraciones, también lo será ‘Si Hume
canta y Kant baila, Hegel da palmas’

26. Recursividad
-Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas
-Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas
-Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas
-Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas
-Si Hume canta y Hegel da palmas, Kant baila
-Hegel da palmas si y sólo si Kant baila
-Si Hume canta, entonces si Kant baila, Hegel da
palmas

27. Recursividad
• La recursividad permite construir algunas oraciones
peculiares:
-Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant baila y Hume
canta y Kant baila…
-Si Hegel da palmas, Hegel da palmas
-Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o
Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta
o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume
canta
Son peculiares desde el punto de vista pragmático, pero
sintáctica y semánticamente están bien construidas

28. Recursividad
• Nuestro lenguaje lógico también va a ser
recursivo.
• Las oraciones en nuestro lenguaje se van a llamar
FÓRMULAS
• Comenzaremos por definir cuáles son las
oraciones simples o fórmulas atómicas
• A continuación daremos un método de
combinación de fórmulas atómicas para obtener
oraciones compuestas o fórmulas moleculares

29. Fórmulas atómicas
• Serán las que correspondan a las oraciones
simples del castellano: sin ninguna
partícula lógica.
• Se trata por tanto de las constantes
proposicionales:
p
q
r
…
son (algunas) fórmulas atómicas

30. Fórmulas moleculares
• Las formaremos a partir de las atómicas,
empleando las conectivas lógicas:
p ∧ q
p ∨ r
q → p
r ↔ q
¬q
son (algunas) fórmulas moleculares

31. Ambigüedad
• En el lenguaje natural con frecuencia
aparecen posibles ambigüedades:
-Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas
¿Da o no da palmas Hegel?
Ahora sí: Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas
Ahora no se sabe: Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas

32. Ambigüedad
• En lógica queremos construir fórmulas que
excluyan toda ambigüedad.
• En el lenguaje natural usamos diversos
elementos para evitar la ambigüedad, como:
1) pausas prosódicas, 2) signos de
puntuación y, 3) el contexto.
• Pero en lógica sólo tenemos un recurso
(parecido a 2): construir las fórmulas con
reglas muy precisas.

33. Ambigüedad
- Nuestro principal recurso contra la ambigüedad
son los PARÉNTESIS.
- Sea: p ≡ Hume canta ; q ≡ Kant baila;
r ≡ Hegel da palmas
p ∨ q ∧ r es AMBIGUA; equivale a:
Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas
p ∨ (q ∧ r) ≡ H canta, o K baila y Heg da palmas
(p ∨ q) ∧ r ≡ H canta o K baila, y Heg da palmas

34. Metavariables
- Si la lógica es nuestro lenguaje objeto, el
castellano es su metalenguaje.
- Pero necesitamos ampliar nuestro
metalenguaje con algunos símbolos que
hacen las veces de abreviaturas.
- Para referirnos a fórmulas en general
usaremos letras griegas:
α β γ …
- Las llamaremos METAVARIABLES

35. Metavariables
- Una constante, como p, representa aquello que la
hace verdadera o falsa (llueve; las rosas son rojas,
etc)
- Una metavariable, como α, representa cualquier
fórmula:
p ; ¬q ; p→r ; p ∧ (q ∨ r) ; p →(p →p)
…
- Vamos a definir nuestras reglas de formación de
fórmulas de manera más precisa

36. Reglas de formación
• (i) Toda constante proposicional sola es una
fórmula (atómica)
• (ii) Si α es fórmula, entonces ¬α es fórmula
• (iii) Si α, β son fórmulas, (α ∧ β), (α ∨ β),
(α → β), (α ↔ β) son fórmulas
• (iv) Sólo son fórmulas las secuencias que
satisfacen (i), (ii) o (iii)

37. Reglas de formación
• (i) Toda constante proposicional sola es una
fórmula
- De este modo obtenemos nuestras fórmulas
atómicas:
p q r s t
u p1 p2 p3 …

38. Reglas de formación
• (ii) Si α es fórmula, entonces ¬α es fórmula
- Dadas las anteriores, también son fórmulas:
¬p ¬q ¬r ¬s ¬t
¬u ¬p1 ¬p2 ¬p3 …
-Podemos aplicar recursivamente (ii) sobre las fórmulas recién
obtenidas: ¬¬p ¬¬q … ¬¬¬p
Todas estas también son fórmulas

39. Reglas de formación
• (iii) Si α, β son fórmulas, (α ∧ β), (α ∨ β), (α →
β), (α ↔ β) son fórmulas
-Dadas (i) y (iii) serán fórmulas:
(p ∧ q) (p ∧ s) (p ∧ r) … (q ∧p ) …
(p ∨ q) (p ∨ s) (p ∨ r) … (q ∨ p) …
(p → q) (p → r) …
(p ↔ q) (p ↔ r) …

40. Reglas de formación
• (iii) Si α, β son fórmulas, (α ∧ β), (α ∨ β), (α →
β), (α ↔ β) son fórmulas
-Si además tenemos en cuenta (ii), son fórmulas:
(p ∧ ¬q) (¬p ∧ s) (p ∧ ¬r) … (q ∧ ¬p ) …
(¬p ∨ q) (p ∨ ¬s) (¬p ∨ ¬r) … (¬q ∨ p) …
(p → ¬q) (¬p → r) (¬p → ¬r) …
(¬p ↔ q) (p ↔ ¬r) (¬p ↔ r) …

