Este documento presenta varios modelos de redes y problemas relacionados con la administración de proyectos. Incluye ejemplos de diagramas de red, algoritmos para encontrar rutas más cortas y árboles de expansión mínima, así como la formulación de un problema de flujo máximo.

1. UNIDAD III
MODELO DE REDES Y ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
ROSA G. | Investigaciónde OperacionesII
1
MODELO DE REDES
EJERCICIO 1
Almacenes MB distribuye sus artículos en 5 ciudades, por lo regular dispone de 10
artículos insitu. Estos artículos deben ser enviados a 2 locales de construcción
designados con el número 3 y 4.
En el local 3 se necesitan 3 artículos y 7 en el otro local.
Elabore:
 El diagrama de Red
 El diagrama de capacidades y costos agregados
 La formulación de programación lineal (PL) de este problema.
 La matriz de incidencia (nodo-arco)
 La tabla de transporte
Desarrollo:
Minimizar:
𝒁 = 𝐶12 𝑋12 + 𝐶23 𝑋23 + 𝐶24 𝑋24 + 𝐶25 𝑋25 + 𝐶34 𝑋34 + 𝐶43 𝑋43 + 𝐶53 𝑋53
𝑋12 = 10
-𝑋12 + 𝑋23 + 𝑋24 + 𝑋25 = 0
−𝑋23 + 𝑋34 − 𝑋43 − 𝑋53 = −3
−𝑋24 − 𝑋34 + 𝑋43 − 𝑋54 = −7
−𝑋25 + 𝑋53 + 𝑋54 = 0
+10
1 2
5
4
3
-3
-7
C54
C43
C12
C25
C24
C23
+10
1 2
5
4
3
-3
-7
U12
U23
U24
U25
U53
C53
C34
U34
U43
U54

2. UNIDAD III
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Matriz de incidencia
Tabla de Transporte
𝒁 = 𝟑𝑷𝟏𝟑 + 𝟕𝑷𝟏𝟒
EJEMPLO 2
NODO (1,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (4,3) (5,3) (5,4) VALOR
1 1 0 0 0 0 0 0 0 10
2 -1 1 1 1 0 0 0 0 0
3 0 -1 0 0 1 -1 -1 0 -3
4 0 0 -1 0 -1 1 0 -1 -7
5 0 0 0 -1 0 0 1 1 0
Sumas 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ARCOS
3 4 OFERTA
O
R
I
G
E
N
1 P13 P14 10
DEMANDA 3 7
DESTINO
A
L
Q
C
RG ICGR
CRA
CAL CLA
CAI
CLR
CRL
CQLCQL
CCI
CCQ
CQC
CRC
CCR
XGR
XRA XAL XLA
XAI
XCI
XQLXLQ
XLR
XRL
XRC
XRC
XQC XCQ
50
-8
-9
-3
-12
-18

3. UNIDAD III
MODELO DE REDES Y ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
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NODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 VALOR
G 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50
R -1 1 -1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -8
A 0 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 0 -9
L 0 0 1 -1 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0 -3
Q 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0
C 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 1 -18
I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -12
𝒁 = 𝟖𝑷𝑮𝑹 + 𝟗𝑷𝑮𝑨 + 𝟑𝑷𝑮𝑳 + 𝟏𝟖𝑷𝑮𝑪 + 𝟏𝟐𝑷𝑮𝑰
EL PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA
Se refiere a una red en la que cada arco (i,j) tiene asociado un número Cij que se
interpreta como la distancia (Costo, Tiempo) que hay entre los NODOS i,j. El objetivo
consiste en encontrar las rutas más cortas (económicas, rápidas) entre un nodo específico
y todos los demás nodos de la red.
ALGORITMO
PASO 1
Considere todos los nodos que estén directamente conectados con el origen, el
componente de distancia de la etiqueta que se pone a cada nodo es la distancia desde el
origen, el componente predecesor es el origen. Estas etiquetas se llaman temporales.
PASO 2
De entre todos los nodos con etiqueta temporal escoja uno cuyo componente de distancia
sea mínima y etiquételo permanentemente.
Todos los empates en cualquier punto del algoritmo se rompen arbitrariamente. Tan
pronto como todos los nodos han sido etiquetados en forma permanente vaya al paso 4.
PASO 3
G PGR PGA PGL PGC PGI 50
18
R A L I
DEMANDA 8 9 3 12
C
ORIGEN
DESTINOS
OFERTA

