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CONCEPTO DEL VECTOR:
Un vector quedadefinidocuandose dandospuntosenun ordendeterminado;El primerose
llamaorigenopuntode aplicacióndel vectoryel segundoextremo.
La longituddel segmentodeterminadoporlosdospuntosesel módulodel vector,larecta a la
que pertenece dichosegmentoessudirecciónyel sentidoque sobre dicharectadeterminael
ordenenque se danlos dospuntosesel sentido.
Para la escriturade vectoresse utilizalanotaciónV,lanotaciónV,sinflecha,indicamódulodel
vector.
El vector está comprendidopor los siguienteselementos:
La Dirección:estádeterminadaporlarecta de soporte y puede servertical,horizontal e
inclinadauoblicua.
La orientación:osentido,estádeterminadaporlaflechaypuede serhorizontal haciala
derechao haciala izquierda,verticalhaciaarribao haciaabajo e inclinadaascendenteo
descendentehacialaderechaohacia la izquierda.
El puntode aplicación:estádeterminadoporel puntoorigendel segmentoque formael
vector.
La longitudomódulo:esel númeropositivoque representalalongituddel vector.
Representacióngraficade unvector.Dado suorigeny su extremo.
C Origend.Extremoc. Direcciónvertical consentidohaciaarriba.Se denotad c
D
Origenf.Extremoe.Direccióninclinadahacialaderechaconsentidoascendente.
Componentesde un vector grafica y analíticamente.Con ejemplos:
Se llamacomponentesde unvector,situadoene unsistemade coordenadas,al puntoque
tiene comoabcisasladiferenciade las abcisasycomo ordenadaladiferenciade lasordenadas
de lospuntosque conformanel extremoyel origen,enese orden.
Analíticamente:
Dados lospuntosa (3,4) b (-2,3) c (-4,-3) y d (1,0). Determinarlascomponentesde cadaunode
lossiguientesvectores:a) ab b) bc c) cd.
a) ab a (3,4) b (-2,).b-a
Abcisas -2-3 = -5
Ordenadas3-4 = -1
Gráficamente:
MAGNITUDESFÍSICAS DEL VECTOR:
VECTORIALESESCALARES
SENTIDODIRECCIÓN VALORO MÓDULO.
FUERZA PESO
VELOCIDADPRESIÓN
ACELERACIÓN ENERGÍA
VECTORIALES:
Es la que estádeterminadaporlalongitudde laflecha,sudirecciónporel ánguloque forman
el vectory el semieje de lasequis.El sentidose determinaporel extremode unaflecha.
ESCALARES:
Son lasque tienenlapropiedadde quedardeterminadasal conocersuvalornuméricoysu
correspondiente unidad.
OPERACIONES CONVECTORES:
Hay variasclasespara operar con unvector a continuacióntendremosalgunasde estas
operaciones:
Producto de un vector por un escalar:
Al multiplicarunvectora por unescalar n positivo,se obtieneunvectorb= n a de igual
direcciónysentidoaa.
Si n es un escalarnegativose obtieneunvectorb= n a de igual direcciónysentidocontrarioa
a
Suma de vectores:
Para sumar doso más vectoresgráficamente,se colocanunoa continuacióndel otro,de tal
forma,que la cabezade unocoincidacon lacola del otro;el vector sumaserá aquel que tiene
por origen,el origendel primervectorypor cabeza,la cabezadel últimovector.
Diferenciade vectores:
Dados losvectoresay b se define:a- b = a + (-b),oseaesla suma del minuendoconel
opuestodel sustraendo.
Componentesrectangularesde un vector :
Todo vectorse puede expresarcomolasumade losvectoresmutuamenteperpendiculares
llamadoscomponentesrectangularesdel vectordado.
Ax = a cos o
Ay= a seno
Suma de dos o más vectores por componentesrectangulares:
a) Se hallanlascomponentesde cadavector.
b) Se hallalasumatoriade las componentesencadaunode los ejes( V x ; V y ).
c) Se aplicael teoremade Pitágoraspara encontrarel vectorsuma:
Vs= ( Vx)2+ ( Vy)2
Representacióngrafica de un vector:
Se representanmediante unaflechacuyaparte inicial se denominaorigendelvector,ylaparte
final extremoocabezadel vector.
ay a
a x
PROBLEMAS
Problema1
Realizarlasuma de lossiguientesvectores:
A+B 45kg 65kg B
A B A
|A|= 45kg
|B|= 65kg
= 115°
Utilizandolaleyde loscosenostenemos:
Dirección:haciendounángulode 60°+con eje X
De acuerdocon laleyde los senos:
Así de esta maneratenemosque ladireccióndel vectoreshaciendounángulode
60°+39°9=99°9 con el eje X,por últimotambiénsabemosque el sentidodel vectoreshacia
arriba.
