El documento describe el problema de encontrar la ruta más corta en una red y presenta el algoritmo de Dijkstra para resolverlo. El algoritmo itera etiquetando nodos como permanentes o temporales hasta encontrar la ruta óptima. Se proveen ejemplos ilustrativos para encontrar las rutas más cortas entre pares de nodos en diferentes redes.
Este documento presenta 9 temas de preguntas sobre un examen de laboratorio de física. Los temas cubren una variedad de conceptos como mediciones, estadística descriptiva, gráficas lineales, caída libre, dinámica rotacional y circuitos eléctricos. El estudiante debe responder preguntas de selección múltiple y completar tablas y ecuaciones para demostrar su comprensión de los conceptos físicos evaluados.
El documento presenta una introducción a diferentes modelos de optimización de redes como modelos de transbordo, ruta más corta y flujo máximo. Explica conceptos básicos como nodos, arcos, costos y capacidades. También incluye ejemplos ilustrativos de cada modelo y su formulación matemática.
Este documento describe el diseño de un compensador de adelanto en el dominio de la frecuencia. Explica que este tipo de compensador siempre introduce un ángulo de fase positivo en la respuesta en frecuencia de un sistema, mejorando su estabilidad. Deriva fórmulas para calcular el ángulo de fase máximo que puede aportar en función del parámetro α que define la red de adelanto. Luego, presenta un ejemplo completo de diseño de un compensador de adelanto para lograr un margen de fase requerido de 60° a una frecuencia de 3
Descomposición en Landscapes Elementales del Problema de Diseño de Redes de R...jfrchicanog
El documento describe la descomposición del problema de diseño de redes de radio en funciones elementales. Explica que la función objetivo que minimiza el número de antenas es elemental, mientras que la función que maximiza la cobertura puede escribirse como suma de hasta n funciones elementales, donde n es el número máximo de posiciones para antenas. Además, presenta ejemplos de cómo otras funciones objetivo complejas en otros problemas de optimización también se pueden descomponer en funciones elementales para analizar mejor la estructura del problema.
El resumen trata sobre la teoría de exponentes y ecuaciones de primer grado. Se presentan 5 ejercicios resueltos que involucran operaciones con exponentes, simplificación de expresiones y resolución de ecuaciones de primer grado.
Este documento presenta problemas de trigonometría relacionados con funciones trigonométricas. Contiene 14 problemas que abarcan temas como calcular períodos de funciones, determinar si funciones son crecientes o decrecientes, hallar reglas de correspondencia a partir de condiciones dadas, graficar funciones y calcular áreas. El documento provee una guía de problemas para que los estudiantes practiquen conceptos básicos de funciones trigonométricas.
Este documento presenta 9 problemas de trigonometría para repasar conceptos fundamentales. Los problemas incluyen calcular valores trigonométricos dados gráficos y expresiones, simplificar expresiones trigonométricas, y resolver ecuaciones trigonométricas. El documento provee una guía práctica para revisar conceptos clave de trigonometría como funciones trigonométricas, identidades trigonométricas, y relaciones en triángulos rectángulos y no rectángulos.
I. El documento presenta las funciones trigonométricas inversas seno, coseno y tangente, definiendo sus dominios y rangos.
II. Explica cómo calcular cada función inversa y las relaciones que cumplen con sus respectivas funciones originales.
III. Proporciona ejercicios para practicar el cálculo y dominios de las funciones trigonométricas inversas.
Este documento presenta 9 temas de preguntas sobre un examen de laboratorio de física. Los temas cubren una variedad de conceptos como mediciones, estadística descriptiva, gráficas lineales, caída libre, dinámica rotacional y circuitos eléctricos. El estudiante debe responder preguntas de selección múltiple y completar tablas y ecuaciones para demostrar su comprensión de los conceptos físicos evaluados.
El documento presenta una introducción a diferentes modelos de optimización de redes como modelos de transbordo, ruta más corta y flujo máximo. Explica conceptos básicos como nodos, arcos, costos y capacidades. También incluye ejemplos ilustrativos de cada modelo y su formulación matemática.
Este documento describe el diseño de un compensador de adelanto en el dominio de la frecuencia. Explica que este tipo de compensador siempre introduce un ángulo de fase positivo en la respuesta en frecuencia de un sistema, mejorando su estabilidad. Deriva fórmulas para calcular el ángulo de fase máximo que puede aportar en función del parámetro α que define la red de adelanto. Luego, presenta un ejemplo completo de diseño de un compensador de adelanto para lograr un margen de fase requerido de 60° a una frecuencia de 3
Descomposición en Landscapes Elementales del Problema de Diseño de Redes de R...jfrchicanog
El documento describe la descomposición del problema de diseño de redes de radio en funciones elementales. Explica que la función objetivo que minimiza el número de antenas es elemental, mientras que la función que maximiza la cobertura puede escribirse como suma de hasta n funciones elementales, donde n es el número máximo de posiciones para antenas. Además, presenta ejemplos de cómo otras funciones objetivo complejas en otros problemas de optimización también se pueden descomponer en funciones elementales para analizar mejor la estructura del problema.