4. UNIDAD III
MODELO DE REDES Y ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
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Todo nodo que no tenga etiqueta permanente no tiene etiqueta o su etiqueta es temporal.
Considérese todas las etiquetas de los vecinos del nodo, para cada uno de estos nodos
calcular la suma de su distancia más la componente de la distancia de la etiqueta.
Si el nodo no está etiquetado asigne una etiqueta temporal que consta de esta distancia y
la del predecesor.
Si el nodo en cuestión ya tiene etiqueta temporal, cambie si y solo si la distancia recién
calculada es menor que la distancia de la etiqueta actual y regrese al paso dos.
PASO 4
Las etiquetas permanentes indican la distancia más corta desde el origen a cada nodo de
la red también indican el nodo predecesor en la ruta más corta hacia cada nodo.
EJERCICIO 1
Una persona hace frecuentes repartos de cerveza a 7 sectores diferentes de Riobamba.
Después de haber obtenido la información necesaria se establece el siguiente esquema a
cada arco se asocia la distancia que hay entre los nodos conectados se piensa minimizar
la totalidad de sus costos asegurando que cualquier reparto futuro se haga a través de la
ruta más corta.
Se debe resolver en (n-1) pasos. (8-1)=7 pasos
7
4 6
5
3
2
1
T
1
3
3
2
3
1
1
1
2
7
1
1
8
4
6
1

5. UNIDAD III
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5
NODO RUTA MÁS CORTA DESDE T DISTANCIA
1 T-1 4
2 T-1-3-2 6
3 T-1-3 5
4 T-1-3-4 6
5 T-1-3-2-5 8
6 T-1-3-4-6 9
7 T-7 8
EJERCICIO 2
Una persona reparte harina en 5 lugares después de haber obtenido la información
necesaria se establece el siguiente esquema. A cada arco se asocia la distancia que hay
entre los nodos conectados. Se pide minimizar la totalidad de los costos asegurando que
cualquier reparto seguro se haga a través de la ruta más corta.
7
4 6
5
3
2
1
T
1
3
3
2
3
1
1
1
2
7
1
1
8
4
6
1
(0,T)
(4,T)
(5,1)
(6,3)
(6,3)
(8,2)
(9,4)
(8,4)

6. UNIDAD III
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6
NODO RUTAMÁS CORTA
DESDE H
DISTANCIA
A H-A 1
B H-A-B 6
C H-A-C 5
D H-A-D 4
E H-A-D-E 7
H
E
D
C
B
A
11
3
6
7
5
23
4
510
1
H
E
D
C
B
A
11
3
6
7
5
23
4
510
1
(0,H)
(1,H) (5,A)
(4,A)
(6,A)
(7,D)

7. UNIDAD III
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7
EJERCICIO 3
NODO RUTAMÁS CORTADESDE Y DISTANCIA
A Y-A 1
B Y-A-B 6
C Y-A-C 5
D Y-A-D 4
E Y-A-E 3
PROBLEMADEL ÁRBOL EXÁNDIDO MÍNIMO (ENLACES DE COMUNICACIÓN)
La tarea consiste en construir un árbol que conecte todos los NODOS de la red con un
costo total mínimo. Esto se conoce como árbol expandido mínimo o árbol de expansión
mínima como sabemos un árbol es el conjunto n-1 arcos (pasos) en una red de nodos en
una red con n nodos que conecte todo par de nodos.
ALGORITMO GLOTÓN
Este algoritmo resuelve el problema en un extremo simple, existen 2 formas que son:
 El Método Gráfico
 El Método Tabular
Método Gráfico
Y
C
D
E
B
A
(0,y)
(1,y)
(3,A)
(4,A)
(5,A)
(6,B)
1
2
3
7
4
5
6
8

