Este documento presenta una introducción a la geometría descriptiva. Comienza describiendo los orígenes de la geometría descriptiva en dibujos y planos de construcción datando desde el 2450 a.C. Luego discute las contribuciones de figuras históricas clave como Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga. Finalmente, introduce conceptos básicos de la geometría descriptiva como puntos, rectas y planos, y las relaciones entre ellos.

1. UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL
“LISANDRO ALVARADO”
DECANATO DE INGENIERIA CIVIL
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
GEOMETRIA DESCRIPTIVA I
APORTES METODOLÓGICOS APLICABLES EN EL ESTUDIO DE
LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
AUTOR: Dr. JESUS ALBERTO PAEZ OVIEDO
Barquisimeto, 2009
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2. UNIDAD I
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DESCRITIVA
1.- Origen de la Geometría Descriptiva:
La Geometría Descriptiva se origina de los grafismos o dibujos, dando
lugar al dibujo artístico y dibujo técnico.
Las primeras manifestaciones del dibujo técnico, data del año 2450
antes de cristo, en un dibujo de construcción esculpido en la estatua del rey
Sumerio Gudea, llamada “El Arquitecto”, y que se encuentra en el museo de
Louvre, dicha escultura de forma esquemática, representa los planos de un
edificio.
Del año 1650 a.c., data el papiro de Ahmes. Este escriba egipcio,
redactó, en un papiro de 33 por 548 cms. La exposición de contenido
geométrico en cinco partes que abarcan: la aritmética, la esteoromía, y la
geometría de pirámides. En este papiro se llega a dar valor aproximado al
número PI.
En el año 600 a.c, encontramos a Tales, filósofo griego nacido en
Mileto. Fue el fundador de la filosofía griega y considerado como uno de los
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3. siete sabios de Grecia. Tenía conocimientos en todas las ciencias, pero llegó a
ser famoso por sus conocimientos de astronomía, después de predecir el
eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a.c. Se dice que introdujo la
geometría en Grecia, ciencia que aprendió en Egipto. Sus conocimientos le
sirvieron para descubrir las propiedades geométricas. Tales nos dejó escritos;
el conocimiento que se tiene, precede de lo que se cuenta el de Aristóteles.
Del mismo siglo de Tales, es Pitágoras, filósofo Griego, cuyas doctrinas
influyeron en Platón. Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros
filósofos Jonios, como son el anaximandro y anaxímetro, movimiento con
propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocidos como Pitagorismo. A
dicha escuela se le atribuye el trazado de los primeros poliedros regulares:
tetraedros, hexaedros y octaedros. Pero quizás su contribución mas importante
en el campo de la geometría es el Teorema de la Hipotenusa, conocido como
Teorema de Pitágoras, que establece: “El rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
En el año 300 a.c., encontramos a Euclides, matemático Griego, su obra
principal “Elementos de Geometría”. Este extenso tratado de matemáticas en
13 volúmenes sobre materia tales como: geometría plana, magnitudes
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4. encontradas, geometría del espacio, probablemente estudió en Atenas con
discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría en una escuela de
matemáticas.
Arquímedes (287-212 a.c), notable matemático e inventor griego, que
escribió importantes obras sobre espacio, aritmética y mecánica. Nació en
Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. Inventó formas comunes
de figuras curvas, así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por
superficies curvas.
Demostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del
cilindro que lo circunscribe. También elaboró un método particular de
aproximación del valor de PI, la proporción entre el diámetro y la
circunferencia de un circulo y estableció que estaba en 3 10/70 y 3 10/71.
Apolonio de Perga, matemático Griego, llamado “El gran geómetra”,
que vivió durante los últimos años de los principios del siglo II a.c. Nació en
Perga, Panfilia (hoy Turquía). Su mayor aportación a la geometría fue el
estudio de las cónicas, que reflejó en su tratado de las cónicas, que en su
principio estaba compuesto por ocho libros.