El resumen trata sobre la teoría de exponentes y ecuaciones de primer grado. Se presentan 5 ejercicios resueltos que involucran operaciones con exponentes, simplificación de expresiones y resolución de ecuaciones de primer grado.
Este documento presenta problemas de trigonometría relacionados con funciones trigonométricas. Contiene 14 problemas que abarcan temas como calcular períodos de funciones, determinar si funciones son crecientes o decrecientes, hallar reglas de correspondencia a partir de condiciones dadas, graficar funciones y calcular áreas. El documento provee una guía de problemas para que los estudiantes practiquen conceptos básicos de funciones trigonométricas.
Este documento presenta 9 problemas de trigonometría para repasar conceptos fundamentales. Los problemas incluyen calcular valores trigonométricos dados gráficos y expresiones, simplificar expresiones trigonométricas, y resolver ecuaciones trigonométricas. El documento provee una guía práctica para revisar conceptos clave de trigonometría como funciones trigonométricas, identidades trigonométricas, y relaciones en triángulos rectángulos y no rectángulos.
I. El documento presenta las funciones trigonométricas inversas seno, coseno y tangente, definiendo sus dominios y rangos.
II. Explica cómo calcular cada función inversa y las relaciones que cumplen con sus respectivas funciones originales.
III. Proporciona ejercicios para practicar el cálculo y dominios de las funciones trigonométricas inversas.
Este documento contiene las soluciones y explicaciones de varios ejercicios de trigonometría. Los ejercicios involucran cálculos trigonométricos, simplificación de expresiones y relaciones trigonométricas. Las soluciones muestran los pasos para reducir y simplificar las expresiones dadas hasta obtener el resultado correcto.
Este documento contiene 7 preguntas de selección múltiple sobre cálculo integral y geometría. Cada pregunta presenta un problema o ejercicio de cálculo integral o de hallar áreas, volúmenes o longitudes y ofrece 4 opciones de respuesta. El documento incluye los desarrollos y cálculos matemáticos para resolver cada pregunta.
Este documento presenta varios modelos y algoritmos para resolver problemas de optimización en redes, incluyendo modelos de redes de transporte, el problema de la ruta más corta, el árbol de expansión mínimo y el flujo máximo. Explica los pasos para formular y resolver cada problema matemáticamente usando programación lineal u otros métodos como el algoritmo glotón. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cada modelo.
El documento presenta varios problemas de álgebra que involucran conceptos como polinomios, grados de polinomios, identidades polinómicas y propiedades de polinomios como ser homogéneo y ordenado. Se piden calcular valores numéricos relacionados a los problemas planteados.
Este documento presenta cuatro ejemplos numéricos que involucran distribuciones de probabilidad Gamma y Weibull. El primer ejemplo calcula parámetros y probabilidades para una distribución Gamma. El segundo ejemplo calcula una probabilidad para una distribución exponencial. El tercer ejemplo calcula parámetros y probabilidades para una distribución Weibull. El cuarto ejemplo calcula probabilidades y la media para la duración de cojinetes modelados por una distribución Weibull.
Este documento describe un experimento para diseñar un controlador mediante respuesta en frecuencia para un sistema de lazo cerrado. El objetivo es satisfacer especificaciones de desempeño como una constante de error estático de 4 seg-1, un margen de fase de 50 grados y un margen de ganancia de al menos 10 dB. Se diseña un controlador de adelanto y se grafican las respuestas en frecuencia del sistema compensado para verificar que cumple los requisitos.
Este documento presenta aplicaciones de la integral definida para calcular áreas, volúmenes y longitudes. Explica cómo aproximar el área de una región mediante rectángulos y cómo definir el área exacta como un límite. También cubre el cálculo del área entre dos curvas y presenta ejemplos resueltos.
El documento presenta el Teorema de Green y su aplicación para transformar integrales de línea en integrales de área. Explica cómo usar el teorema para calcular áreas delimitadas por curvas mediante la integración de un campo vectorial a lo largo de la curva. También discute limitaciones del teorema y presenta ejemplos de su aplicación para resolver problemas físicos.
Este documento contiene las respuestas a varios problemas y ejercicios de matemáticas. En la primera sección se calcula la energía almacenada en un condensador. Luego, se calcula la potencia aplicada a una cuerda elástica. Finalmente, se determina el área de una región sombreada de una gráfica.
