Una elipse es una curva cerrada plana definida como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Una elipse tiene dos ejes perpendiculares entre sí llamados eje mayor y eje menor, y dos focos situados a los extremos del eje mayor. La excentricidad de una elipse indica qué tan aplanada es y depende de la relación entre el semieje mayor y la distancia entre los focos.

1. Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de
las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por
un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz
respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor
genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de
su eje principal genera un esferoide alargado.
Elementos de una elipse
La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y un «eje
menor», trazo CD (que equivale a ); la mitad de cada uno de esos ejes
recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje
mayor» y «semieje menor», respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman «focos».
El punto es uno que pertenezca a la «elipse».
Puntos de una elipse
Si F1 y F2 son dos puntos del plano y d es una constante mayor que la distancia
F1 F2, un punto Q pertenecerá a la elipse, si:
Donde es el semieje mayor de la elipse.

2. Ejes de una elipse
Eje mayor (2 a) es la distancia mayor entre dos puntos adversos. En la figura, longitud
del segmento AB.
La medida a es la mitad del eje mayor, o sea es el semieje mayor. La distancia del
centro de la elipse al punto A o al punto B.
El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos
equivale al eje mayor.
Obsérvese que d(AF2) + d (AF1) = d(AF2) + d (BF2)= AB
La medida b es la mitad del eje menor, o sea es el semieje menor, la distancia del centro
al punto C o al punto D.
Excentricidad de una elipse
La excentricidad de una elipse es la razón entre su semidistancia focal
(segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por
la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
, con (0 < e < 1)
Dado que , también vale la relación:

3. o el sistema:
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada
cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.
Ecuaciones de la elipse
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el
origen, es:
Donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las
abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento
[FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea,
siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:
En coordenadas polares con origen en un de sus focos la ecuación de la elipse
es:
En coordenadas polares con origen en su centro la ecuación de la elipse es:
La ecuación para métrica de una elipse con centro en (h, k) es:

4. Con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares
con origen en el centro de la elipse (tampoco es el ángulo del sistema de
coordenadas polares con origen en algún foco de la elipse). La relación entre α
y θ es
.
Área interior de una elipse
El área de la superficie interior de una elipse es:
Siendo a y b los semiejes.
Longitud de una elipse
El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales
elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se
aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que
la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su formula, entre
otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la
longitud de una elipse:
Propiedades notables
La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se
puede ver en Analogía de Michelson y Morley.