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5. Es durante el renacimiento, cuando las representaciones técnicas,
adquirieron una verdadera madurez, con los trabajos del arquitecto
Brunelleschi, los dibujos de Leonardo Da Vinci, y tantos otros. Pero no es,
hasta bien entrado años cuando se produce un significativo avance en las
representaciones técnicas.
Uno de los grandes avances, se debe al matemático francés Gaspard
Monge (1746-1818). Nació en Breaune, estudió en las escuelas de Breaune y
Lion, y en la escuela militar de Mecieres. A los 16 años fue nombrado
profesor de física, cargo que ejerció hasta 1765. Tres años mas tarde, fue
profesor de matemáticas, y en 1771 profesor de física en Mecieres, para luego
fundar la escuela politécnica en 1794, en la que dio clases de geometría
descriptiva.
La geometría descriptiva es la que nos permite representar sobre una
superficie bidimensional, las superficies tridimensionales de los objetos. Hoy
en día existen diferentes sistemas de representación, como la perspectiva
cónica, el sistema diédrico, el sistema de planos acotados, el sistema
axonométrico, etc., pero quizás el mas importante es el sistema diédrico, que
fue desarrollado por Monge en su primera publicación en el año 1799.
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6. Finalmente, cabe mencionar al francés Jean Vigor Poncellet
(1788-1867). A él se debe la introducción en la geometría el concepto de
infinito, que había sido incluido en matemáticas. En la geometría de Poncellet,
dos rectas, o se cortan o se cruzan, pero no pueden ser paralelas, ya que se
cortan en el infinito. El desarrollo de esta nueva geometría, que el denominó
proyectiva, la plasmó en su obra “Traité des Propietés Projectivas des
Figures”, en 1822.
2.- Conceptos Básicos de la Geometría Descriptiva:
Hay conceptos geométricos que no pueden definirse. Son ideas
formadas en nuestra mente a través de la observación del entorno y solamente
podemos hacer representaciones concretas de ellas. Los llamaremos conceptos
primarios y son: Punto, Recta y Plano.
2.1.- Punto:
El punto tiene posición en el espacio. Su representación mas cercana es
el orificio que deja un alfiler en una hoja de papel, pero, debemos tomar en
cuenta que no tiene grosor.
En el espacio hay infinitos puntos, los identificaremos con una letra
mayúscula o un número.
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7. Por ejemplo:
A,B,C,1,2,3...
Si unimos diferentes puntos, obtenemos líneas que pueden ser: curvas,
rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen
distintas direcciones; rectas, si llevan la misma dirección; mixtas, si se
mezclan ambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos de
rectas. (Fig. 1.1)
A C
Recta Poligonal B D
B Curva C E
A G
D
A C B F
Mixta
Fig. 1.1.- Punto
2.2.- Recta:
La unión de infinitos puntos, da origen al otro principio básico de la
geometría: La Recta.
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8. La representación mas cercana de la recta es un hilo tenso o la marca
que deja un lápiz en el papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y
en ella hay infinitos puntos, la identificaremos con letras minúsculas.
Por ejemplo:
A,b,c,m,n...
Una recta puede tener direcciones:
Horizontal como la línea del horizonte
Vertical como el hilo a plomo
Oblicua cuando es distinta a las dos
Anteriores
Fig. 1.2.- Recta
2.3.- Plano:
Lo mas parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero
lo diferencia de ésta, el hecho que es ilimitado y no tiene grosor.
El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que
siguen una misma dirección, es decir, hay rectas que quedan totalmente en
ellas.
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9. El plano se identifica con: letras griegas, letras mayúsculas, letras
minúsculas y combinación de letras mayúsculas y minúsculas.
Por ejemplo:
α, β, ABC, ab, Mn…
Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la superficie de
una laguna, son representaciones de planos.
Es importante saber que en un plano podemos encontrar puntos y rectas,
y obtener figuras geométricas.
Hay planos: Horizontal, Vertical y oblicuos.
Una vez conocidas las ideas geométricas, las relacionaremos, para
determinar aspectos que son muy importantes de analizar.