El teorema de Green establece la relación entre una integral alrededor de una curva cerrada "C" y una integral doble sobre la región "D" limitada por "C". Específicamente, si P y Q tienen derivadas parciales continuas en la región que contiene a "D", entonces la integral de Pdx + Qdy alrededor de "C" es igual a la integral doble de (∂Q/∂x - ∂P/∂y) sobre la región "D".
1) El documento presenta conceptos sobre inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo propiedades, resolución y conjuntos de solución. 2) Se definen también inecuaciones con valor absoluto, radiciales, exponenciales e intervalos. 3) Finalmente, se proponen ejercicios resueltos sobre diferentes tipos de inecuaciones.
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo integrales dobles y triples. Discute aplicaciones geométricas como el cálculo del área de una figura plana y volúmenes de sólidos. También cubre aplicaciones físicas como el cálculo de masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo del área de diferentes regiones usando integrales dobles.
El documento describe varios métodos para asignar recursos de manera óptima, incluyendo el método de asignación, método gráfico y método de aproximación de Vogel. Explica el procedimiento para cada método con ejemplos numéricos ilustrativos que involucran la asignación de tareas a empleados, la producción de productos y el transporte de materiales.
Examen de la nueva selectividad de Matemáticas, modelo B20minutos
Este documento presenta dos unidades de evaluación para una prueba de acceso a la universidad de matemáticas. La primera unidad trata sobre el Circuito Ricardo Tormo en Cheste y contiene información sobre el circuito y dos problemas relacionados con el trazado y la velocidad. La segunda unidad trata sobre estrellas mudéjares y contiene dos problemas relacionados con el cálculo de áreas y probabilidades en juegos basados en estas figuras.
El documento describe el problema del agente viajero y diferentes métodos para resolverlo, incluyendo fuerza bruta. El problema del agente viajero implica encontrar la ruta más corta para visitar todas las ciudades exactamente una vez y regresar al punto de origen. El método de fuerza bruta genera todas las permutaciones posibles y evalúa cada una para encontrar la ruta óptima, pero este enfoque no es práctico para problemas con más de 20 ciudades debido a su complejidad de O(n!).
El documento describe dos métodos para diseñar controladores digitales: indirecto y directo. Explica que el método directo diseña el controlador digital directamente en el dominio discreto utilizando la función de transferencia del proceso, mientras que el método indirecto primero diseña el controlador en el dominio continuo y luego lo transforma al dominio discreto. También presenta el concepto de lugar geométrico de las raíces y cómo se puede usar para analizar la estabilidad de un sistema de lazo cerrado en función de la ganancia del controlador y el período de muest
Este documento describe el modelo de Bryton para minimizar el tiempo de ciclo en una línea de ensamble dada un número fijo de estaciones de trabajo. El modelo asume que minimizando el tiempo ocioso de cada estación se minimiza el tiempo total de retraso de toda la línea. Se presenta un procedimiento iterativo de intercambio de elementos entre estaciones para converger en una solución óptima.
El documento describe un experimento de tracción realizado en probetas de acero al carbono utilizando dos máquinas diferentes. En la primera parte se usó una máquina universal para probar probetas cilíndrica y plana, midiendo propiedades como alargamiento, resistencia y módulo de Young. En la segunda parte se usó una máquina electrónica para probar otra probeta plana, obteniendo datos de forma automática y más precisa.
Este documento presenta 8 ejercicios de cálculo numérico que involucran el uso de reglas como la del trapecio y Simpson para aproximar integrales definidas. Los ejercicios incluyen aproximar integrales con límites infinitos, calcular la masa que entra a un reactor químico, estimar las ganancias de venta de motores usando aproximaciones numéricas de integrales, y calcular la temperatura promedio de los frenos de un disco usando una integral.
Este documento presenta el proyecto eléctrico para impulsar una bomba centrífuga capaz de elevar 1000000 litros de agua por hora a 50 metros. Se selecciona un motor trifásico de 160 kW y se diseña el accionamiento con correa y poleas para transmitir la potencia al bomba. Se incluyen cálculos para determinar los parámetros del sistema como la relación de transmisión, las características de par y los tiempos de arranque.
Este documento presenta varios problemas de matemáticas financieras. Incluye cálculos para determinar el número mínimo de unidades que deben venderse para obtener ganancias, el número mínimo de días que debe usarse una máquina para justificar su renta sobre su compra, y el número mínimo de kilómetros que debe conducirse un auto para que sea más económico comprarlo que rentarlo. Proporciona respuestas detalladas a cada problema planteado.