41. Reglas de formación
• (iii) Si α, β son fórmulas, (α ∧ β), (α ∨ β), (α →
β), (α ↔ β) son fórmulas
-Y podemos aplicar otra vez (ii) sobre las últimas
fórmulas :
¬(p ∧ ¬q) ¬(¬p ∧ s) ¬(p ∧ ¬r) … ¬(q ∧ ¬p ) …
¬(¬p ∨ q) ¬(p ∨ ¬s) ¬(¬p ∨ ¬r) …¬ (¬q ∨ p) …
¬(p → ¬q) ¬(¬p → r) ¬(¬p → ¬r) …
¬(¬p ↔ q) ¬(p ↔ ¬r) ¬(¬p ↔ r) …
¬¬(p ∧ q) … ¬¬(¬p → ¬q) … ¬(p ↔ ¬¬q) …

42. Reglas de formación
- Y podemos seguir aplicando (ii) y (iii)
cuanto queramos:
(p ∧ (p ∧ q))
(¬p ∧ (q ∨ ¬s)) (p ∧ ¬r) → (q ∧ ¬p )
(p → ((¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬s)))
((¬p ∨ ¬r) ↔ (¬q ∨ p)) ∨ (p → ¬q)
…

43. Reglas de formación
(iv) Sólo son fórmulas las secuencias que
satisfacen (i), (ii) o (iii)
- Esta es una cláusula de cierre, que limita
nuestras fórmulas exclusivamente a las
formadas por las reglas anteriores.

44. Reglas de simplificación
• Pueden suprimirse siempre:
(a) Los dos paréntesis externos:
(p → (q ∨ ¬r)) ≡ p → (q ∨ ¬r)
(Nota: El símbolo ≡ se lee como ‘es
equivalente a’)

45. Reglas de simplificación
• Pueden suprimirse siempre:
(b) Los paréntesis internos no precedidos de negador
en secuencias compuestas totalmente por
conyuntores o totalmente por disyuntores:
(p ∧ (q ∧ r)) ≡ (p ∧ q ∧ r)
pero (p ∧ ¬(q ∧ r)) ≠ (p ∧ ¬q ∧ r) !!
(p ∨ (¬q ∨ r)) ≡ (p ∨ ¬q ∨ r)
pero (p ∨ ¬(q ∨ r)) ≠ (p ∨ ¬q ∨ r) !!

46. Conectiva dominante
• Consideremos cómo se forman las fórmulas
moleculares:
- La última regla de formación que hayamos usado
ha tenido que ser (ii) o (iii), i.e., la última regla ha
introducido el negador o una conectiva binaria:
¬p lo último introducido es el negador ¬
q ∧ ¬r lo último introducido es el conyuntor ∧
p ∨ (q → r) lo último introducido es el disyuntor ∨
¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) lo último introducido es ↔

47. Conectiva dominante
• La última conectiva introducida será la
CONECTIVA DOMINANTE de la fórmula.
• Es importante distinguirla, porque es a la que
habrá que atender para determinar el valor de
verdad de la fórmula.
p ↔ (r → s)
¬(p → (q ∨ r))
¬p ∨ (p ∧ (p → p))
¬((p ∧ q) ∧ ¬(p ∧ q))
(((p → q) ∧ p) → q) ∧ p
¬(p ∧ ¬(q → r ∧ ¬(p ∨ q)))
↔
¬
∨
el segundo ∧
el primer ¬
no es fórmula

48. Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas?
(¬(p → ¬q)
(p → q) ∨ ¬p → q
((q → (r ∨ ¬s)) → (¬¬p ∧ q)) ↔ ¬r
¬(s → (p ∧ q¬))
¬(p → (¬q → ¬(r →(¬s → t))))
¬¬¬¬¬¬ ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p
(¬q ∨ (r → (¬p ↔ q))) ↔ (q → (¬r ∨ (p ↔ ¬q)))
NO
NO
SÍ
NO
SÍ
NO
SÍ
¬

49. Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas?
((¬q ∨ r) → ¬(p ↔ q)) ↔ ¬(q → r) ∨ ((p ∧ ¬q) ∨ q)
¬(p → ¬q) → ¬r) →¬s) → t))))
(((p ∨ q ∨ ¬r) → (¬q ∧ ¬p)) ∧ (p ∨ ¬s)) → (¬p ∧ q ∧ r)
(p ∨ (q ∨ ¬p ∧ r)) → (p ∨ q)
(((p → (q ∨ ¬r)) → (¬q ∨ s)) ↔ (s ← ¬p)) ∨ (p ∧ q)
(p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ q ∨ r)
(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
NO
NO
SÍ
NO
NO
SÍ
SÍ

50. Ejercicio: conectiva dominante
¬(p → ¬q)
(p → q) ∨ (¬p → q)
((q → (r ∨ ¬s)) → (¬¬p ∧ q)) ↔ ¬r
¬(s → (p ∧ q))
¬(p → (¬q → ¬(r →(¬s → t))))
¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p
(¬q ∨ (r → (¬p ↔ q))) ↔ (q → (¬r ∨ (p ↔ ¬q)))
el primer ¬
∨
↔
¬
el primer ¬
el primer ¬
2º ↔

51. Ejercicio: conectiva dominante
(((¬q ∨ r) → ¬(p ↔ q)) ↔ ¬(q → r)) ∨ ((p ∧ ¬q) ∨ q)
¬((((p → ¬q) → ¬r) →¬s) → t)
(((p ∨ q ∨ ¬r) → (¬q ∧ ¬p)) ∧ (p ∨ ¬s)) → (¬p ∧ q ∧ r)
(p ∨ (q ∨ (¬p ∧ r))) → (p ∨ q)
(((p → (q ∨ ¬r)) → (¬q ∨ s)) ↔ (s ↔ ¬p)) ∨ (p ∧ q)
(p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ q ∨ r)
(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
2º ∨
el primer ¬
2º→
→
3er
∨
cualquier ∧
cualquier ∨