PUNTOS Y RECTAS:
a) Vamos a determinar un punto en el espacio. ¿Cuántas rectas pueden
pasar por él?. ¿A cuántas rectas pertenece ese punto?.
α
Fig. 1.3.- Puntos y Rectas
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10. Como las rectas no tienen grosor, obtenemos un dato fundamental de la
geometría “Por un punto del espacio pasan infinitas rectas”.
b) Ahora elegimos dos puntos del espacio. ¿Cuántas rectas unen a esos
dos puntos?. Recordemos que ni puntos ni rectas tienen grosor. (Fig. 1.4)
PV
BV B
AV A PH
BH
AH
Fig. 1.4.- Dos Puntos forman una Recta
Conclusión:
“Dos puntos del espacio determinan una sola recta”.
Existen relaciones entre el plano, los puntos y las rectas que pueden
llegar a producir interesantes resultados, cuyo análisis nos permite explicarnos
varios aspectos de la realidad.
2.3.1.- Relación entre rectas y planos:
Estudiaremos varios casos:
a) ¿Cuál es la mesa que nunca queda coja?.
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11. Las que tienen tres patas, porque con “tres puntos se puede
determinar un plano” (Fig. 1.5).
A.
.C
α B.
Fig. 1.5.- Plano Formado por Tres Puntos
b) Dos Rectas:
En este caso, comparemos lo que sucede en el espacio y en el
plano, analicemos varios casos:
b.1) Si tienen un punto en común:
Quiere decir que su intersección, tanto en el plano como en el
espacio, es un punto, a estas rectas se le llama secantes (Fig. 1.6):
A D
C B
A D
α C B
Fig. 1.6.- Plano Formado por Dos Rectas que se Cortan
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12. Hay un caso especial de estas dos rectas, cuando al interceptarse forma
ángulos rectos. Aquí: nos encontramos con rectas secantes perpendiculares.
A D
(Fig. 1.6.a):
B
C
A D
α C B
Fig. 1.6.a.- Plano Formado por Rectas Perpendiculares
b.2) Si dos rectas no cuentan con puntos comunes y tienen la
misma dirección, ya sea en el espacio o en el plano, estamos hablando de
rectas paralelas (Fig. 1.7):
α
Fig. 1.7.- Plano Formado por Dos Rectas Paralelas
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13. Un ejemplo, en el que se puede apreciar este principio geométrico
es en el tendido de los cables que llevan electricidad.
b.3) Rectas sin puntos comunes:
También se da el caso de rectas que se cruzan, pero solamente en
el espacio, no se pueden dibujar, pero si imaginar.
Pensemos en una recta que va de Norte a Sur cerca del techo y
otra cerca del suelo, pero con sentido Este a Oeste, estas rectas se cruzan.
Estas tres relaciones que se dan entre dos rectas ocurren también
entre dos planos, dos rayos, dos semirrectas o dos trazos, y entre la mezcla de
estos elementos, por ejemplo: un plano y un rayo, un rayo y una semirrecta,
etc., solo cambian algunos detalles.
Todas estas ideas geométricas y sus relaciones son la base que ha
utilizado el hombre para desarrollar la ciencia y la tecnología.
El ha construido sus viviendas, monumentos y obras de arte,
teniendo presente estos conceptos.
Solo podemos concluir “Que maravillosa es la capacidad de la
inteligencia humana”.
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14. SISTEMAS DE PROYECCIÓN
1.- Definición:
Un sistema de proyección es la representación de las proyecciones de un
objeto, sobre una superficie denominado plano de proyección.
En geometría descriptiva para la resolución de un problema geométrico,
intervienen cuatro elementos fundamentales que son: (Fig. 2.1)
a) Observador: Punto en el cual percibe el objeto a representar.
b) Objeto: Es el elemento que se quiere representar, puede ser: punto,
recta, plano.
c) Plano de proyección: Es la superficie donde se proyectará el objeto.
d) Líneas de proyección: Son rectas que refleja el objeto en el plano
de proyección.