VectoresperpendicularesuOrtogonales.Definiciónyejercicios.
Dos vectoressonortogonalessi su productoescalarescero.
Si ademásde ortogonaleslosvectoressonunitariosse llamanortonormales.
A vecesnospidenconstruirunabase ortonormal a partirde otra base que noes ortonormal.
Esto se puede hacerpor el métodode Gram-Schmidt.
SeaB = {b1,b2,b3} unabase que noes ortonormal.Losvectores:
c1 = b1
c2 = b2 - c1.b2/c1.c1(c1)
c3 = b3 - c1.b3/c1.c1(c1) - c2.b3/c2.c2(c2)
Los productosque hay enla fracciónsonproductosescalares.
Ejemplo:Sealabase (1,1,1),(0,2,-1) y (1,0,2).Haciendo lasoperacionesindicadasnosqueda:
El vector(1,1,1) se transformaen (1,1,1).
El vector(0,2,-1) se transformaen(0,2,-1) - 1/3 (1,1,1) = (-1/3, 5/3, -4/3).
El vector(1,0,2) se transformaen (1,0,2) - 3/3 (1,1,1) + 3/7 (-1/3, 5/3, -4/3) = (-1/7, -2/7, 3/7).
VectoresparalelosDYE.
No esdifícil deducirque dosvectorescuyoscomponentessonmúltiplos(enterosono) de otro,
son paralelosentre sí,de maneraque se puede decirque:
Dos vectoresnonulosvy w, sonparalelossi ysólosi existe unescalark,diferente de cero,tal
que
v = kw
Ejemplo1
Dados lossiguientesvectores,grafíquelos,compruebeque sonparalelose identifiqueel valor
del escalar.
u = (2, 4, 1), v = (1, 2, ½);w = (-2, -4,-1)

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El vector

  • 1. CONCEPTO DEL VECTOR: Un vector quedadefinidocuandose dandospuntosenun ordendeterminado;El primerose llamaorigenopuntode aplicacióndel vectoryel segundoextremo. La longituddel segmentodeterminadoporlosdospuntosesel módulodel vector,larecta a la que pertenece dichosegmentoessudirecciónyel sentidoque sobre dicharectadeterminael ordenenque se danlos dospuntosesel sentido. Para la escriturade vectoresse utilizalanotaciónV,lanotaciónV,sinflecha,indicamódulodel vector. El vector está comprendidopor los siguienteselementos: La Dirección:estádeterminadaporlarecta de soporte y puede servertical,horizontal e inclinadauoblicua. La orientación:osentido,estádeterminadaporlaflechaypuede serhorizontal haciala derechao haciala izquierda,verticalhaciaarribao haciaabajo e inclinadaascendenteo descendentehacialaderechaohacia la izquierda. El puntode aplicación:estádeterminadoporel puntoorigendel segmentoque formael vector. La longitudomódulo:esel númeropositivoque representalalongituddel vector. Representacióngraficade unvector.Dado suorigeny su extremo. C Origend.Extremoc. Direcciónvertical consentidohaciaarriba.Se denotad c D Origenf.Extremoe.Direccióninclinadahacialaderechaconsentidoascendente. Componentesde un vector grafica y analíticamente.Con ejemplos: Se llamacomponentesde unvector,situadoene unsistemade coordenadas,al puntoque tiene comoabcisasladiferenciade las abcisasycomo ordenadaladiferenciade lasordenadas de lospuntosque conformanel extremoyel origen,enese orden. Analíticamente: Dados lospuntosa (3,4) b (-2,3) c (-4,-3) y d (1,0). Determinarlascomponentesde cadaunode lossiguientesvectores:a) ab b) bc c) cd.