Este documento contiene las soluciones y explicaciones de varios ejercicios de trigonometría. Los ejercicios involucran cálculos trigonométricos, simplificación de expresiones y relaciones trigonométricas. Las soluciones muestran los pasos para reducir y simplificar las expresiones dadas hasta obtener el resultado correcto.
Este documento contiene 7 preguntas de selección múltiple sobre cálculo integral y geometría. Cada pregunta presenta un problema o ejercicio de cálculo integral o de hallar áreas, volúmenes o longitudes y ofrece 4 opciones de respuesta. El documento incluye los desarrollos y cálculos matemáticos para resolver cada pregunta.
Este documento presenta varios modelos y algoritmos para resolver problemas de optimización en redes, incluyendo modelos de redes de transporte, el problema de la ruta más corta, el árbol de expansión mínimo y el flujo máximo. Explica los pasos para formular y resolver cada problema matemáticamente usando programación lineal u otros métodos como el algoritmo glotón. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cada modelo.
El documento presenta varios problemas de álgebra que involucran conceptos como polinomios, grados de polinomios, identidades polinómicas y propiedades de polinomios como ser homogéneo y ordenado. Se piden calcular valores numéricos relacionados a los problemas planteados.
Este documento presenta cuatro ejemplos numéricos que involucran distribuciones de probabilidad Gamma y Weibull. El primer ejemplo calcula parámetros y probabilidades para una distribución Gamma. El segundo ejemplo calcula una probabilidad para una distribución exponencial. El tercer ejemplo calcula parámetros y probabilidades para una distribución Weibull. El cuarto ejemplo calcula probabilidades y la media para la duración de cojinetes modelados por una distribución Weibull.
Este documento describe un experimento para diseñar un controlador mediante respuesta en frecuencia para un sistema de lazo cerrado. El objetivo es satisfacer especificaciones de desempeño como una constante de error estático de 4 seg-1, un margen de fase de 50 grados y un margen de ganancia de al menos 10 dB. Se diseña un controlador de adelanto y se grafican las respuestas en frecuencia del sistema compensado para verificar que cumple los requisitos.
Este documento presenta aplicaciones de la integral definida para calcular áreas, volúmenes y longitudes. Explica cómo aproximar el área de una región mediante rectángulos y cómo definir el área exacta como un límite. También cubre el cálculo del área entre dos curvas y presenta ejemplos resueltos.
El documento presenta el Teorema de Green y su aplicación para transformar integrales de línea en integrales de área. Explica cómo usar el teorema para calcular áreas delimitadas por curvas mediante la integración de un campo vectorial a lo largo de la curva. También discute limitaciones del teorema y presenta ejemplos de su aplicación para resolver problemas físicos.
Este documento contiene las respuestas a varios problemas y ejercicios de matemáticas. En la primera sección se calcula la energía almacenada en un condensador. Luego, se calcula la potencia aplicada a una cuerda elástica. Finalmente, se determina el área de una región sombreada de una gráfica.
El teorema de Green establece la relación entre una integral alrededor de una curva cerrada "C" y una integral doble sobre la región "D" limitada por "C". Específicamente, si P y Q tienen derivadas parciales continuas en la región que contiene a "D", entonces la integral de Pdx + Qdy alrededor de "C" es igual a la integral doble de (∂Q/∂x - ∂P/∂y) sobre la región "D".
1) El documento presenta conceptos sobre inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo propiedades, resolución y conjuntos de solución. 2) Se definen también inecuaciones con valor absoluto, radiciales, exponenciales e intervalos. 3) Finalmente, se proponen ejercicios resueltos sobre diferentes tipos de inecuaciones.
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo integrales dobles y triples. Discute aplicaciones geométricas como el cálculo del área de una figura plana y volúmenes de sólidos. También cubre aplicaciones físicas como el cálculo de masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo del área de diferentes regiones usando integrales dobles.
El documento describe varios métodos para asignar recursos de manera óptima, incluyendo el método de asignación, método gráfico y método de aproximación de Vogel. Explica el procedimiento para cada método con ejemplos numéricos ilustrativos que involucran la asignación de tareas a empleados, la producción de productos y el transporte de materiales.
Examen de la nueva selectividad de Matemáticas, modelo B20minutos
Este documento presenta dos unidades de evaluación para una prueba de acceso a la universidad de matemáticas. La primera unidad trata sobre el Circuito Ricardo Tormo en Cheste y contiene información sobre el circuito y dos problemas relacionados con el trazado y la velocidad. La segunda unidad trata sobre estrellas mudéjares y contiene dos problemas relacionados con el cálculo de áreas y probabilidades en juegos basados en estas figuras.