Objeto
α
Fig. 2.1.- Elementos
Plano de Fundamentales
Líneas de Proyección
Proyección
Observador
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15. 2.- Tipos de proyección más usados:
2.1.- Proyección cilíndrica:
Cuando el observador se desplaza al infinito, el ángulo de separación
entre las líneas visuales, se hace cero y todas las líneas tienen igual
separación, por lo tanto, todas las líneas son paralelas (Fig. 2.2):
Observador
Infinito
α
Objeto
Plano de
Proyección
Fig. 2.2.- Proyección Cilíndrica
2.2.- Proyección Cónica:
Cuando el observador está en un lugar finito, las líneas visuales parten
de un punto fijo y la trayectoria que describe al pasar por el objeto, guarda la
forma de un cono (Fig. 2.3):
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16. Punto Fijo
(Finito) Objeto
α
Plano de
Proyección
Fig. 2.3.- Proyección Cónica
2.3.- Proyección oblicua:
El observador se sitúa en el infinito, el plano de proyección está
colocado de tal manera que los rayos inciden oblicuamente, dando origen a
una diferencia de tamaño entre la proyección y el objeto (Fig. 2.4):
β
Fig. 2.4.- Proyección
α
Oblicua
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17. 2.4.- Proyección ortogonal:
Es el más empleado, por ser el más práctico de esos medios de
representación, es el formado por el sistema llamado ortogonal, es decir, aquel
en que todos los puntos de un objeto se proyectan perpendicularmente sobre el
papel, dándonos todos sus aspectos exteriores o interiores, con sus detalles,
sean los objetos grandes o pequeños (Fig. 2.5):
α
Fig. 2.5.- Proyección Ortogonal
3.- Sistemas de proyección más usados:
3.1.- Sistema acotado:
Es una proyección del tipo ortogonal en la que se adopta un plano de
proyección denominado horizontal, en el cual sobre este se encuentra la
proyección ortogonal del objeto a proyectar, y en donde se acota cada punto
de ese objeto.
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18. Este sistema se utiliza para la proyección de techos o en un dibujo
topográfico.
Como ejemplo de la representación de los puntos en este sistema, se
indica en la proyección acotada de un techo de una vivienda, en donde existe 2
caras paralelas al plano de proyección, los vértices A’,B’,C’,D’,E’,F’ tienen
cota 5 y los vértices A, B, C, D, E, F de la cara superior tiene cota (5+a)
(Fig. 2.6):
C
B D
A F E C’
B’ D’
A’
F’ E’
B(5+a) C(5+a)
B’(5) C’(5) D(5+a)
D’+
A(5+a)
A’(5) F(5+a) E(5+a)
F’(5) E’(5)
Fig. 2.6.- Sistema Acotado
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19. 3.2.- Sistema Oblicuo:
Es una proyección en donde las proyectantes no son perpendiculares al
plano de proyección, en el que podemos ver los objetos proyectados en
perspectivas convencionales.
En este sistema se emplean tres ejes (X,Y,Z), el de ancho, el de
profundidad y el de altura respectivamente, en el cual el de altura (Z) siempre
es vertical y los otros (X,Y) con diferentes inclinaciones respecto al primero
(Fig. 2.7):
1
1
1
Fig. 2.7.- Sistema Oblicuo
3.3.- Sistema axonométrico:
Al igual que el sistema oblicuo, en el cual se utiliza un plano de
proyección, con sus respectivos ejes X, Y, Z.
Debido a la inclinación de los ejes, hay dos casos particulares en las
proyecciones axonométricas:
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20. 3.3.1.- Proyección caballera:
Cuando el eje de los anchos es perpendicular al de las alturas, estando el
de profundidad a cualquier inclinación de ellos.