8. UNIDAD III
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1. Comience en cualquier nodo, escoja el arco más barato que parta de cada nodo, este
es su primer enlace y se conoce como segmento de conexión entre dos nodos, los
demás nodos se llaman nodos desconectados.
2. Considere todos los arcos que parten del segmento de conexión a los nodos a los
nodos desconectados. Seleccione el más económico como siguiente enlace. Rompa
arbitrariamente los empates, esto agrega un nuevo nodo al segmento de conexión
Repita este paso hasta que todos los nodos estén conectados, es decir, requiere de n-
1 pasos.
Método Tabular
1. Empiece arbitrariamente con cualquier nodo, se designa este nodo como
conectado y coloque un visto a lado de la fila correspondiente a este nodo y tache
el índice de la columna que corresponde a este.
2. Considere todas las filas que tenga el visto, busque el valor mínimo en las
columnas cuyo índice no han sido tachados y encierre ese valor en un círculo. Si
existe empates rompa arbitrariamente, la columna que tenga ese elemento
encerrados en un círculo designe al nuevo nodo conectado. Se tacha el índice de
la columna y coloque una marca en el renglón correspondiente a este nodo. Repita
este paso hasta cuando todos los nodos estén conectados.
3. Una vez que todos los nodos hayan sido conectados identifique el árbol de
expansión mínima mediante los elementos encerrados en el círculo.
Se llama algoritmo glotón debido a que en cada paso se hace la mejor elección posible.
Este es uno de los pocos problemas de la ciencia administrativa donde se garantiza que
el algoritmo glotón nos dará la solución óptima.
EJERCICIO:
Se desea instalar una red de comunicación entre 12 ciudades, los costos entre pares
permisibles directos aparecen en el siguiente diagrama, cada unidad de costo representa
$1000.00. Recuerde la red identifica enlaces directos posibles.
1 2
2
6
1211
7
10
9
5 7 8
5
5
3
3
4
4
4
6 6
4 5 2
5
5
3 1
1
9
3
7
7
2
1
2

9. UNIDAD III
MODELO DE REDES Y ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
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Para este ejemplo se ha empezado en el NODO 1:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 4 1
2 4 6 3
3 6 6 7
4 6 1
5 1 4 9
6 3 4 5 7
7 7 5 2 2
8 1 2 2
9 9 5
10 7 5 3
11 2 3 1
12 2 1
1
1211109
5 6 7 8
2 3 44 6 6
1
9
5
4
3
25
7 1
2
3
7
1
2

10. UNIDAD III
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FLUJO MÁXIMO
Aquí encontramos un solo nodo fuente (un solo nodo de entrada) y un solo nodo destino
(un solo nodo de salida) el objetivo consiste en encontrar la máxima cantidad de flujo total
(petróleo, agua, mensajes, tránsito) que puede circular a través de la red en una unidad
de tiempo.
La cantidad de flujo por unidad de tiempo en cada arco está limitado por las restricciones
de capacidad por ejemplo el diámetro del oleoducto del petróleo, el púnico requerimiento
es que para cada nodo se cumpla la siguiente relación:
Flujo que sale del nodo=flujo que entra al nodo.
En términos formales siendo 1 la fuente y m el destino debe cumplirse lo siguiente:
MAX f
∑ 𝑋𝑖𝑗 − 𝑋𝑖𝑗 = −𝑓; 𝑖 = 𝑛
0 en otros casos
i≠n
0 ≤ 𝑋𝑖𝑗 ≤ 𝑈𝑖𝑗 ; 𝑖 − 𝑗 destino
Origen
1
1211109
5 6 7 8
2 3 46
1
5
4
3
25
1
3 1
2

11. UNIDAD III
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11
FLUJO FACTIBLE
1. No se excede la capacidad de ningún arco del camino.
2. El flujo en cada nodo debe satisfacer la condición de conservación.
3. La cantidad máxima se puede fluir de la fuente al destino a lo largo de un camino
es = o < de las capacidades de los arcos de dicho camino.
EJEMPLO 1
1
5
1
3
1
4
1
2
6
1
6 0
0
20
4
R
6
3
0
2 0
2
0
6
0
0
1
0
1
5
1
3
1
4
1
2
6
1
6
0
0
20
4
R
6
3
0
2 0
2
0
6
0
0
1
0
2+4+2
2+4+2
4
2 0 2 0
2
0
4
2 4
4
2
2
1
0 0
6
6
2
0
0
4

12. UNIDAD III
MODELO DE REDES Y ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
ROSA G. | Investigaciónde OperacionesII
12
1
53
42
6
6
4
R
4
2
2
2
6
8 8