El documento describe el problema del agente viajero y diferentes métodos para resolverlo, incluyendo fuerza bruta. El problema del agente viajero implica encontrar la ruta más corta para visitar todas las ciudades exactamente una vez y regresar al punto de origen. El método de fuerza bruta genera todas las permutaciones posibles y evalúa cada una para encontrar la ruta óptima, pero este enfoque no es práctico para problemas con más de 20 ciudades debido a su complejidad de O(n!).
El documento describe dos métodos para diseñar controladores digitales: indirecto y directo. Explica que el método directo diseña el controlador digital directamente en el dominio discreto utilizando la función de transferencia del proceso, mientras que el método indirecto primero diseña el controlador en el dominio continuo y luego lo transforma al dominio discreto. También presenta el concepto de lugar geométrico de las raíces y cómo se puede usar para analizar la estabilidad de un sistema de lazo cerrado en función de la ganancia del controlador y el período de muest
Este documento describe el modelo de Bryton para minimizar el tiempo de ciclo en una línea de ensamble dada un número fijo de estaciones de trabajo. El modelo asume que minimizando el tiempo ocioso de cada estación se minimiza el tiempo total de retraso de toda la línea. Se presenta un procedimiento iterativo de intercambio de elementos entre estaciones para converger en una solución óptima.
El documento describe un experimento de tracción realizado en probetas de acero al carbono utilizando dos máquinas diferentes. En la primera parte se usó una máquina universal para probar probetas cilíndrica y plana, midiendo propiedades como alargamiento, resistencia y módulo de Young. En la segunda parte se usó una máquina electrónica para probar otra probeta plana, obteniendo datos de forma automática y más precisa.
Este documento presenta 8 ejercicios de cálculo numérico que involucran el uso de reglas como la del trapecio y Simpson para aproximar integrales definidas. Los ejercicios incluyen aproximar integrales con límites infinitos, calcular la masa que entra a un reactor químico, estimar las ganancias de venta de motores usando aproximaciones numéricas de integrales, y calcular la temperatura promedio de los frenos de un disco usando una integral.
Este documento presenta el proyecto eléctrico para impulsar una bomba centrífuga capaz de elevar 1000000 litros de agua por hora a 50 metros. Se selecciona un motor trifásico de 160 kW y se diseña el accionamiento con correa y poleas para transmitir la potencia al bomba. Se incluyen cálculos para determinar los parámetros del sistema como la relación de transmisión, las características de par y los tiempos de arranque.
Este documento presenta varios problemas de matemáticas financieras. Incluye cálculos para determinar el número mínimo de unidades que deben venderse para obtener ganancias, el número mínimo de días que debe usarse una máquina para justificar su renta sobre su compra, y el número mínimo de kilómetros que debe conducirse un auto para que sea más económico comprarlo que rentarlo. Proporciona respuestas detalladas a cada problema planteado.
Este documento presenta varios modelos de redes y problemas relacionados con la administración de proyectos. Incluye ejemplos de diagramas de red, algoritmos para encontrar rutas más cortas y árboles de expansión mínima, así como la formulación de un problema de flujo máximo.
Este documento describe el modelo estadístico y análisis de varianza para un diseño cuadro latino. Se definen los tratamientos de las columnas, hileras y tratamientos sorteados. Los datos se recopilan y suman. Se calcula la suma de cuadrados total y de los tratamientos. Esto permite determinar si existen diferencias significativas entre los tratamientos evaluados.
Titulo informe de estadisticasan etes de ordenadsjeremycristhian
Este documento resume los resultados de un estudio estadístico sobre los tiempos de llegada de buses en la estación Naranjal. En el Caso I, que analizó varias líneas en la mañana, se encontró un tiempo promedio de 94 segundos entre buses con una desviación estándar de 116 segundos. En el Caso II, estudiando una sola línea en la tarde-noche, el tiempo promedio fue de 107 segundos con una desviación estándar de 101 segundos.
El documento presenta dos casos de estudio sobre líneas de producción. El primer caso analiza una línea que produce 60 unidades por hora y calcula su eficiencia basada en 5 estaciones. El segundo caso estudia una línea de 13 pasos que debe producir 20 automóviles por hora, presentando un diagrama de precedencia y cálculos de tiempo de ciclo, número de estaciones y eficiencia.