  • 2. a) ab a (3,4) b (-2,).b-a Abcisas -2-3 = -5 Ordenadas3-4 = -1 Gráficamente: MAGNITUDESFÍSICAS DEL VECTOR: VECTORIALESESCALARES SENTIDODIRECCIÓN VALORO MÓDULO. FUERZA PESO VELOCIDADPRESIÓN ACELERACIÓN ENERGÍA VECTORIALES: Es la que estádeterminadaporlalongitudde laflecha,sudirecciónporel ánguloque forman el vectory el semieje de lasequis.El sentidose determinaporel extremode unaflecha. ESCALARES: Son lasque tienenlapropiedadde quedardeterminadasal conocersuvalornuméricoysu correspondiente unidad. OPERACIONES CONVECTORES: Hay variasclasespara operar con unvector a continuacióntendremosalgunasde estas operaciones:
  • 3. Producto de un vector por un escalar: Al multiplicarunvectora por unescalar n positivo,se obtieneunvectorb= n a de igual direcciónysentidoaa. Si n es un escalarnegativose obtieneunvectorb= n a de igual direcciónysentidocontrarioa a Suma de vectores: Para sumar doso más vectoresgráficamente,se colocanunoa continuacióndel otro,de tal forma,que la cabezade unocoincidacon lacola del otro;el vector sumaserá aquel que tiene por origen,el origendel primervectorypor cabeza,la cabezadel últimovector. Diferenciade vectores: Dados losvectoresay b se define:a- b = a + (-b),oseaesla suma del minuendoconel opuestodel sustraendo. Componentesrectangularesde un vector : Todo vectorse puede expresarcomolasumade losvectoresmutuamenteperpendiculares llamadoscomponentesrectangularesdel vectordado. Ax = a cos o Ay= a seno Suma de dos o más vectores por componentesrectangulares: a) Se hallanlascomponentesde cadavector. b) Se hallalasumatoriade las componentesencadaunode los ejes( V x ; V y ). c) Se aplicael teoremade Pitágoraspara encontrarel vectorsuma: Vs= ( Vx)2+ ( Vy)2 Representacióngrafica de un vector: Se representanmediante unaflechacuyaparte inicial se denominaorigendelvector,ylaparte final extremoocabezadel vector. ay a a x
  • 4. PROBLEMAS Problema1 Realizarlasuma de lossiguientesvectores: A+B 45kg 65kg B A B A |A|= 45kg |B|= 65kg = 115° Utilizandolaleyde loscosenostenemos: Dirección:haciendounángulode 60°+con eje X De acuerdocon laleyde los senos: Así de esta maneratenemosque ladireccióndel vectoreshaciendounángulode 60°+39°9=99°9 con el eje X,por últimotambiénsabemosque el sentidodel vectoreshacia arriba. VectoresperpendicularesuOrtogonales.Definiciónyejercicios. Dos vectoressonortogonalessi su productoescalarescero. Si ademásde ortogonaleslosvectoressonunitariosse llamanortonormales. A vecesnospidenconstruirunabase ortonormal a partirde otra base que noes ortonormal. Esto se puede hacerpor el métodode Gram-Schmidt. SeaB = {b1,b2,b3} unabase que noes ortonormal.Losvectores:
  • 5. c1 = b1 c2 = b2 - c1.b2/c1.c1(c1) c3 = b3 - c1.b3/c1.c1(c1) - c2.b3/c2.c2(c2) Los productosque hay enla fracciónsonproductosescalares. Ejemplo:Sealabase (1,1,1),(0,2,-1) y (1,0,2).Haciendo lasoperacionesindicadasnosqueda: El vector(1,1,1) se transformaen (1,1,1). El vector(0,2,-1) se transformaen(0,2,-1) - 1/3 (1,1,1) = (-1/3, 5/3, -4/3). El vector(1,0,2) se transformaen (1,0,2) - 3/3 (1,1,1) + 3/7 (-1/3, 5/3, -4/3) = (-1/7, -2/7, 3/7). VectoresparalelosDYE. No esdifícil deducirque dosvectorescuyoscomponentessonmúltiplos(enterosono) de otro, son paralelosentre sí,de maneraque se puede decirque: Dos vectoresnonulosvy w, sonparalelossi ysólosi existe unescalark,diferente de cero,tal que v = kw Ejemplo1 Dados lossiguientesvectores,grafíquelos,compruebeque sonparalelose identifiqueel valor del escalar. u = (2, 4, 1), v = (1, 2, ½);w = (-2, -4,-1)