Dependiendo del ángulo de inclinación, el eje de profundidad existirá
un lado de deformación, las cuales son las siguientes (Fig. 2.8):
a) Cuando el lado de profundidad (Y) sea igual a 30º:
Entonces se aplica la siguiente fórmula:
Lado de deformación = 1/3 (Lado)
Ejemplo:
Dibujar un cubo cuyo lados son de 20 mm, sabiendo que el eje “Y”
tiene un ángulo de deformación de 30º:
Solución:
Como dice que el eje “Y” tiene un ángulo de 30º, se aplica:
1/3 (20 mm) = 6,67 mm (Fig. 2.8):
b) Cuando el lado de profundidad (Y) sea igual a 45º:, se aplica:
Lado de deformación = ½ (Lado):
Siguiendo el ejemplo anterior del cubo cuyos lados es de 20 mm,
entonces:
½ (20 mm) = 10 mm (Fig. 2.8):
c) Cuando el lado de profundidad (Y) sea igual a 60º:, se aplica:
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21. Lado de deformación = 2/3 (Lado):
Siguiendo el ejemplo anterior del cubo cuyos lados es de 20 mm,
entonces:
2/3 (20 mm) = 13,33 mm (Fig. 2.8):
2 X
2 X
2 X

2 2 X 

2
2do

20 X


Fig. 2.8.- Sistema Axonométrico
 
  Lados de deformación
  o s
 
 
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22. 3.3.2.- Perspectiva isométrica:
Cuando los tres, el de altura (Z), el de ancho (X) y el de profundidad
(Z), forman entre sí ángulos iguales, es decir 120º.
Como desde el principio, en la explicación de los sistemas de
proyecciones, para su más fácil comprensión, entenderemos la necesidad de
servirnos de las proyecciones isométricas, es necesario adelantar estos
sumarios o principios de axonometría.
Por lo tanto, nos serviremos de la perspectiva isométrica para las
demostraciones de las proyecciones ortogonales. Para ello, sólo nos interesa
saber que en isometría los tres ejes, el de alto (Z), el de ancho (X) y el de
profundidad (Y), forman entre sí ángulos iguales de 120º y que las líneas de
alto, ancho y profundidad de las figuras representadas en ellas, según los
casos, siguen las direcciones de los ejes y que las medidas deben tomarse en
estas direcciones, para que no se alteren (Fig. 2.9 y 2.9.a):
Altura ( Z )
120º 2 .
Ancho ( X )
120º
Profundidad ( Y)
Fig. 2.9.- Perspectiva Isométrica
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23. Ancho ( X ) Profundidad ( Y )
120º
Fig. 2.9.a.- Perspectiva Isométrica
120º 120º
Altura ( Z )
3.4.- Sistema diedrico o doble proyección ortogonal:
Antes de entrar en la materia de proyecciones ortogonales, es necesario
recordar algunos principios de geometría, para la comprensión de los nombres
de los elementos que emplearemos.
En geometría, dos planos que se cortan entre sí, forman un ángulo
llamado “ángulo diedro” y en el caso especial de que el ángulo sea de 90º se le
llama “cuadrante”.
Cuando dos planos se cortan perpendicularmente forman cuatro diedros
iguales, es decir, de 90º cada uno, la suma de los cuatro diedros será entonces
de 360º a lo que es lo mismo, tendremos cuatro cuadrantes, que para poder
diferenciarlos entre sí, se ha enumerado en sentido inverso a las manecillas del
reloj (Fig. 2.10):
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24. PV
II Cuadrante I Cuadrante
T
PH
90º 90º
H
P
L
90º 90º IV Cuadrante
III Cuadrante
PV
Fig. 2.10.- Sistema Diedrico
Como se verá, la intersección de los planos que se cortan es una recta o
arista que va de L a T y la cual recibe el nombre de línea de tierra (L.T) o
traza.
El principio básico del sistema de proyecciones ortogonales es suponer
que los planos vertical y horizontal son el material sobre el cual vamos a
trazar, siempre “perpendicularmente” proyectados, todos los elementos de un
objeto contenido dentro de ellos, hasta formar con ellos en dibujo los
diferentes aspectos de que de ese objeto nos interesen.
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