El documento describe los resultados de un estudio de suelo realizado para determinar la capacidad portante del suelo en una ubicación específica, con el fin de diseñar un pavimento para una vía. Se realizó un apique-sondeo que incluyó pruebas como límites líquido y plástico, así como análisis de humedad y granulometría. Adicionalmente, se presentan datos como el tráfico promedio diario existente y pronosticado, y parámetros de diseño como módulos de reacción y coeficientes
DISEÑO DE PAVIMENTOS FLEXIBLES METODO SHELL..pdfLuisSosa281895
Este documento proporciona instrucciones para el diseño de pavimentos flexibles utilizando el método Shell. Explica los parámetros que deben considerarse como el tránsito, la temperatura, las propiedades de los materiales y las características de la mezcla asfáltica. Además, proporciona ejemplos numéricos para calcular el tránsito acumulado, la temperatura promedio ponderada y determinar el tipo y rigidez de la mezcla asfáltica requerida.
El documento describe diferentes métodos para resolver problemas de transporte y asignación de recursos en programación lineal, como el método de la esquina noroeste, el método del costo mínimo, el método de Vogel y el método húngaro. Se provee un ejemplo para ilustrar cada método y se explican los pasos a seguir en cada uno.
El documento describe diferentes métodos para resolver problemas de transporte y asignación de recursos en programación lineal, como el método de esquina noroeste, el método del costo mínimo, el método húngaro y el método de pasos secuenciales. Incluye ejemplos para ilustrar cada método.
El documento describe diferentes métodos para resolver problemas de transporte y asignación de recursos en programación lineal, como el método de esquina noroeste, el método del costo mínimo, el método de Vogel y el método húngaro. Proporciona ejemplos para ilustrar cada método y explica los pasos involucrados en su aplicación.
Contiene los pasos llevados a cabo para determinar el diámetro mínimo de un árbol giratorio que transmite potencia a un tornillo sin fin, además se incluye el procedimiento de cálculo y selección de rodamientos y lubricante.
Este documento presenta varios problemas de métodos numéricos resueltos por un estudiante. Incluye problemas sobre interpolación polinómica de Lagrange y Newton para predecir velocidades y posiciones de un automóvil, aproximar voltajes en un circuito eléctrico, ajustar polinomios de mínimos cuadrados a conjuntos de datos, e interpolar funciones para determinar caudales de bombeo.
Similar a Elprobdelarutamascortawpv1 121120102007-phpapp02 (20)
1. 1
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
El problema de la ruta ma s corta
El modelo de la ruta más corta se refiere a una red en la cual cada arco ( i, j ) tiene asociado un
número, ij c , el cual se interpreta como la distancia (o tal vez el costo o el tiempo) desde el
nodo i hasta el nodo j . Una ruta o camino entre dos nodos es cualquier secuencia de arcos
que los conecte. El objetivo consiste en encontrar las rutas más cortas (o de menor costo o
más rápidas) desde un nodo especifico hasta cada uno de los demás nodos de la red.
Ejemplo01
La administración de seervada park necesita encontrar la ruta más corta desde la entrada del
parque (nodo O) hasta el mirador (nodo T) a través del sistema de caminos que se presenta en
la figura siguiente:
O
A
C
B
D
E
T
2
5
7
4
4
1
4
2
3
7
1
5
Métodos de solución:
Un método sencillo para aprender a enfrentar este problema es el de la fuerza bruta.
Fuerza bruta: consiste en explorar cada uno delos caminos posibles a fin de determinar cuál es
el mejor.
En el grafo anterior resulta bastante sencillo determinar todas las soluciones posibles.
1. Secuencia: O-A-D-T=14u.
O
A D
T
2
7
5
2. 2
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
2. Secuencia: O-A-B-D-T=13u.
O
A
B
D
T
2
4
2
5
3. Secuencia: O-B-D-T=14u.
O B
D
T
4
5
5
4. Secuencia: O-B-D-T=14u.
O B
D
E
T
5
3
1
5
Podríamos seguir así enumerando cada una de las rutas, hasta ahora la mínima es de 13u.
Otros métodos mucho más rápidos y eficientes para resolver este tipo de problemas son:
1. Método simplex para redes
2. Algoritmo de Dijkstra
3. Algoritmo de Bellman-Ford
3. 3
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Algoritmo de Dijkstra
Vamos a resolver el Ejemplo 01 para determinar la ruta más corta desde “O” hasta “T”.
Iteración 01: procedemos a etiquetar el nodo origen y lo convertimos en permanente, luego
etiquetamos los nodos adyacentes, directamente conectados que serán denominados nodos
temporales.
O
A A
C C
B B
D D
E E
T
2
5
7
4
4
1
4
2
3
7
1
5
(0)
0,
(1)
2,O
(1)
4,O
(1)
5,O
Iteración 02: de alguno de los nodos temporales elegimos aquel que tenga el menor costo total
asociado y lo convertimos en permanente y actualizamos los nodos temporales.
O
A
C
B
D
E
T
2
5
7
4
4
1
4
2
3
7
1
5
(0)
0,
(1)
4,O
(1)
2,O
(1)
5,O
(2)
4, A
(2)
9, A
Iteración 03:
Procedencia:
Nodo anterior
Costo total
asociado
Iteración
4. 4
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
O
A
C
B
D
E
T
2
5
7
4
4
1
4
2
3
7
1
5
(0)
0,
(1)
4,O
(1)
2,O
(1)
5,O
(2)
4, A
(2)
9, A
(3)
8,C
Iteración 04:
O
A
C
B
D
E
T
2
5
7
4
4
1
4
2
3
7
1
5
(0)
0,
(1)
4,O
(1)
2,O
(1)
5,O
(2)
4, A
(2)
9, A
(3)
8,C
(4)
7, B
(4)
8, B
Iteración 05:
O
A
C
B
D
E
T
2
5
7
4
4
1
4
2
3
7
1
5
(0)
0,
(1)
4,O
(1)
2,O
(1)
5,O
(2)
4, A
(2)
9, A
(3)
8,C
(4)
7, B
(4)
8, B
(5)
14, E
5. 5
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Iteración 06:
O
A
C
B
D
E
T
2
5
7
4
4
1
4
2
3
7
1
5
(0)
0,
(1)
4,O
(1)
2,O
(1)
5,O
(2)
4, A
(2)
9, A
(3)
8,C
(4)
7, B
(4)
8, B
(5)
14, E
(6)
13,D
Al convertir permanente al último nodo nos indica que hemos encontrado la solución óptima,
es decir la ruta más corta que sería la siguiente:
O
A
C
B
D
E
T
2
5
7
4
4
1
4
2
3
7
1
5
(0)
0,
(1)
4,O
(1)
2,O
(1)
5,O
(2)
4, A
(2)
9, A
(3)
8,C
(4)
7, B
(4)
8, B
(5)
14, E
(6)
13,D
La ruta con distancia mínima de “O” hasta “T” es de 13u. Lo determinamos ahora de atrás
hacia adelante, el cual se ha encontrado con 6 iteraciones.
O-A-B-D-T
Ejemplo 02
Una persona tiene que trasladarse a diario del pueblo A al pueblo H. está estudiando cual es el
trayecto más corto usando un mapa de carreteas.
Las carreteras y sus distancias están representadas en la siguiente matriz:
6. 6
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
A B C D E F G H
A 12 4
B 5 3
C 2 6
D 8
E 7
F 5
G 3
H
Encuentre la solución a su problema utilizando el algoritmo de Dijkstra
Solución:
A
B
C
D
E
F
12
3
4
6
2
5
2
3
G
5
8
H
7
(0)
0,
(1)
4, A
(1)
12, A
(2)
6,C
(2)
10,C
(3)
14,D
(5)
15, B
(4)
15, F
(6)
17,G
(7)
22, E
El camino, ruta mínima o más corta será:
A-C-D-G-H= 17 Km.
Ejercicio 01
Determine la ruta más corta entre los nodos 1 y 8 de la siguiente red.
1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
3
3
4
4
5
2
2 3
2
2
5
8
7
3
2
4
7. 7
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Ejercicio 02
1
2 2
4 4
3 3
5 5
7
3
2
3
3
2
1 3
2
3
6
1
2
G. D. Eppend
F. J. Gould
C. P. Schmidt
Jeffrey H. Moore
Larry R. Weatherford.
Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa
5Ta edición Prentice Hall
pp. 244.
Modelo de reemplazo de equipos
Ejercicio 01
Rentcar está desarrollando un plan de reemplazo para su flotilla de automóviles para un
horizonte de planificación de 5 años (1996 a 2000). Al principio de cada año se toma una
decisión acerca de si se debe mantener un automóvil en operación o si se debe reemplazar. Un
automóvil debe estar en servicio por lo menos un año, pero se debe reemplazar después de
tres años. La siguiente tabla proporciona el costo de reemplazo como una función del año en el
cual se adquiere un automóvil y el número de años de operación.
Año que
se adquirió
Costo de reemplazo ($) por determinados
años en operación
1 2 3
1996 4000 5400 9800
1997 4300 6200 8700
1998 4800 7100 -
1999 4900 - --
8. 8
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Ejercicio 02
Los cinco nodos que aparecen en la red siguiente representan puntos en el tiempo, a un año
de distancia, durante un periodo de 4 años. Cada nodo señala el momento en el que se debe
tomar una decisión con respecto a conservar o reemplazar el equipo de computación de la
compañía. Si se toma la decisión de reemplazar el equipo se debe también tomar una decisión
con respecto a cuánto tiempo se utilizará el nuevo equipo. El arco que va del nodo 0 al nodo 1
representa la decisión de conservar el equipo actual durante un año y reemplazarlo al final de
ese año. El arco que va del nodo 0 al nodo 2 representa la decisión de conservar el equipo
actual durante 2 años y remplazarlo al final de esos 2 años. Los números que aparecen por
encima de los arcos señalan los costos totales correspondientes a las decisiones de reemplazo
de equipo; estos costos incluyen el precio de compra descontando, el valor de reventa, los
costos de operación y los costes de mantenimiento.
Determine la política de remplazo de equipo de costo mínimo para el periodo de 4 años.
0 1 2 3 4
600 500 800 700
1000
2800
2000
1400
2100
1600
Ejercicio 03
Un taller de automotores debe tener siempre un analizador de motor disponible. Un
analizador nuevo cuesta 1000$. El costo i m por el mantenimiento de un analizador durante su
i ésimo año de funcionamiento es como sigue: m1 60$,m2 80$,m3 120$ . Un
analizador se podrá tener durante 1;2ó3 años y después de usarlo i años ( i 1;2;3) se podría
vender y realizar un pago inicial de uno nuevo. Si se compra un analizador nuevo y se vende el
de i años de antigüedad, se obtiene un valor de salvamento (equipo viejo) i s , donde
1 s 800$ , 2 s 600$, 3 s 500$ . Dado que una maquina nueva se debe comprar hoy
(tiempo 0, ver figura), el taller desea determinar una política de reemplazo o reposición y de
valor de equipo viejo para darlo como pago inicial de uno nuevo que minimice:
Los costos netos=(costo de mantenimiento)+(costo de reposición)-(valor de salvamento o de
reventa) durante los siguientes 5 años.
0 1 2 3 4
Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
5
Año 5
Tiempo 0 Tiempo 1 Tiempo 2 Tiempo 3 Tiempo 4 Tiempo 5
9. 9
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Costos
años
1 2 3
Mantenimiento i m 60 80 120
Salvamento i s 800 600 500
Costo de reposición: 1000$
Costos netos= (costo de mantenimiento)+(costo de reposición)-(valor de salvamento)
0-1: 60+1000-800=260
0-2: 140+1000-600=540
0-3: 260+1000-500=760
1-2:
1-3:
1-4:
Solución óptima: costo mínimo 1280$
Ruta más corta: 1-4-5 y 3-4-5
10. 10
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Solucionario
Ejercicio 01
1. El problema se puede formular como una red en la cual los nodos 1 al 5 representan los
años, 1996 al 2000.
2. Los arcos del nodo 1 (año 1996) pueden llegar solo a los nodos 2; 3 y 4, debido a que un
automóvil debe estar en operación entre uno y tres años.
3. Los arcos de los otros nodos se pueden interpretar de manera similar.
4. El largo de cada arco es igual al costo del reemplazo
5. La solución al problema es equivalente a encontrar la ruta ms corta entre los nodos 1 y 5.
1 2 3 4 5
4000 4300 4800 4900
5400
9800
6200
8700
7100
1996 2000
(0)
0,
(1)
4000,1
(1)
5400,1 (1)
9800,1
(2)
8300,2 (2)
10200,2
(2)
12700,2
(3)
10200,3
(3)
12500,3
(4)
14700,4
Utilizando el algoritmo de Dijkstra la ruta más corta entre el nodo 1 y 5 es: 1-3-5, con un costo
total de 12,500 dolares.
Esta solución significa que: el automóvil adquirido en el año 1996(nodo 1) debe ser
reemplazado después de dos años, en 1998 (nodo 3). Así, el automóvil de reemplazo se
mantendrá en operación hasta finales del año 2000.
El costo total de esta política de reemplazo es de 12,500$ (5400+7100 dolares).
Ejercicio 02
0 1 2 3 4
600 500 800 700
1000
2800
2000
1400
2100
1600
(0)
0,
(1)
6,o
(1)
10,o (1)
20,o
(1)
28,o
(2)
11,1 (2)
20,1
(2)
27,1
(3)
18,2
(3)
26,2
(4)
25,3
11. 11
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
o La solución al problema es equivalente a encontrar la ruta más corta entre los nodos 0 y 4
o Utilizando el algoritmo de Dijkstra tenemos que la ruta más corta entre el nodo 0 y 4 es: 0-2-3-4 con un costo total mínimo de 2500 dolares.
o Esto quiere decir que el equipo que se adquiere en el nodo 0 se debe conservar 2 años y luego reemplazarlo, y el equipo que se adquiere en el nodo 2 se conservará un año y luego se renueva y este último también se conserva solo un año.
o Con esta política el costo total en el que se incurre es de 2500 dolares.